7.3.5 已知三角函数值求角-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

tan(2-)的单调增区间(+)(^ z). 答案 B 时,→-+吾-,所以(-,-1)为f(x)的一 4.解析 '1<<2<3<r.. tan2<0,tan3<0,tanlo, 个对称中心. 根据正切函数的性质可知y-tanx在吾.” 上单调递 答案 D 3.解析 由-十x<文十<+&+^e乙,得-3-+h 增,.'tan 1>tan3>tan2. 答案 tan 1>tan3>tan 2 <<十π,乙,故f(x)的单调递增区间是(-3-十 探究三 [例3][解析](1)由已知/(10)asin10+btan10 kn,+k),k乙. ccos 10 100+1-100,又/(-10)-asin(-10)+htan(-10) 答案 C ccos(-10) 4.解析 对于A,今十→十(太乙)#,解得^ ccos10 十( Z),则西数y-f(2)的定义域是{ ×{五→十 -102,故选B. (2)今k-<+<+,解得<<+ #6e,A正确;对于B,画数y-f(2)的最小正周期 # Z乙显然(-)满足上述关系式,故A正确; #为B错误;对于C,令h-<+<+(k 2),解得3(^é2),则西数y-f(x)的 #,解得-,后乙,任取值不能得到x--,故 单调递增区)是(-十)(kZz),C正确;对 C错误;正切函数曲线没有对称轴,因此函数y-tan (x+) 于D,令2+-(ke2)#,解得-(kéZ),则 的图象也没有对称轴,故D错误。 画数y-f(t)的对称中心为(一吾,)(ke乙),D [答案](1)B(2)AB 跟踪训练 错误。 答案 5.解 方法一;(1):tan(2x++n)=tan(2+). AC 7.3.5 即un[2(+)+π]-tan(2r+吾). 已知三角函数值求角 '.f(x)-tan(2x+)的最小正周期是哥 【自主学习探新知】 知识点 4.(1)aresiny (2)[0,r] arecos y 方法二:7一# (3)(一) arctan y 6.解 定义域为{{+,乙#关于原点对称, 微练习 'f(-x)=sin(-x)+tan(-x)-sinr-tanr--f(r), 1.解析 由tan-3,得x-+kr,k,故选 D. '它是奇函数. 答案 D 【随堂巩固促应用】 2.解析 ·sin(x-n)=-sinr=) 1.解析 数的定义城是{++{k元,kE {,定义关## -2k+十或2k+3-(eé2). 又-2<0.r=- ##-# 答案-7-或-5- 答案 A 20 【互动探究解疑难】 [答案](1) -+2或-+26×,欢E 2] 探究一 [例1][解析](1)方法一;由sin(x+)-2→0可 (2)(-吾+)(kez)# 跟踪训练 示意图如图所示,由图可知角1十吾的终边可能是OP. 也可能是OP. 5- ” rE[o,2n]今 sin-,解得-4-或x-5- 结合图象可知不等式sin<的解集为(5). 又sin--si3,所文+-2^★+十或+ 答案C -26+-6 2即1-+26或-+26-,k67 探究二 [例2] [解析](1)因为cosx-,且x[-x,x]y 所以角&的取值集合为{{x-+2或-7 -cosx在x[-x,r]上为偶函数,又在x[0,]上时, #2k-,hez{ .# 由cosx--- 得-2则在xe[-一-:0]上时,由cos 2 -得-2-,以-2级2# 方法二:作出y-sinx在[0,2n]上的图象及直线y- (2)由 125-->0. 2 +或x+吾-2^-x+-,6后 乙,即x-1+2^或^ 1-5<c<5. 解得一5<r<-或<<5. [答案](1)#2或 2k或-7-+2kn,e 2 . (2)[-5.-)U(,] (2).3-4sinx0. sin. 跟踪训练 2.解析 如图,使sinr- 。 ON.同理,使sinx-一) 解集为(1.1). 是OQ.满足角工的终边范围如图中阴影部分, 答案(1.1) ·.#E(-k+吾)(ez). 探究三 [例3] [解析](1)在(0,2π)内,正切值为v3的角有吾和 两个,则终边和,相同的角的正切值都为③,所以 一一 x的取值集合为{× x- a+,e乙 # 21 (2)y=tan2r函数图象如图所示: =2x-arecos(-). 跟踪训练 ##.当#({,2)时, 4.解析 当x是锐角时,x一arccos 答案 arecos 3.2xt-arecos 令tan 2x=1,则2-+kr,ké. 5.解析 因为sin{-r)=sinr=-1.(-)(-o). 解得1-e乙; 所以-x-aresin(---aresn,所以 r=×+ 令tan 2x--3, 2r--+hex,k , aresint. 解得--+,6乙 答案 因为-3 tan2r 1. 【随堂巩固促应用】 ##以一-吾+<+ 之# 1.解析 当0[0,2-]时,根据已知特殊角的三角函数值可 知,sino-,则一或-,所以角的集合是 即原不等式的解集为(-吾+,+]. 乙 #6#o△2000-0-g#- [答案](1){ {x-k+乙} (#2)(+# 乙 答案 D 2.解析 依题意tan→3,所以kπ+<<k+,故 跟踪训练 3.解析 根据题意,得tanx-③0,即tanx3,所以h 原不等式的解集为{+nr,+kn)E乙 +<<kx+heZ,所以函数f(x)-log(tanr-3) 答案A 的定义城为{+r<<+x,ké乙}# 3.解析 由 co(x+--,则文+-2^-+2-, #{4t+R<<+rke 2{ 或+-2-+4-6 乙,r-2k+-,2或x 答案 探究四 [例4] [解] 由余弦函数在[0,-]上是减函数和cosa= 答案 ,13 个rco-). 4.解析 .x[o.].且cosx= #e{## 即 areon(-)[o,). .x=arccos(--)-arcceo .arecos(-)e,]# .0<x-arecos(-)<. 7.4 数学建模活动:周期现象的描述 '.<十-arecos(-)3. 微练习 1.解析。 即n<2x-arecos(-)3 由于cos(2-a)=cos=- 答案C 2第七章三角函数4 川规律方法川 6.判断y=sinx十tanx的奇偶性. 与正切函数有关的面数的周期性、奇得性问题的解 块策略 (1)一般地，函数y=Atan(emr十p)的最小正周期为 T=而，霜常利用此公式来求周期。 (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义城，判断 其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性，若 对称，再判断f(一x)与f(x)的关系. 跟踪训练 5.求fx)=tan(2x+)的最小正周期. 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 l.函数y=tanx 1 tan是 B.(kπ，kπ十π)，k∈Z A.奇函数 C.(kx-3开，kx+),k∈Z B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.(kx-,kx+）,∈Z D.既不是奇函数又不是偶函数 4.(多选)下列关于函数f(x)=tan(2x+)的 2.函数f(x)=tan(2x-5)-1图象的一个对 相关性质的命题，正确的有 () 称中心为 A.fx)的定义域是r≠爱+，k∈Z A.(2-1 B(登- B.f(x)的最小正周期是x c(- D.(--1 C.x)的单调递增区间是（经一，暂+） (k∈Z) 3.函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间是 D.)的对称中心是（经君，0）（医∈z刀 A.(km-受，km+),k∈Z 提示请完成《素能提升训练》训练十三 7.3.5 已知三角函数值求角 [学习任务] 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法. 2.了解符号arcsin x,arccos x,arctan x的含义，并能用这些符号表示 非特殊角. 37 高中数学·必修第三阳(RJB》 自主学习探新知 课前颜习双基落实 知识点已知三角函数值求角 1.已知正弦值求角 (1)方法1：利用三角函数线 以射线OP与OP'为 ②曲线上加粗部分（不含边界）对应的x值构 终边的角构成sinx=a的 解集。 成cosx<a在[0,2π]上的解集：其余部分 终边在图中阴影部分（不含 (不含边界)对应的x值构成cosx>a在 边界)的角构成sinx<a的 [0,2π]上的解集. 解集，终边在空白部分（不含边界）的角构成 ③结合余弦函数的周期性把①②中的解集扩 sinx>a的解集， 展到整个定义域内， (2)方法2：利用三角函数图象 3.已知正切值求角 ①交点P与P'的横坐标为[0,2π]内使sinx (1)方法1：利用三角函数线 =a成立的x的值，即为sinx=a在[0,2x] 上的解 ②曲线上加粗部分（不含边界）对应的x值构 成sinx<a在[0,2π]上的解集；其余部分（不 含边界)对应的x值构成sinx>a在[0,2x] 上的解集。 以射线OP与OP'为终边的角构成 tanx=a的解集. 终边在图中阴影部分（不含边界）的角构 成tanx<a的解集，终边在空白部分（不含 ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩 边界)的角构成tanx>a的解集. 展到整个定义域内. (2)方法2：利用三角函数图象 2.已知余弦值求角 (1)方法1：利用三角函数线 以射线OP与OP'为终边 的角构成cosx=a的解集. 终边在阴影部分（不含边 界)的角构成cosx<a的解 集，终边在空白部分（不含边界）的角构成 ①交点P的横坐标为（一受，）内使tanx cosx>a的解集。 (2)方法2：利用三角函数图象 a成立的x的值，即为tanx=a在(-受，) ①交点P与P'的横坐标为[0,2π]内使cosx 上的解. =a成立的x的值，即为cosx=a在[0,2π] ②曲线上加粗部分（不含边界）对应的x值构 上的解。 成tanx<a在(-受，)上的解集：其余部分 38 第七章三角函数4 (不含边界)对应的x值构成tanx>a在飞微练习 (一，)上的解集。 1.已知tanx=√3，则x的取值集合为() ③结合正切函数的周期性把①②中的解集扩 Ar=2km+,k∈Z 展到整个定义域内。 4.aresin x,arccos x,arctan x的含义 B{z=2x+号k∈zZ (1)任意给定一个y∈[-1,1]，当sinx=y c 且x∈[-受，]时，通常记作x= (2)在区间 内，满足cosx=y,y∈ D.{x女=km十，k∈Z [一1,1]的x只有一个，记作x= (3)在区间 内，满足tanx=y,y 2若n红)=-号，且-2a<≤0，则x ∈R的x只有一个，记作x= 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 已知正弦值求角或角的范围 川规律方法川 利用余弦曲线求解cosx≥a或cosx≤a(|a|<1) [例1] a)已知m(x+)=竖，x∈R,则角 的步骤 (1)作出余弦函数在一个周期内的图象（选取的一 x的取值集合为 个周期不一定是[0,2x],应根据不等式来确定)： (2)函数y=lg(3一4sin2x)的定义域为 (2)作直线y=a与函数图象相交： (3)在一个周期内确定x的取值范围： (4)根据会弦函数周期性确定最终的范围. 川规律方法川 求与三角函数有关的函数定义城的恭本方法是“数形 口跟踪训练 结合法”，也就是在求这类西数的定义城时，往往需要解有 关的三角函数不等式，而解三角函数不等式问题时常借助 2.当x∈(0，π)时，不等式2cos2x<√3的解集 三角函数曲线或半径为1的圆等图形的直观性来解决， 是 跟踪训练 探究三 已知正切值求角或角的范围 1.在[0,2π]内，不等式sinx<- 的解集是 [例3] (1)已知tanx=√3，则x的取值集合 为 A.(0,x) B(赁，) (2)利用图象，不等式-√3<tan2x≤1的解 集为 C() D.(,2) 川规律方法川 探究二 已知余弦值求角或角的范围 求解与正切函数有关的函数的定义城时，除了考虑 函数解析式的限制外，同时要注意正切函数的自身限制 [例2](1)已知cosx=-2,且x[-元，]， 1 条件 则x的取值为 跟踪训练 (2)函数f(x)=lg(1-2cosx)+√25-x的：3.函数f(x)=log2(tanx-√3)的定义域 定义域为 为 39 ◆高中数学·必修第三阴(RJB) 探究四用arcsin y,arccos y或arctan y表示角 川规律方法川 [例幻已知cosa=一号a∈(，》，用合适 (1)方程y=sinx=a,la≤1的解集可写为{xx 2kr十arc5ina或(2k+1)x-arcsin a,k∈Z),也可化简 为{xx=kx十(-l)/arcsin a,k∈Z. 的符号表示满足条件的角α的值. (2)方程c03x=a,a≤1的解集可写为{xlx=2kπ ±arccos a,k∈Z}. (3)方程tanx=a,a∈R的解集为{x|x=kx十 arctan a,b∈Z}. 跟踪训练 4.已知cosx= 号(0<<2m,用反余弦形式表 示x的结果是 5.若sinx=- 言x(x,)，则x= 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 1,若sin0=2,则角0的集合是 B[+2x,受+2x,k∈Z A00-晋+2x C[+kx,+),∈z B00=若+2x D.[管+2kx,+∞），k∈Z C00=吾+2xU0l0=号+2m 3.方程cos(x+牙)=一7，在[0,2x]内的解集 D.00=晋+2xU{0g=晋+2kx 是 2.不等式tanx一√3≥0的解集为 4.若cosx= x∈[0，]，则x的值为 2 A.[3+kr,受+kx),∈Z 提示、请完成《素能提升训练)训练十四 7.4数学建模活动：周期现象的描述 [学习任务] 1.会用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型， 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点四类周期现象模型 2.单摆弹簧等简谐振动模型 1.潮汐现象模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表 潮汐现象可以用函数y=Asin(wx十p) 达为y=Asin(r十p),其中x表示时间，y表示 (x∈[0，十∞)，A>0,w>0)来表示. 位移，A表示振幅，会表示频率，9表示初相位。 40