7.3.1 正弦函数的性质与图象-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修 第三册(RJB D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.(多选)已知xER,则下列等式恒成立的是 3.已知角θ的终边过点(1,-1),则cos(+8)= #_ ): ( A. sin(3n-x)-sin x _ B. sinπx_-cos B### 2 C.co-0(+3x)-in- ( ) 2.已知sin-3. sin({-o) .} B.-1 #- ##) C.一-#} D.2 C. 提示请完成《素能提升训练》训练七 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 第1课时 正弦函数的性质 [学习任务] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2.掌握函数y一sin工的单调性、奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性 □自主学习探新知 课前预习 双基落实 满足/(x十T)= 知识点 正弦函数的性质 ,那么就称函数f(x) 为周期函数, 1.正弦函数 称为这个函数的周期. 对于任意一个角x,都有唯一确定的正 3.函数y一sinx的性质 弦 与之对应,因此y一sinx是一个 圈 : 性 正m 点 函数,一般称为正弦函数. #0{号2 2.周期 2tir -1,1 一般地,对于函数f(x),如果存在一个 。 ti 区□2020+ (E 非零常数T,使得对定义域内的 ,都 20 第七章 三角函数 微练习 2.下列区间中,使函数y一sinx为增函数的是 ( ) A.[o,] B.[3# A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.[一 D.[n,2-] C.周期为哥的奇函数D.周期为-的偶函数 D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 正弦函数的值域 2.函数f(x)=cos{②}x十sinx(xER)的最大值为 ( ) [例1](1)函数y=sinx一 sinxl的值域是 #_)# _ A.-1 A.(0) B.[-2,2] C.1 C.[0,2] D.[-2,0] 探究二 (2)函数y=cos^{x+2sinx-5,x 正弦函数的奇偶性与周期性 [-,]的最小值为 _ [例2](1)函数y=3sin(2x十x)是 A.周期为的奇函数 A.-3 B.周期为x的偶函数 C.1 C.周期为x的奇函数 D.周期为的偶函数 (2)关于函数f(x)=sin(x十)(xER),下列 ( |I规律方法lI 命题正确的是 ) (1)求解形如yasinx十b的函数的最值或值域问 A.存在,使f(x)是偶函数 题,利用正、余弦函数的有界性(一1<sinx1)求解,此 B.对任意的,f(x)都是非奇非偶函数 时有-lal+bylal+b. C.存在c,使f(x)既是奇函数,又是偶函数 (2)求形如y=asinx十bsinx十c,a字0,xER的函 数的值城或最值时,可以通过换元,令1一sinx,将原函 D.对任意的,f(x)都不是奇函数 数转化为关于1的二次函数,利用配方法求值域或最值 Il规律方法ll 求解过程中要注意正弦涵数的有界性。 (1)定义法求涵数的周期:紧扣周期函数的定义,寻 (3)求形如y-asinx十6 asinx十ac≠0的函数的值城,可 求对定义域内的任意x都满足f(x十T)一f(x)的非零 常数T,该方法主要适用于抽象函数. 以用分离常量法求解,也可以反解出y,利用正弦函数的 (2)定义法判断函数的奇偶性:即从f(一x)的解析 有界性建立关于y的不等式求解. 式中拼凑出f(x)的解析式,再依据f(一x)一一f(x)或 f(一x)一f(x)来判断. D跟踪训练 C跟踪训练 1.函数y-1-2sinx的最小值和最大值分别 3.(2022·灌云高一月考)已知函数f(x)= 是 ,_ ) ( sinxx,则它的最小正周期为 ) B.-1,1 A.-1,3 A.2n B.π C.0,3 D.0,1 C.1 D.2 21 高中数学·必修 第三册(RJB 4.(2022·南京高一期末)已知函数y=sin(x十2) I|I规律方法l 是定义在R上的奇函数,则。的一个可能取 (1)求复合函数单调区间的方法是“同增异减”原 值为 ( 则,但要注意函数的定义域, A B} (2)比较三角函数值大小的方法 ①同名函数,若两角在同一单调区间内,直接利用 C. D.- 单调性得出;若两角不在同一单调区间,则要通过诱导 公式把角转化到同一单调区间,再进行比较 探究三 正弦函数的单调性及应用 ②异名函数,先利用诱导公式转化为同名函数,再 比较。 [例3](1)(2022·岳阳高一月考)已知a一 D跟踪训练 5.函数y-cos({一x)的单调增区间是 关系是 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a (2)函数y=logisinx的单调递增区间 序排列为 为 .(用“>”连接) D随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.函数f(x)一sin(一x)的奇偶性是 ) 3.已知函数y=sin(mx+)的最小正周期为 A.奇函数 2,则实数m的值为 ( B.偶函数 3 ~ A.3 C.既是奇函数,又是偶函数 B.士3 D D.非奇非偶函数 C.3π 2.函数y-一3sinx十2的最小值为 )4.函数y-1-sinx的单调减区间是 A.2 B.-1 C.-2 D.5 提示请完成《素能提升训练》训练八 第2课时 正弦函数的图象 [学习任务] 1.了解利用半径为1的圆中的正弦线画出正弦曲线的方法. 2.掌握五点法画正弦曲线的步骤和方法,能用五点法作出简单的正弦 曲线: 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 正弦函数的图象 1.正弦曲线 一般地,y一sinx的函数图象称为 二1 ,如图: 2 第七章 三角函数 2.五点法 微判断 以下五个点在确定y=sinx,xE[0,2] 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”) 的图象形状时起着关键作用:(0,0), (1)函数y一sinx既是轴对称图形又是中心 对称图形. ,(n,0). __ (2)(,1)是y-sinx图象的最高点.( (2x,0). _ 在精确度要求不高的情况下,一般都是先找 (3)正弦曲线的对称中心是({+kn,o), 出确定图象形状的关键的五个点,然后再描 ( 乙. _ 点作图,这种作图方法称为 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 用五点法作正弦函数的图象 探究二 利用正弦函数的图象求方程解的个数 [例1] 用五点法作出下列函数在区间[0,2-] 或根据方程解的个数求参数 上的简图. [例2] (1)方程sinx=lgx解的个数是_ (1)y-2+sinx; (2)y-3sinx. 个实数解,求a的取值范围 IlI规律方法llI 掌握五点法作图,“五点”即y一sin工的图象在 [0.2r]上的最高点、最低点和与x轴的交点,五点法是 作简图的常用方法. C跟踪训练 I|规律方法|I 1.用五点法作出下列函数在[一2x,0]上的 (1)在第(1)小题中,画出y=sinx的图象后要充分 图象。 利用y-lgx的图象过点(1,0)和点(10,1)来确定两图 象交点的个数。 (1)y-1-sinx; (2)在第(2)小题中,要注意函数的定义域,即x (2)y-sin(x+x)-1. [吾,_对图象的决定作用.。 C跟踪训练 2.函数y=3十sinx,xE(,2n)的图象与直线 ( y一t(t为常数)的交点可能有 _ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.若函数y=sinx,xE[0,a]与x轴有5个交 点,则实数a的取值范围是 23 高中数学·必修 第三册(RJB) 探究三 利用正弦函数图象解不等式 I|I规律方法|I 求三角函数定义域时,常常归结为解三角不等式 [例3] 组,这时可利用三角函数的图象或半径为1的圆中三角 _ 函数线直观地求得解集 集为 #A.[# B.[3 C跟踪训练 C.[#3# D.[ 的解集是 。7 ( ~ (2)求函数f(x)=lgsinx+ \16一x^*}的定 A.(0,n) 义域. B.(2) C.() D.(,2) 5.函数y- D随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.用五点法画v=3sinx,x[0,2x]的图象时, 3.当x在任何一个长度为的闭区间内变化 下列哪个点不是关键点 ( 时,y-sin2x必有 #A.(贺#})# ~ B.(,3) A.最大值 C.(n,0) D.(2n,0) B.最小值 2.函数v=sin(一x),xE[0,2x]的简图是 C.最大值或最小值 _ D.不能确定 4.函数y=sinx,x[o,2x]与y= -1图象交点 的个数为 ( ~ A.0 B.1 C.2 D.3 6 D 提示请完成《素能提升训练》训练九 24跟踪训练 【随堂巩固促应用】 #1.cos= 1.解 cos(x十a)=-cosa=- #1.,若a为第一 1.解析 i sin(3x-r)-sin(-)=sin x,sin 象限角,cos(+a)-一) sin-)-cos cos(+3r)-cos(+3) #(R)-一# -sin 3x.co(32x) sin2r,故选 AB. 探究二 答案 AB [例2] [证明] 左边一 sin(-a)cos(n-a)-sin a(-cos a)-sin a= 2.解析 sin(-a) cosf -cos8 cosa -cos fcos 0+cosθ cos 9(-cos 6-1) .故选 D. 1+cos 6+1-cos8 -1-cos1+cos(1-cos0)(1+cos 0)1-cos 2 答案 D sin) 3.解析 因为已知角8的终边过点(1,一1),所以sin8 跟踪训练 -1 2 tan(-a)sin(-a)cos(-a) 2.证明 左边一 V1+(-1) sin 2x-(-。)]co2-(-。)] 答案 B (-tana)(-sina)cos a 4.解析 由tana=2,则sin(a-)sin(3+a)- -sin(-。)cos(-。) -sin a(-cos a)-sin acos -tan2 tan asin acos a_-tana=右边. sin+cos tanl5. cos asina 答案 D 因此,原等式成立. 7.3 探究三 三角函数的性质与图象 [例3] [解] (1)根据三角函数的基本关系式, 2cos a+sin_2+tan_4.解得tana-2. 7.3.1 正弦函数的性质与图象 可得 sina-cos a tana-1 (2)由(1)知tana-2. 第1课时 正弦函数的性质 cos(4x-a)sin(a-) cos(a+3) 又由一 【自主学习探新知】 sin(+a) sin(-a) 知识点 1.sinx 2.每一个x /(x) 非零常数7 cos a(-cos a)sing_cos a. 微练习 cosa(-sina) 1.解析 因为a2π,且tana-2,所以π 周期T--一吾,故选A. cos(4x-a)sin(o-)cos(a+3) 所以一 答案 A sin(吾+a)sin(-o) 2.解析 在[o,],[π,2*]上y=sin文不是单调函数,排除A. D;在[上y-sin:是单调逃减画数,排除B,故选C. 跟踪训练 3.解 因为3cos(a-)-4cos(x+十a)-0. 答案C 4 【互动探究解疑难】 所以3sina十4cosa-0,可得tana-- 3 探究一 [例1] [解析] (1)因为y=sin王- lsin x] '5eosa-sina 5-tana (0.sinx>0. 2sinr,sinr0. (2)4sin]a-3sin acos a4sin'g-3sin qeos a 而sinr0时,-l<sinx0.即-2<2sinr0,于是得-2 sina十cos'a <y o,所以函数y-sinx-sinxl的值域是[-2.0]. 4tan*a-3tan a_4. (2)&数y-cosx+2sinx-5.xe[-.吾]. tan+1 令(-sin文,由<<可得-△<1<## D.c=b,k乙时,函数f(x)一sin(r十o)是奇函数,所 以D错误。 cos x+2sinr-5=1-sinr+2sinx-5--+2t-4= [答案](1)C (2)A 跟踪训练 3.解析 函数/(c)-sinxr的周期r-2π-2. --(-1)-3单调道增, .当(-- 答案 D 值二 4.解析 因为函数y=sin(r十2)是定义在R上的奇函 (3)方法-.-sinx-2sinx+1-3 sinx+1 sin十1 答案 B -1-- sinx十I: 探究三 .snrt02[+). [例3][解析](1)''c-sin #<.又y-sinx在(o.,)上单调递增, 故该函数的值域为(-~,-]. #&sn<sin吾<sin,即bc<a.# (2)由 sinx0.得2k<r<2kr十,kéZ,令t-sinx. 方法二:由y_sinr-2 s,得(sinc+1)y-sinx-2. 则y-log1,因为y-log 1在(0,十)上为减函数,由 即(1-y)sinr-y+2. 复合函数的单调性的判断方法,所以应求/一sin工在2k r2k十,kéZ上的单调递减区间,所以y-logsinx 的单调递增区间为(2k★+,2k★+n),k乙. ·-1<sinc<1.-1<2 1. #,#数的值域为(-0## [答案](1)C(2)(+2kn,x+2kn),Ez 解得一 跟踪训练 [答案](1)D(2)D(3)(-o,-] 5.解析 因为y-cos(吾-xr)-sin x,所以y-cos(-) 跟踪训练 的单调增区间是[-+2hx,-+2-]62. 1.解析 因为-l<sin吾<l,所以当sinr=-1时,函数 答案 [-+2kr,+2k].^ 2 y-1-2sinx有最大值3,当sinx-1时,画数y-1 第6解析 30~ -2sin-x有最小值-1. 又画数y-sin在[,x#上单调减,# 答案A 2.解析 f(x)=cosx十sinx=-sin'x+sinx+1 #答案n3n0nn00 所以当sinx= 5 【随堂巩固促应用】 答案 D 1.解析 画数定义域是R,f(一x)一sinx=一sin(一x) 探究二 一f(x),..f(x)是奇函数. [例2] [解析](1)函数y=3sin(2x十π)=-3sin2r,其 答案 A 最小正周期为r-2--n,由-3sin(-2-)-3sin2x,可 2.解析 因为sinx[-1,1],所以-3sinx[-3,3],所 以-3sinx+2[-1,5],所以&数y--3sin.x+2的最 得函数为奇函数。 小值为一1. (2)对于A,当一吾十kr,k乙时,画数/(x)= 答案 B sin(x+e)是偶函数,所以A正确;对于B.当=khr,kz 3.解析'画数y-sin(x+)的最小正期^2=. 时,函数f(x)一sin(x十co)是奇函数,所以B错误;对 _.1-3△ 于C,由选项A,B的分析,不存在cER,使函数/(x) sin(r十co)既是奇画数,又是偶函数,所以C错误;对于! 答案 B 10 4.解析 由题可知,求函数y一1一sinx单调减区间即求函 (2)找五个关键点列表: 数y-sinx的单调增区间,所以函数y-1一sinx的单调 -2π 3 减区间为[2<x-,2k+哥](kz). 0 一r [2k--2^r+](ke z) 答案 0 r -1 sin(r十x) 0 0 1 0 第2课时 正弦函数的图象 -2 sin(n十x)-1 -1 -1 -1 【自主学习探新知】 描点作图,如图所示。 2.(1) 知识点 1.正弦曲线 (3}-一1) 五点法 行 微判断 (1)()(2)()(3)(×) 【互动探究解疑难】 探究一 探究二 [例1] [解] (1)找关键的五个点,列表。 [例2] (1)[解析] 用五点法画出函数y=sin工, 。 :& 2π 0 ) n [0,2π]的图象,再向右连续平移2x个单位,得到y sinr的图象. sint 0 1 0 0 *-, 2 2+sinx 2 30 4 描点作图,如图所示。 2 描出点(.-1),(1.0).(10,1),并用光滑曲线连接得 #$** 到y一lg工的图象,如图所示. 由图象可知方程sinx-lgx的解有3个. (2)找关键的五个点,列表. [答案]3 { 2π (2)[解]-sin[]-. 0 7 。 . 0 sin) 0 sin,e[的图象如图所示. 0 3sin.r 3 0 描点作图,如图所示。 &) 跟踪训练 sin.xe[的因象与--的因象有两个交 1.解 (1)找五个关键点列表: :。 点,即方程sin--0在re[-]上有两个实数解。 -2 ) 0 0 sinr -1 1 0 跟踪训练 2.解析 1-sinx 在同一直角坐标系中,作出y一3十sinx,x 2 描点作图,如图所示。 (吾,2π)与y-1(t为常数)的图象,由图象可知,函数y-3 +sinx,x(吾,2π)的图象与直线y-t(t为常数)的交 点个数可能为0,1,2,结合选项可知选项A正确,故 选A. 11 在同一坐标系中作出函数y-sinx,y- y=3+xin 图所示: t1 -是# 答案A 3.解析 y=sinx的图象如下图所示: 由图象得2-<<2^十#é乙. , r=sinx 0 {4 2-x-<<2-+0-#e {, 因为y-sinx,x[0,a]与x轴有5个交点,由图象可 知,4ra5n. #{& 2级x-0<<2+#e 2} 答案 答案 4na5n 探究三 【随堂巩固促应用】 1.解析 y=3sinx五点作图法在[0,2π]内的五个关键点 [例3](1)[解析] 为(0.o)(吾,3)(n,0)(3-3)(2r0),可知(吾, 函数图象如下图所示。 3)不是关键点. . 答案A 2.解析 y=sin(-x)=-sinx,cE[o,2r]的图象可看作 是由y-sinx,x[0,2-]的图象关于x轴对称后得到 的,故选B. .3.不等式的解集为3-. 答案 B 3.解析 画出函数y-sin2x的图象: [答案] B 2 sinxo. (2)[解] 由题意,得工满足不等式组 16-0. 即 .1sinx>0. 1-414. 作出y一sinx的图象,如图所示: 从图中可以看出:函数y=sin2r是周期为π的函数,开 为函数的半个周期,所以,从图中可以看出,当工在任何 一个长度为吾的闭区间内变化时,y一sin2x必有最大值 或最小值. 结合图象可得x[-4,一*)U(0,r). 答案C 跟踪训练 4.解析 作出函数v一sinx在[0,2x]上的图象,并作出直 4.解析 画出y-sinx在[0,2n]内的图象如下图所示,由 线y= 1,如图所示: sin=- 2 #<##的集为(),故选C.。# 观察图形知:函数y-sinx在[0,2-]上的图象与直线y 1有两个公共点,所以画数y-sinx,x[o.2*]与y 答案C 2图象交点的个数为2. 5.解析 因为sinx+→0,即 sinx→-. 答案C 12