7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修 第三册(RJB) 探究四 用aresiny.arccosy或arctany表示角 I|I规律方法I [例4] 已知cos a--.E(n3-),用合适 (1)方程y-sinr-a,lal<1的解集可写为rlx 2k+aresina或(2+1)n-aresina,k乙,也可化简 为rlr-k+(-1)'aresina,kZ. 的符号表示满足条件的角a的值 (2)方程cosx=a,al<1的解可写为xlx-2 士arccos a.Z). (3)方程tanr=a,aéB的解集为{rlx=kr十 arctana.kZ). D跟踪训练 4.已知cosx= 示x的结果是 5.若sinx=- 随堂巩固促应用 验证反错 迁移运用 。_ B.[g叫4kx,g2 x),e6 1.若sin)-. -2.则角的集合是 #A.{#o-gO r C.[+n+~),E乙 B. 006-+2k{ D.[+2kn+)e7 6 3 3.方程cos(x十)-- 是 4.若cosx-一 2.不等式tanx-/3三0的解集为 A.[+,+),e乙 提示请完成《素能提升训练》训练十四 7.4数学建模活动:周期现象的描述 [学习任务] 1.会用三角函数解决简单的实际问题 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 D自主学习探新知 课前习 双基落实 知识点 四类周期现象模型 2. 单摆弹策等简谐振动模型 1.潮沙现象模型 单摆、弹箭等简谐振动可以用三角函数表 潮沙现象可以用函数y=Asin(ax+) 达为y一Asin(ar十),其中x表示时间,y表示 位移,A表示振幅,2 ,l表示频率,表示初相位。 (xE[0,十),A>0,>0)来表示 40 第七章 三角函数 3.音叉发出的纯音振动模型 微练习 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表 1.已知某人的血压满足函数解析式/(7) 达为y一Asinax,其中x表示时间,y表示纯 24sin160xt+115,其中f(t)为血压,.为时 音振动时音又的位移, 间,则此人每分钟心跳的次数为 ( 表示纯音振动的 ) 2 A.60 B.70 频率(对应音高),A表示纯音振动的振幅(对 C.80 D.90 应音强). 2.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似 4.交变电流模型 满足关系式/(1)-4sin(5--).,其中f(t) 交变电流可以用三角函数表达为y Asin(ax十),其中x表示时间,y表示电流,A 的单位为m,t的单位是h,则12点时潮水的 高度是 m. 互动探究解疑难 要点归物 重难突破 探究一 由模型图象解决问题 [例] 某地一天用电量y(单位:万度)随时间 700 x(单位:时)的变化曲线近似满足函数y Asin(ar+)+b(A>0,>0,0<<n),其 0123456 部分图象如图所示 (1)求出种群数量y关于时间7的函数表 .v/万度 达式; 2 (2)猜测当年3月1日该动物的种群数量; 14: (1)写出这段曲线的函数解析式; (2)请问在该天的哪段时间该地用电量不超 过35万度 探究二 由模型解析式解决问题 [例2] 在自然条件下,对某种细菌在一天内 Il|I规律方法l 已知三角函数图象解决应用问题,首先由图象确定 存活的时间进行了一年的统计与测量,得到 三角函数的解析式,其关键是确定参数A.o..同时在 10次测量结果(时间近似到0.1小时).结果 解题中注意各个参数的取值范围. 如表所示: C跟踪训练 目副 1月 2开 月 4月 5 6月 月 月 10 1开 1B 28日 21日 27日 B 1B 13日20日 5B 21H 1.如图,某年某动物种群数量1月1日低至 日翻检置 1i5 17 12 22 1短 28 号。 { 700.7月1日高至900,其总量在此两值之间 存时间 h 依正弦型曲线变化 。. 41 高中数学·必修 第三册(RJB (1)试选用一个形如y=Asin(ax十)十t的; 探究三 确定模型解决问题 函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌 [例3] 潮沙现象是发生在沿海地区的一种自 一天内存活的时间y与日期位置序号x之间 然现象,是指海水在天体(主要是月球和太 的函数解析式: 阳)引潮力作用下所产生的周期性运动,我们 (2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约 把海面垂直方向涨落称为潮沙,地球上不同 有多少天的存活时间大于15.9小时. 的地点潮沙规律不同. 下表给出了某沿海港口在一天(24小时)中 海水深度的部分统计数据: 水 (1)请结合表中数据,在给出的平面直角坐标 系中,选择合适的点,画出该港口在一天 (24小时)中海水深度h与时间 的函数图 l规律方法ll 象,并根据你所学知识,请从h(z)-ar*}十b十 由收集、统计、测量的数据找到最值、周期,然后代 c(a>0),h(t)=2’,h(t)=Asin(at+g)+ 入数据求出各参数:根据题意列出不等式(组),求出解 B(A>o c→0.lgl),n(t)=Acos(ot+)十 集得出答案. B(A>o,>0,1<)这四个函数解析式 D跟踪训练 2.心脏跳动时,而压在增加或减少,而压的最大 中,选取一个合适的函数模型描述该港口一 值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计 天(24小时)内水深h与时间:的函数关系, 上的读数就是收缩压和舒张压,读数 求出其解析式; 120/80mmHg为标准值,设某人的血压满足 -1.------i-i-11- 函数式b(t)-115+25sin160xt,其中p(t) 为血压(mmHg),7为时间(min),试回答下 列问题: (1)求函数)()的周期; 0 246 81012141618202224t (2)求此人每分钟心跳的次数 (2)现有一货轮需进港卸货,并在白天进行物资 (3)画出函数)()的简图; 补给后且于当天晚上离港.已知该货轮进港时 (4)求出此人的而压在而压计上的读数 的吃水深度(水面到船底的距离)为10来,卸货 后吃水深度减小0.8来,根据安全航行的要求 船底至少要留出2.8米的安全间隙(船底到海 底的距离),如果你是船长,请你规划货轮的进 港、离港时间,并计算出货轮在该港口停留的最 短时长.(参考数据:、2~1.4.3~1.7) 42 第七章 三角函数 I|I规律方法ll (2)从y=at十b,y-Asin(at+c)十b,y= 根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散 Atan(t十)中选一个合适的函数模型,并求 点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利 出该模型的解析式; 用这个模型解决实际问题。 (3)如果确定在一天内的7时到19时之间; C跟踪训练 当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排 3.某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海 恰当的训练时间. 滨区域的海浪高度y(米)随着时间7(0< 24,单位:时)呈周期性变化,每天时刻.的浪 高数据的平均值如下表: 1(时) 0 3 6 。 12 15 18 21 24 y(米)1.。 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)作散点图; D随堂巩固促应用 验证反 迁将运用 1.如图,为一半径为3m的水轮,水轮圆心0 距离水面2m;已知水轮自点A开始1min 旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m 与时间x(s)满足函数关系y=Asin(az十) 十2,则有 ( ) 4.如图所示,某市拟在长为8km的道路OP的一 侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线 段OSM,该曲线段为函数v=Asinax(A>0 15 u0),x[0,4门的图象,且图象的最高点为 B.- .A3 S(3.2/③):赛道的后一部分为折线段MNP.为 15 D.一 2,A-5 保证参赛运动员的安全,限定MNP一120{。求 A.的值和M,P两点间的距离 2.某市一年12个月的月平均气温y与月份x的 y 关系可近似地用函数y-a+Aco[(x-6)] 2./3 (x=1,2,3....,12)来表示,已知该市6月份 的平均气温最高,为28C,12月份的平均气 温最低,为18C,则该市8月份的平均气 温为 ,_ A.25.5C B.22.5C C.20.5C D.13C 3.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平 衡位置O的距离scm和时间/s的函数关系 式为s-6sin(100oxt+),那么单摆来回摆 次所需的时间为 提示请完成《素能提升训练》训练十五 43(2)y=tan2x函数阁象如图所示： ∴a=2a-aro(-号） 跟踪训练 3 4.解析当x是锐角时，x=arccos 当x(2x)时 -2m 2m 2 r=2x-arccos 3. 答案arccos3,2x-arccos3 令tan2x=1,则2x=开+k,k∈Z. 4 5.解析 因为m(x)=nx=-名()∈(-受0： 解释x=营+受ke乙： 所以一=arcm(-）=一aresin，所以x=元寸 令1am2x=一月，则2x=-吾+x,k∈Z arcsin 6. 解得r=一+，kEZ. 6 2 答案 +arcsin 6 因为-3<tan2x≤1， 【随堂巩固促应用】 所以-吾+受<≤+受 1.解析当0∈[0,2π]时，根据已知特殊角的三角函数值可 即愿不学式的解集为(-吾+受青+]k乙 知，sm0=号，则0-吾或0-晋所以角0的集合是 [答案])女r=kx+k o0-吾+2xu00-晋+2x 2(停-吾+] 答案D 跟踪训练 2.解析依题意1an≥尽，所以红十子≤r<km十受，故 3.解析根据题意，得tanx一>0，即tanx>3,所以kπ 原不等式的解集为[号+，受十x)∈乙 十子<r<kx十受，长五.所以函教f代x)=g(nx一尽) 答案A 的定义城为女吾+<<受+x∈Z: 3解析由o(x+子）=-，则x+开=2x+经，ke 答案 7浅x+吾=2a+营，k∈Z,即r=2kx+语k∈Z我z 探究四 =2+kc么又：r[0,2]-晋浅r- [例4幻[解] 由余弦函数在[0，]上是减函数和c0sa= 吉可知，在[0，]内特合条件的角有且只有一 答案 倍 4,解析 :x∈[0，x],且cosx= 个oas-号）： 3 即aoos(专）efo.. cos a=- <0. =x-arccos 3 areeos( ）[受]： 答案 R-arecos3 ∴0K-arceos(-号）< 7.4 数学建模活动：周期现象的描述 微练习 ∴<x+-arceos(-）<经 :1,解析 由题意得西敏的同期为T一品一动·所以复率 即x<2x-(-）< =7=80,所以光人每分钟心跳的次数为80， 由于cos(2x-a)=cosa=-5 答案C 22 2.解析由题意，将112代入画数式，有f12)=4sn(管 探究二 [例2][解](1)由表格可知函教的最大值为19.4，最小值 ×12- 吾）=4sin(5r-吾）=4sin(x-若）=4sin君 为5.4， 6 =2. A=19.4与5.4=7. 答案2 ÷1=19.4-7=12.4.又T=365m-36 2π 【互动探究解疑难】 探究一 730 [例1][解](1)由图知 A+b=50.所以 当一172时，需+一吾解得g=-。 A=10, /2r 1-A+b=30. b=40. ∴y=7sin(36 323m)+12.4(1≤r≤365，r∈N) 730 又由图象可得半周期为6，m一2入6一6· (2)由y>15.9得in36r-730)>2· /2π 323x\ 故y=10sim(吾x+g）+40. 即<2x 323x5π 6<365-730<6 又当x=8时，y=30, 解得11l.17<x<232.83, ∴sim(皆+9）=-1.心g=g+2kx,k∈z ∴这种细葡一年中大的有121天（或122天）的存活时间 大于15.9小时. 又0<g<小g=吾 跟踪训练 故y=10sim（看+否)+40xe[0,241. 2.解(1)由于0=160x,代入周期公式T=2红，可得T (2)由10sim(晋x+晋）+40≤36， 2=1 160元80 n.所以画数p)的月短为而mm 1 得sm(吾+看）K-名 (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率∫= =80(次). (3)列表如下： 所以-+2m≤x+<+2xkZ 6 6 1 1 3 0 320 160 320 80 p(1) 115 140 115 90 115 <吾+<g<+音< 描点，连线并向左右扩展得到函数(？)的简图如图所示： ,6≤x≤10或18≤r≤22，因此，该天的610时和 r0f149 18~22时该地用电量不超过35万度. 15 跟踪训练 90 1.解(1)设种群数量y关于时间1的表达式为y 0 Asin(amt十g)+b(A>0,u>0,b>0),剥 -A+b=700, (4)由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为 解得A=100.b=800.又周期T=2×(6 1A+b=900, 90 mmHg. 探究三 -0)=12.÷w= -吾∴y=100in(后+9）+80. [例3][解](1》可选择以下6个点：(0,13.4)， 又当1=6时，y=900, (2,14),(8,10),(14,6),(20,10),(24,13.4),其 900=100sim(g×6+9）+800. 图象如下： h米r 六snx+p》=1ing-1可取g=一受 16 10 ∴y=100sin(若1-受）十800.（答案不唯-） 42 (2)当1=2时.y=100sin(看×2-受)）十800=750，即当 0246810121416182022240 年3月1日该动物种群数量的是750. 方法一：设选取的函数解析式为 23 h(r)=Asin(ot+)+B(A>0.w>0.l<). 故所求拟合模型的解析式为y=0.4sm1+1(0<1K24). 由题意得召-12，所以T=24w一是 (3)y=0.4sin若1+1≥0.8， h(1)=h(2)=A+B=14, 1 又周为h)=h(14)=-A+B=6: 第得A=4,B=10, 则-音+2x≤吾1<+2x∈， 所以h()=4sim(是+9）十10， 即12k一1≤1≤12k+7(k∈)，注意到1∈[0,24]， .0≤1≤7或11≤1≤19或23≤1≤24， 由h(2)=4sim(答+g）+10,得sim(答+g）=1, 再结合题意可知，应安捧在11时到19时训练较拾当. 所以p=2x十晋k∈乙 【随堂巩固促应用】 1.解析由题目可知最大值为5，.5=A十2，A=3, 又9<登，所以当=0时9-吾 T-0-15,则w亭-语故选A 4 所以h()=4sin(受+等)+10.1e[0,24]. 答案A 方法二：设选取的函数解析式为h(t)=Acos(mt十g) 2.解析由题意可得 +B(A>0,m>0,9<艺)：求解过程同上，可得 f(6)=a+Acos (6-6)=28. 即 1a+A=28, a-A=18, ()=4cos(-8）+10,1e[0,24]. f02)=a+Aco若12-6)=18. (2)根据题意可知，货轮安全进港的水深至少达到12.8米， 解得23所以)=23+5o[（-6]，所以演 A=5, 由h()=4sin(受+号）+10>12.8. 市8月份的年均气温为f8)=23+5c[若(8-6)] 解得4sim(+）≥2.8， 23+5c0s号=25,5℃，故选A 中(+）≥ 2 答案A 所以2x+≤+骨<2x+k∈Z 3.解析由s-6sim(100u+吾）：单摆来回据一次为一个 故21k一1≤t≤24k十5，k∈Z. 周期，由T=6元00.02 2x=1 又因为t∈[0,24门.所以0≤1≤5， 答案0.02s 所以可安排货轮在0时到5时之间进港。 货轮安全离港的水深要求至少达到12米， 解依题意，有A=2厅，T-3,即T=12, 根据表中数据可知最早在22时后水深符合要求，可安全 离港，货轮在港时间最短为17个小时. 又T-w=吾y=25m音，xe[0, 综上规划决策如下：应安排货轮最晚在5时进港，最早在 当=4时y=25n专=3∴M43 22时离港，在港时间最短为17个小时. 跟踪训练 又P(8,0), 3.解(1)散点图如图所示： MP1=√(8-4)+(0-3)=√+3=5(km). 1米 即M,P两点间的距离为5km. 1.6 1.4 ■来里里■里■■■加■■◆■如■e■=如■ 章未优化提升 1.2 0.8 【考点聚焦】 0.6 0.4 考点一 0.2 0 36912151821244时 [例1(1)[解析] 国为in受=n(2x-吾）=-号 (2)由(1)知选择y=Asin(wt十p)十b较合造. 令A>0>0,p<元. c0s要=o(2x-）=所以P(-）,所以r 结合通数图象可知A=0.4,b=1,T=12小w=经= 6】 花1=0y=1代入y=0.4im(+g）+1,得9=0， [答案]C 24