7.3.3 余弦函数的性质与图象&专题1 三角函数中的最值问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

第七章三角函数4 7.3.3余弦函数的性质与图象 [学习任务] 1.能正确使用五点法、图象变换法等画出余弦函数的简图. 2.能类比正弦函数的图象与性质得出余弦函数的图象与性质 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一余弦函数的性质 A受 B.x 1.余弦函数 C.2x D.4 对于任意一个角x,都有唯一确定的余 弦cosx与之对应，所以y=cosx是一个函 2.函数y=cos(x+),x∈[0，]的值域 数，一般称为余弦函数 是 2.余弦函数的性质 知识点二余弦函数的图象 性质 内容 把正弦函数y=sinx的图象向左平移 定义域 个单位就得到余弦函数y=cosx的图象， 值域 该图象称为 周期性 ,k∈Z,最小正周期为 奇偶性 在 (k∈Z)上递增， 单调区间 飞微思考 在 (k∈Z)上递减 [思考]利用平移法作余弦函数图象的依据 x=2kπ(k∈Z)时，取得最大值： 最值 是什么？为什么不能利用sin(乏-x)=cosx x=2kπ十(k∈Z)时，取得最小值 来确定平移的方向和单位长度？ 对称轴为x= 对称中心为（受+ 对称性 r,0）,其中k∈Z 零点 受+红∈D 赵微练习 1.函数f(x)=cos(2x+不)的最小正周期是 31 高中数学·必修第三阳(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 余弦函数图象的画法 A[别 R[g】 [例1]已知函数f(x)=4cos(2x-),画出 c(o,】 哈] f(x)在[0，π]上的图象. 川规律方法川 确定函数y=Asin(wx十p)或y=Acos(ux十p)单 调区问的基本思想是整体换元思想，即将x十伞看作 个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数 的单调区间，若x的系数为负，通常利用诱导公式化为 正数再求解，同时还应兼顾函数的定义域 口跟踪训练 川规律方法川 2.函数y=cos(牙-2x)的单调递增区间是 作余弦（型）函数图象的方法 (1)五点作图法：(2)图象变换法：(3)平移坐标轴， ☑跟踪训练 A[昏+x,+km](ke 1.作出函数y=一2cos(x-)在一个周期内的 B[-g+,晋+x]ke刀 图象 C.[g+2kx,+2km]k∈ D.[-3+2kx,君+2x](k∈z) 3.已知函数f(x)=cos(ox+)(w>0)的最小 正周期为r,若函数y=f(x)在[0，a]上单调 递减，则a的最大值是 探究三余弦函数的值域 [例3]( 函数y=2os(2x+),xe[-否，] 探究二余弦函数的单调性 的值域为 [例2】(1)下列区间是函数f八)=5co(号-2z) (2)函数f(x)=4cos2x+4cosx-3-a,当x 的单调递减区间的是 ∈[-，]时f)=0恒有解，则实数a的 A.(-5) B(-吾》 取值范围是 川规律方法川 C.(写d n.(悟) 求三角函数最值的两种基本类型 (1)将三角函数式化为y=Acos(ur十p)十k的形 (2)(2022·祁阳高一期末)已知w>0,函数 式，结合有界性求最值： (2)将三角函数式化为关于cosx(或sinx)的二次 f(x)=cos(ax-)在（受，x)上单调递减，则 函数的形式，利用二次函数的性质和三角函数的有界性 求最值， ω的取值范围是 32 第七章三角函数。 跟踪训练 其中所有正确结论的序号是 4.函数y=3cos(分x-平)在x= (2)已知函数f(x)=cos(ox+)(0<a<1) 时，y取最大值. 5.(2022·邢台高一期末)函数y=2-2sin2x 的一个对称中心为(，0），则ω= cosx的值域为 川规律方法川 探究四余弦函数的对称性 关于正弦、余弦函数的对称性有以下重要结论 [例4] (1)(2022·沈阳高一月考)设函数 (1)f(x)-Asin(aux十p)(或Acos(az十p)的图象 关于x=x。对称台f(x)=A或-A. f(x)=cos(2x+)+1有以下结论： (2)f(x)=Asin(ux十p)(或Acos(r+p)的图象 关于点(x,0)中心对称台f(x)=0. ①点（一登0）是函数f()图象的-个对称 跟踪训练 中心 6.写出一个图象关于直线x=2对称的偶函数 ②直线x=是函数f(x)图象的一条对 f(x)= 称轴； 7.若函数f(x)=cos(2x-p)(0<p<)图象 ③函数f(x)的最小正周期是π； ④将函数f(x)的图象向右平移香个单位后， 的一条对称轴方程为x=石，则9的值 对应的函数是偶函数。 为 随堂巩固促应用 脸证反馈迁移运用 1.函数y=1+cosx,x∈[0,2π]的简图是 C.偶函数，且在区间(0，)上单调递增 D.偶函数，且在区间(0，)上单调递减 3.函数)=0s(号-2x)的最小正周期为 2 A.一元 B.元 C.2π D.4π 4.函数y=cos(2x+)的图象 A.关于点(，0对称 32主 B关于点(，0)对称 2.函数f(x)=cosx是 C.关于直线x-吾对称 A.奇函数，且在区间(0,2)上单调递增 D.关于直线x=号对称 B.奇函数，且在区间(0，)上单调递诚 提示请完成《素能提升训练》训练十二 33 高中数学·必修第三阳(RJB) 专题1三角函数中的最值问题 三角函数的最值问题是三角函数的基本内 川规律方法川 容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求 面数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首 先确定函数图象平移后的解析式，再根据新面数具备的 较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身 性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值， 的特殊性（如有界性等），另一方面可转化为所 熟知的函数最值问题， 题型四由三角函数的值域，求定义域中参数的最值 题型一y=Asin(wz十p)十B型的最值问题 L例4](1)函数y=asin x十b(a,b∈R)的最 [例1]已知f(x)=2sim(2x+),当x∈ 大值为3，最小值为一1，则ab的值为 [一音号引时，九的取值范围是 (2)已知函数y=sinx的定义域为[a,b], 川规律方法川 值域为 ,则b一a的最大值和最小 化为y=Asin(m十e)十B的形式求最值时，特别 注意自变量的取值范围对最大值、最小值的彩影响，可通 值之差等于 过比较闭区何地点的取值与最高点、最低点的取值来确 川规律方法川 定函数的最使.也可以利用y=sinx的图象找最值. 由值域求定义域，充分利用正、余弦函数的图象，要 用整体代换、换元恩想，转换成最简单的正弦、余弦 题型二可化为y=i如nx(y=f(oos)型的最值问题 曲线 [例2] 已知0≤x≤受，求函数y=cos'x 题型五 求创的最值问题 2 acos x的最大值M(a)与最小值m(a). [例5] (1)已知函数f(x)=2cos(x+看)-1 (仙>0)的图象向左平移4个单位后与原图 象重合，则仙的最小值是 () 川规律方法川 A.3 R名 可化为y=f(cosx)型三角函数的最值或值城，也 可通过换元法转为其他函数的最值或做城： c青 n号 题型三函数图象平移距离的最小值问题 (2)先将函数f(x)=sinx的图象上的各点 [例3】(1)将函数f(x)=2sin(2x+)的图 向左平移石个单位，再将各点的横坐标变为 象向右平移”个单位，所得函数图象关于 原来的（其中ω∈N且纵坐标不变），得到 y轴对称，则正数的最小值为 (2)将函数y=2sin(oz-5）(w>0)的图象分 函数g(x)的图象，若g(x)在区间[吾，]上 单调递增，则u的最大值为 别向左、向右各平移2个单位长度后，所得的 川规律方法川 两个函数图象的对称轴重合，则ω的最小值 已知三角函数在某区间递增（减）求仙的范围，一叔 为 先求函数的递增（减）区问，再利用已知区问是递增（减） 区间的子集，列关于仙的不等式求范围或最值。 34第50个最大值为ar+晋-受十9×2x <<值为[-] 第51个最大位为r+号=受+50×2x, 2 答案[-合] 所以登十49×2x≤20w+吾<受+50×2x 2 知识点二 余弦曲线 解得高+警<<高+5 微思考 「589π601x1 综上，m的范国是120,120 [提示]平移法作余孩函数图象主要依据济导公式圆： sim(x+受）=cosx,显然在诱导公式⑤：sim(受-） 答案 T589x601x L120120/ O5x中，两个函数的解析式中自变量的系数符号相反， 【随堂巩固促应用】 所以不能利用该公式确定平移方向和单位长度 1,.解析由-1≤sim(2x-)≤l.得函数f(x)的最小值 【互动探究解疑难】 为一厅-1，最小正周期为受- 探究一 答案A [例1][解] 国为f(r)=4os(2x-哥），所以列表 2.解析“画数f(,x)=5sin(4r+号)(0<9<2m)为偶画 如下： 数，号=受+x,k∈五又0<<2x9=元 2x- 5x 3 答案C 0 5π 2x 11元 6 1 12 3解析由随设，有y=一2in(2x一子）2km一2≤ 2 4 0 4 0 2 2红一不≤2k红十受时函数单调适减，即k红一晋≤x≤k如 +Z 答案A .解析由国象可得x)的最小正周期T=4(径一晋) =w=9=2 由2·登+-要+2kkeZ解得g-青+2k,k∈Z。 跟踪训练 由g<受得g=青f)=Asin(2r+）, 1.解用五点法作图.列表如下： ∴f八g)=f(牙）=Asin x=0,故选A 0 3π 2 2元 答案A x 11元 3 3 7.3.3余弦函数的性质与图象 2 0 0 【自主学习探新知】 知识点一2.R[一1,1门T=2kπ2x偶函数[-开 描点，连线，得y=一20(一晋）在[，]上的象 +2kπ，2kx][2kπ，T十2kx]1一1kπ 如图所示： 微练习 ↑y 1解折最小正月期为T-行-受-元故选位 答案B 2解折0受“<十<。 16 探究二 :探究三 [例2][解析] (1)国为f(x)=5co(号-2x）[例3] [解指】当x∈[-音号]时，2z+晋 =5cos(2r-5 [-号]在区同[-吾·号]上m(2+）e 且函数y=cosx在2kx,π+2kπ(k∈Z)上单调递减， [-]所以y=20@(2x+君）的值为[-1,2. 所以2a<2r-吾≤x+2x∈0，k+吾<<号+ 2ze[-号]>ams[-,小：◆u)0, kx(k∈Z), a=4cosr+4osr-3,令1=omsx∈[-2l]y=4r 所以通最f(x)=50(号-2x）的单调递减区间是 1 +4-3,其对称轴1=一2，所以y=r+1一3在 [kx+吾经+]∈， [-?门]上递增，当1=-号时，取释最小值-4当1=1 当k=0,函数f(x)=5c0s(答-2x）的单调递减区间是 时，取得最大值5.所以a的取值范围是[一4.5]. [吾]，站合选项知，D选项特合，故选D [答案](1D[-1.2](2)[-4,5] 跟踪训练 (2)函数代x)在2kx≤m一吾≤2kx十x时单洞递减，解4.解析当函教取最大值时，号x-牙=2kx(k∈Z),r= 得 2+日(kD,粮据题中条件又有西 Akπ+受(k∈Z. 答案4hx十受(k∈Z) 数f()在（受，x)上单调逅减，所以 6.解析y=20osx-sx=2(msx-）-g令1 6 sx,1∈[-1,1y=2(-）-，所以y 得4+<<2+e. [g可 又因为画数f代)在（受，）上单调递减，所以T≥→w<2. 答案[-可] 探究四 又调为题中巴知>0，所以可求得长=0，截有号≤o<名 [例幻[解析]1)周为f(-)=c0s(-g+)+ [答案](1)D(2)B 跟踪训练 =1,所以点（一受0）不是画量f()因象的一个对称中 2.解析y=co(于-2x）-os(2x-)令-x+2kx≤ 心：周为f()=c0s(2×答+）十1=0，所以直线x= 2x-晋<2kx,解得-酒+km<r≤营+ka,k∈乙 晋是画数f)图象的一条对称轴：画数f()的最小正 答案B 周期是=x:将函数fx)的因象向右平移晋个单位后 3.解析由函数f缸)=co(or+号)(a>0)的最小正周 得g(x)=co(2(x-吾）+号）+1=cos2x+1是偶函 期为元，剩2红=不，得u=2.则f(ax)=c0s(2x十5），当 数，因此正确结论的序号是②③④. ∈[0.a]时，画数单训递减，则2x+登∈[登，2a+吾]： (2)当x=弩时f()=cos(m+）=0,所以3+ 若此时画数为减函数，则2a十吾≤，所以0<u≤行，即 晋-受十，k∈.解得。-专+3，k∈z周为 a的最大值为号 0<<1,所以=之 答案于 [答案11@8④(2)号 17 跟踪训练 当2<u<1时，mo)=-d,Ma)=0: 6.解析因为f()=cos受x为锅画数，且f4-r)= 当a≥1时，m(a)=1-2a,M(a)=0. cor[受4-]=o(2x-受+)=os受=jx.所 1 1-2a,a≤2 综上所述，M(a) 以图象关于直线x=2对称，满足条件. 1 0,a>2 答案0s受r(答案不唯一） 0,a≤0. 7.解析由题意得2×石p=kx(k∈)，解得p= 一kπ n(a)= -a,0a<1, 3 1-2a,a≥1. (∈Z).因为0<<受，所以=受 [例3][解析]1)将函数x)=2sin(2x+号)的图象 答案晋 向右平移9个单位变为 【随堂巩固促应用】 f-g）=2sam[2u-g)+晋]-2in(2r+吾-2g)小： 1.解析把y=cosx的图象向上平移1个单位即可 答案D 要使其为偶函数，则号一29=受·(2k+Dk∈乙，则p= 2.解析由题意，函数f(x)=cosx的定义城R,且f(一x) =Cos(一x)=cosx=f(x),所以函数f(x)=cosx为偶 函数.又由余弦函数的性质，可得f(x)=cosx在区间 “9>0,心当=-1时9-爱为其最小值 (0,受）为递减画数。 答案D (2)将函数y=2sn(a一晋)(ow>0)的图象分别向左，向右 3.解析依题意，函数y=0(子-2x)的最小正周期为T 各平移最个单住长度后，得到y=2m[(+造）一晋] =2s血(ar+管-晋y=2s血[(-)-晋] 答案B 2sin(r一管一牙)周为两个通数图象的对称轴重合， 4解析由题设，由余孩画数的对称中心为(k领十，0），令 所以（管受）-（-蹬-号）=管=x,∈1，所以如 2r十吾=a+受，得r-受+造∈五易知A,B情误：由 =6k,k∈Z. 余孩画数的对称轴为=标：令2红十背=m,得=受 因为w>0,所以当k一1时，四取得最小值为6. [答案] 君，k∈乙，当k-1时-受·易知C错误，D正确，故选D 48 (2)6 [例4们[解析](1)当a>0时，图为函数y=asin x十b 答案D (a,b∈R)的最大值为3，最小值为一1， 专题1三角函数中的最值问题 1a十b=3, a=2, 所以 解得 -a+b=-1, 1b=1. C例】[解折]fx)=2sim(2x+晋） 所以ab=2: 当re[-吾晋]时2a+[-] 当a<0时，因为函数y=asin,x十b(a,h∈R)的最大值为 66" 3,最小值为一1， 所以sin(2r+吾）∈[-合l]即f)e[-1,2] 1-a+b=3 所以 解得=一2， [答案][-1,2] a+b=-1 1b=1, 所以ab=一2. [例2】[解]设0s=,0<r<受01<1， 综上，ah=2成ab=一2. ∴.y=t-2at=(1-a)2-a2, ∴.当a≤0时，m(a)=0,M(a)=1-2a: (2:画载y=sn上的位减为[-1，]，由)y=imx的 当0<a≤2时，m(a)=-d,Ma)=1-2a: 图象在一个周期内，b-“的最大值为行-(-誓）-受 18 最小值为号-(-受）= <≤， 则6一山的最大植和最小值之差等于暂-警- 6 所以函数y=VW一tnx的定义域为 {xkx-三<r≤r十于k∈☑：其值城为[0十o∞) 跟踪训练 1.解析由函数y=lg(tan2x)有意义得tan2x>0,所以 [答案]（12或-2(2)晋 k标<2<km十受k∈1，所以受<r<经+吾∈么所 [例5[解析]山)依题意知，行=k·Tk∈N心智- 以画盘y=lgan2x)的定义城是（受经+）k∈D, k…,kENw=女kENm的最小值为是 答案D (2)南题意易知gr)=sm(+晋）在区间[吾·]上 2.解折周为x∈(-是·受)，所以x-吾∈(-年，) 单训递增， 因为y=anx在(-受，受)上单调递增，所以tan(x 2 君）∈(-1)，即ye(-1w. 所以有 k∈Z,即12k-4≤m≤8k+ 答案A 探究二 合e7 [例2)[解析]1)令一受+x<x+牙<受十∈乙，解 由12-4长8+可得长=1时，[s] 得-经+km<r<晋+标k∈Z 所以正整数创的最大值为9. [答案](1)B(2)9 (2tan晋=tan36,对于A,tan(-号）=-tan号<0， 7.3.4正切函数的性质与图象 而1an吾>0，故1an(-吾）<an吾对于B:tam要 【自主学习探新知】 tan君：0<装<琴<受an吾<an票.对于C, 知识点1.x≠受十标 :0°<35°<36°<90°，.tan35°<tan36°.对于D, 2.{杠r∈R,且x≠受+m,k∈Z Rπ奇函数 tan(-142°)=tan38°，0°<36<38°<90°.∴.tan38 tan36,故选D. (r-受，kx+）(k∈Z (3)由于数y=tan江在（一T,x)上是递增函数，所以w>0. 微判断 由一元<x<置，则一wr<似x<创r, (1)(×)(2)(×)(3)(V)(4)(V) 【互动探究解疑难】 所以〈 探究一 km十变≥w元， 6+ [例1][解](1)由x+于≠x+受(k∈Z),得x≠x十 由于。>0，故取=0，所以0<m<号 不，∈乙，所以画数y=an(r十牙）的定义藏为 [答案】 ac2D3(o,2] x≠x+至，k∈Z:其值拔为(-∞，+o∞). 跟踪训练 (2)由，尽-am>0,得tanr≤3，结合y=tanr的图象3.解析因为函教y=tanr的单调递增区间为(k元一受， 可知，在(-受，受）上，满足anr<5的角r意满足ks+受）(k∈Z,所以k标-受<2x-晋<k标十受 19