7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

【随堂巩固促应用】 (2)sna-1-cos。-1-(-号）'-（号）' 1.解析由题意|sina=1,.sina=士1，则角a的终边在 y轴上，故选B 因为c08a=一 4<0,所以a是第二成第三象限角， 答案B 2解析由正俄线，正切线的定义可知，MP是正弦线，A了 当e是第二泉限角时，如。=是，am0-08=一 cos a 4 是正切线， 当a是第三象限角时，sina=一3 ，tana=sine-3 答案C cos a 3.解析根据正弦线和余孩线的定义知，当a(0<a<2π)的 跟踪训练 正孩线和余孩钱长度相等，且特号相同时，终边落在了第山解由1aa识g分，得na=号c0。, 4 ① 一，三象限的角平分线上，即。=平或警 又sina+cosa=1, ② 答案或 由①@，得5cosa十cosa=1,脚cosa=云 又a是第三象限角， 4.解析 :<1<弩R△OAM中，OM<AM ∴cosa= 3 sin=os=- 探究二 [创潮]原式-品-袋-是 （2)原式=m二2.123=-员 4-3tan'a 4-3×32 3 根据三角函数线的定义得OM=cos1,AM=sin1, sin'a+2cosa (3)原式= ,∴.sin1>cos1. sina十cosa 答案sin1>cos1 ra+号 4 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 tan'a+1 【自主学习探新知】 = 知识点 3+1 40 1.sin'a+cos'a=1 跟踪训练 tma=0(a≠tx+受，ke 2.解析因为1ana=3=s加g,所以sina=3cosa,因此 cos a 2.(1)1-cos'a 1-sin'a (2)tan acos a 2sin acos a= 2sin acos a 6cos'a 63 微练习 sin'a+cos'a 9cos'a+cos'a 10 5 答案C 3 1.解析图为角a是第一象限角，且血a=号，i加a十3.解折由条件可知血2=ana=3,2o0sa一1=0s。- cos a cosa=1,所以cosa=V-sina=√1-（号）=号 器器-昂台 答案C 答案B 2解析由ana=子，可得0g=子 3 cos a =4,又sin'a十cos'a=1, 探究三 可得品msa十osa=1,解得coa=碧因为a(,受动， [例3][解]周为si血0叶cos0=(0<0<, 所以c0sa=一台 所以(sn0叶cos0=子， 答案C 即sin'0+2sin0cos0叶cos0=， 4 【互动探究解疑难】 探究一 所以sin6cos0=一 3 [例11[解]cosa=1-ima=1-()=()广， 由上知0为第二象限角， 所以sin0-co30>0, 又因为a是第二象限角，所以c0sa<0,c0sa= 13' 所以sin8-cos0=√/(sin0+cos)°-4sin0cos日 tana=si加g=-l2 cos a 5 =√)-4x(-)- 6 跟踪训练 7.2.4诱导公式 4.解(1)由sina十cosa=一 10 两边年方得a叶=(←， 第1课时诱导公式（一） 【自主学习探新知】 即1十2 sin acos a= ，则如= 分 知识点1.(1)相等(2)sin a cos a tan a2.x轴 (2)周为(cosa-sina)2-1-2 sinc=1+0=16, 616 --sin a cos a3.y轴sina 一tana4.原点 -sin a -cos a tan a 所以cosa-sina=土- 4 微练习 10 因为受<a<元，所以sina>0,cosa<0, 1.解析时于A,令。=受：得sin(x一)=sin受=1≠ 4 则cosa-sina= -210 一sin号，所以A错误；对于C,令a=0,得cosa=cos0 10 5 =1≠sin0,所以C错误. 1 cos a-sin a4 v10 即ain a cos a sin gcos 答案BD 3 2.解析(1)sin(1十x)=一sin1. 探究四 (2)cos210°=cos(180°+30)=-cos30°. [例4][解]图为a是第二象限角，所以sina>0,cosa <0 (3an1=tam(2x+）=tamg-ian(x-若） 6 1一1 故tana√gina 1-sin'a =tana√sin'a 答案(1)-sin1(2)-cos30°(3)-tan君 cos'a sin a. =tan a sin'a cos a 【互动探究解疑难】 cos a sin a 探究一 sin a. 一c05g=-1. [例1][解](1)sin(-1200)=-sin1200° cos a sin a 跟踪训练 =-sin(3×360°+120)=-sin120°=-sin(180°-60) 5.解原式=2o-（sino十e0sg+(1+) cos'a cos'a =-sin60°=- sin'a+cos'a-2sin a 21 _cos'g-sin'a+cos'a+sin'a.cosa-1+1-2. (2)tan945°=tan(2×360°+225)=tan225 cos'a-sin'a cos'a =tan(180°+45)=tan45=1. 【随堂巩固促应用】 3,所以c0sa (8)cos194=cos(20r-吾）=cos(-若）=os6 6 1.解析因为a是第四象限角，且sina=一 =。-最 3 2 跟踪训练 答案C 1.解(1)方法-：sin1320°=sin(3×360°+240) 2.解析因为sin0-cos0= 2,所以(sm0-cos0=号 =sin240=sin(180°+60)=-sin60°=- 2 所以sin0+cos'0-2sin0cos0= ,所以1-2 sin Ocos9 方法二：sin1320°=sin(4×360°-120)=sin(-120) =子，所以sin os0=各 3 =-sin180°-60)=-sim60°=-3 2 答案B 3解析原式=（1+sm） cos'a=cos'a+sin'a=1. (2)方法-：os(-3）=os3=cos(4x+7 答案C =o(+）=-os吾=- 4.解析由题意tana=3sina→ine=3sina→cosa cos a 方法二：os(-3）=cos(-6x+）=cos(x-吾) ae(o,)…a=√-()-， tan aco 2 sine=2√2. =o吾=- (3)tan(-945)=-tan945°=-tan(225°+2×360) 答案D =-tan225°=-tan(180°+45)=-tan45°=-1. 7高中数学·必修第三阳(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知角a的正弦线是单位长度的向量，则角a: A.正弦线是PM,正切线是A'T 的终边 B.正弦线是MP,正切线是A'T A.在x轴上 B.在y轴上 C.正弦线是MP,正切线是AT C.在直线y=x上 D.正弦线是PM,正切线是AT D.在直线y=x或y=一x上 3.已知a(0<a<2π)的正弦线和余弦线长度相 2.如图所示，P是角a的 终边与半径为1的圆 等，且符号相同，则α的值为 的交点，PM⊥x轴于 4.用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结 M,AT和A'T'均是半 径为1的圆的切线，则 果是 ,(用“>”连接) 下列关于角a的说法a的终边 提示请完成《素能提升训练)训练四 正确的是 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 [学习任务] 1.理解同角三角函数的基本关系式： 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明， 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点同角三角函数的基本关系式 2.同角三角函数基本关系式的变形 sin a= 1.同角三角函数的基本关系式 cos'a= ； 描述方式 (1)sin2a+cos'a-l→sina=±√1-cosa cosa=士√1-sin a; 基本关 基本关系式 语言描述 (sina±cosa)2=1士2 sin acos a. sin a 系式 (2)tan a=sina cos a cos a=sin a tan a 同一个角a的正 赵微练习 平方关系式 弦、余弦的平方 和等于1 1.已知角a是第一象限角，且sina= ，则cosa 同一个角a的正 的值是 商数关系式 弦、余弦的商等 A-青 于角a的正切 c台 D 12 第七章三角函数 2.已知tana=子，a∈(x,2),则cosa的值是 A士培 c- 0. 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一已知一个三角函数值求另外两个三角 探究二 化切求值 函数值 例2]已知tana=3,求下列各式的值： [例1](1)已知sina= 号并且a是第二象限 (1) 4sin a-cos a 3sin a+5cos a 角，求cosa和tana的值. (2)sin'a2sin acos aco (2)已知cosa=一号，求sne和1ana的值。 4cos a-3sin'a (3)2sina+zosia 川规律方法川 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sina=m,可以先应用公式cosa= 川规律方法川 士V-sina,求得cosa的值，再由公式tana-加e 化切求值的方法技巧 a)已知tan。=m,可以求asin a十cosg家 求得tana的值， csin a+dcos a (2)若已知cosa=m,可以先应用公式sina■ asin2a十bsin acosa十ccosa的值，将分子分母同除以 士V-cosa,求得sina的值，再由公式ana-加e, dsin'a+esin acos a+fcos'a cos a cosg或cos'a,化成关于tana的式子，从而达到求值的 求得tana的值. 目的。 (3)若已知tana=m,可以应用公式tana=sine (2)对于asin'a十bsin acos a十ccos'a的求值，可看 cos a 成分每是1，利用1=sina十cosa进行代替后分子分母 m>sina=mcos a及sina十cos'a=1,求得cosa= 同时除以cosa,得到关于tana的式子，从而可以求值. 1 V√+msng= √1十m ☑跟踪训练 口跟踪训练 2.若tana=3,则2 sin acos a= ( L.已知tana= ，且a是第三象限角，求sme, A士号 B-号 cosa的值. c D 3.若sina一3cosa=0,则2cos2a-1的值为 () A号 c普 D-是 13 高中数学·必修第三阳(RJB) 探究三sina士cosa型求值问题 探究四化简三角函数式 [例3】已知sin0+cos0=2(0<0<x),求 [例4幻 化简anaa1,其中a是第二】 sin Ocos0和sin0-cos0的值. 象限角. 川规律方法川 川规律方法川 已知sina士cosa,sin acos a求值何题，一般利用 三角函数式化简技巧 三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数， 恒等式有： 从而减少函数名称，达到化繁为简的目的 (1)(sin 0++cos 0)*=1+2sin 0cos 0; (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完 (2)(sin 6-cos 8)*=1-2sin 6cos 6; 全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)(sin0+cos0)2+(sin0-cos0)2=2: (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因 (4)(sin 0-cos 0)=(sin 0+cos 0)-4sin 0cos 0. 式分解或构造sina十cosa=1,以降低函数次数，达到 上述三角恒等式告诉我们，已知sin0+cosa,sin8 化简的目的. -cos0,sin Ocos0中的任何一个，则另两个式子的值均 可求出. 跟踪训练 口跟踪训练 2cos'a-1+(1+tana)cos a. 5.化简：1一2sina 4.已知sina+cosa=- 10 5 (1)求sin acos a的值； (2)若受<求品。的值 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 l,已知a是第四象限角，sina=一 则eosa= 2.若sin0-cos0= ,则sin0cos0=() 1 ( A号 B-专 A- c号 n将 c.- D.4 14 第七章 三角函数。 3.化简：(1+tan2a)cos2a等于 ( A.-1 B.0 A 4 B号 C.1 D.2 C.√2 D.2√2 4.已知a∈(0,2），tana=3sina,则tana=( 提示请完成《素能提升训练)训练五 7.2.4 诱导公式 第1课时 诱导公式（一） [学习任务] 1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点诱导公式①~④ 3.诱导公式③ 1.诱导公式① 终边关系 图示 (1)语言表示：终边相同的角，同名三角函数 角π一a与角a的终 值 边关于 sin(a+k·2r)=, 对称 (2)式子表示：{cos(a+k·2x)= ,其中 tan(a+k·2π)=， sin(xa)=」 k∈Z. 公式 cos(n-a)= (3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将 tan(π-a)= 重复出现. 4.诱导公式④ 2.诱导公式② 终边关系 图示 终边关系 图示 y 角π十a与角a的终 +a 角一a与角a的终边 边关于。对称 关于 对称 a P sin(x十a)= sin(-a)= 公式 cos(r十a) 公式 c0s(-a)= tan(r十a) tan(一a)=-tana 15