7.2.2 单位圆与三角函数线-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

(2)[解] ∵x=3a，y=4a， $$\therefore r = \sqrt { \left( 3 a \right) ^ { 2 } + \left( 4 a \right) ^ { 2 } } = 5 | a | .$$ $$\frac { \theta } { 3 } \in \left( \pi + 2 n \pi ， \frac { 7 \pi } { 6 } + 2 n \pi \right) \left( n \in Z \right) ，$$ 所以 $$\frac { \theta } { 3 }$$ 的终边在第 ① 当 a>0 时 ，r=5a， 三象限，当 $$k = 3 n + 2 \left( n \in Z \right) 时 ， \frac { \theta } { 3 } \in \left( \frac { \pi } { 3 } + \frac { 6 n \pi + 4 \pi } { 3 } ， \frac { \pi } { 2 }$$ $$\sin \theta = \frac { y } { r } = \frac { 4 a } { 5 a } = \frac { 4 } { 5 } ，$$ $$+ \frac { 6 n \pi + 4 \pi } { 3 } \right) \left( n \in Z \right) ， 则 p -$$ $$p _ { p } \frac { \theta } { 3 } \in \left( \frac { 5 \pi } { 3 } + 2 n \pi ， \frac { 1 1 \pi } { 6 } + 2 n \pi \right) \left( n \in Z \right) ，$$ $$\cos \theta = \frac { x } { r } = \frac { 3 a } { 5 a } = \frac { 3 } { 5 } ， \tan \theta = \frac { y } { x } = \frac { 4 a } { 3 a } = \frac { 4 } { 3 } .$$ $$A . \frac { \theta } { 3 }$$ 的终边在第四象限，综上，角 $$\frac { \theta } { 3 }$$ 的终边可能在 ② 当 a<0 时 ，r=-5a， 一象限或第三象限或第四象限，故选 ACD. $$\sin \theta = \frac { y } { r } = \frac { 4 a } { - 5 a } = - \frac { 4 } { 5 } ，$$ [答案] (1)ACD (2) [解] $$\textcircled 1 \because 1 0 5 ^ { \circ } ， 2 3 0 ^ { \circ }$$ 分别为第二、第三象限角， $$\cos \theta = \frac { x } { r } = \frac { 3 a } { - 5 a } = - \frac { 3 } { 5 } ， \tan \theta = \frac { y } { x } = \frac { 4 a } { 3 a } = \frac { 4 } { 3 } .$$ $$\therefore \sin 1 0 5 ^ { \circ } > 0 ， \cos 2 3 0 ^ { \circ } < 0 .$$ .于是 $$\sin 1 0 5 ^ { \circ } \cdot \cos 2 3 0 ^ { \circ } < 0 .$$ 跟踪训练 $$\textcircled 2 \because \frac { \pi } { 2 } < 3 < \pi ， \therefore 3$$ 是第二象限角， ∴cos3<0. 1.解角a的终边落在直线 y=-3x 上，设终边上任一点 P(x，-3x). $$q ： - \frac { 2 \pi } { 3 }$$ 是第三象限角， $$\therefore \tan \left( - \frac { 2 \pi } { 3 } \right) > 0 ，$$ 若 x>0， 则 $$r = \sqrt { 1 0 } x ， \sin \alpha = - \frac { 3 \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } ， \cos \alpha = \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } ；$$ $$\therefore \cos 3 \cdot \tan \left( - \frac { 2 \pi } { 3 } \right) < 0 .$$ 若 x<0， 则 $$r = - \sqrt { 1 0 } x ， \sin a = \frac { 3 \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } ， \cos a = - \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } .$$ 跟踪训练 4.解析第二象限只有 sinα>0，cosα<0，tanα<0，A，C 探究二 满足题意， [例2] [解析] (1)设交点坐标为 P(x，y)， 根据三角函 答案AC 数的定义，可得， $$x = \cos \alpha = - \frac { 1 2 } { 1 3 } ， y = \sin \alpha = \frac { 5 } { 1 3 } ，$$ 所以角， 5.解析对于 $$A . 2 5 0 ^ { \circ }$$ 为第三象限角，所以 $$\cos 2 5 0 ^ { \circ } < 0 ，$$ ，故 的终边与半径为1的圆的交点坐标是 $$\left( - \frac { 1 2 } { 1 3 } ， \frac { 5 } { 1 3 } \right) ，$$ A正确；对于 $$B . - \frac { \pi } { 4 }$$ 为第四象限角，所以 $$\sin \left( - \frac { \pi } { 4 } \right) <$$ 0，故B错误；对于 $$C . - 6 7 2 ^ { \circ }$$ 为第一象限角，所以 $$\tan \left( - 6 7 2 ^ { \circ } \right) >$$ (2)由 cosθ+3sinθ=0 得 $$\tan \theta = \frac { \sin \theta } { \cos \theta } = - \frac { 1 } { 3 } ，$$ 由三角函 0，故C正确；对于 $$D . \frac { 1 1 \pi } { 3 }$$ 为第四象限角，所以 $$\tan \frac { 1 1 \pi } { 3 } <$$ 数定义知 $$\tan \theta = - a = \frac { 2 } { b } = - \frac { 1 } { 3 } ，$$ 解得 $$a = \frac { 1 } { 3 } ， b = - 6 ，$$ 0，故 D 正确. ∴3a-b=1+6=7. 答案A CD [答案] (1)D (2)D 【随堂巩固促应用】 跟踪训练 1.解析因为角a的终边经过点 P(3，-4)， ，所以 $$\tan \alpha = \frac { y } { x }$$ 2.解析 由已知可得 x<0， 利用三角函数的定义得 $$\frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } } = - \frac { 3 } { 5 } ，$$ ，解得 x=-6. $$= \frac { - 4 } { 3 } = - \frac { 4 } { 3 } ，$$ ，故选B. 答案 B 答案 D 2.解析 因为 P(2，y) 是角θ终边上一点， 所以 sin 0= $$\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \sqrt 5 ，$$ 3.解析 设 P(x，y)， ，则由题可得 $$\tan \alpha = \frac { y } { x } = 2 ，$$ 解得 $$\frac { y } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = - \frac { 3 } { 5 } \left( y < 0 \right) ，$$ ，解得 $$y = - \frac { 3 } { 2 } ，$$ ，故选C. $$\left\{ \begin{array}{l} x = 1 ， \\ y = 2 \end{array} \right. ， \left\{ \begin{array}{l} x = - 1 ， \\ y = - 2 ， \end{array} \right.$$ 答案 C [ 故点P的坐标为 ( 1，2)或 (-1，-2). 3.解析因为 与tana同号， 所以cosa与tan a的乘 L y=-2， 积为正，即正弦值为正，所以 在第一、二象限 答案 (1，2)或 (-1，-2) 答案 B 探究三 [例3] (1)[解析] 因为点 P(sinθ，tanθ) )在第二象限， 4.解析 由已知可得 0<a<π， 则 $$0 < \frac { a } { 2 } < \frac { \pi } { 2 } ， \sin a > 0 ，$$ 所以 $$\left\{ \begin{array}{l} \sin \theta < 0 ， \\ \tan \theta > 0 ， \end{array} \right.$$ $$则 x \otimes \in \left( \pi + 2 k \pi ， \frac { 3 \pi } { 2 } + 2 k \pi \right) \left( k \in Z \right) ， 则$$ $$\tan \frac { \alpha } { 2 } > 0 ， \frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi$$ 时， ，cosα<0，tanα<0. $$\frac { \theta } { 3 } \in \left( \frac { \pi } { 3 } + \frac { 2 k \pi } { 3 } ， \frac { \pi } { 2 } + \frac { 2 k \pi } { 3 } \right) \left( k \in Z \right) ， \frac { 3 } { 4 }$$ ，求k=3n(n∈Z) 答案 BC 7.2.2 单位圆与三角函数线 时， $$\frac { \theta } { 3 } \in \left( \frac { \pi } { 3 } + \frac { 6 \pi \pi } { 3 } ， \frac { \pi } { 2 } + \frac { 6 n \pi } { 3 } \right) \left( n \in Z \right) ， 则 \frac { \theta } { 3 } \in \left( \frac { \pi } { 3 } + 2 m \pi ，$$ 【自主学习探新知】 $$\frac { \pi } { 2 } + 2 m \pi \right) \left( n \in Z \right) ， 则$$ $$\angle \frac { \theta } { 3 }$$ 的终边在第一象限，当 k=3n+1 知 知识点二1.正数负数余弦线正弦线 2.正切线 (n∈Z) $$， \frac { \theta } { 3 } \in \left( \frac { \pi } { 3 } + \frac { 6 n \pi + 2 \pi } { 3 } ， \frac { \pi } { 2 } + \frac { 6 n \pi + 2 \pi } { 3 } \right) \left( n \in Z \right) ，$$ 微判断 (1)(x) (2)(x) (3)() (4)() 4 【互动探究解疑难】 探究三 探究一 [例1】[解]角经的终边（知因） 4 [例3)[解] (①)如图①，过点(0，一）作x轴的平行线交 与单位圆的交，点为P 单位圆于P,P两点，尉n∠0P=m∠0P=一 作PM垂直于x轴，堰足为M, 过A(1,0)作单位圜的切线AT, ∠0p-5,∠0p-g, 与平的终边的反向延长线交于 故a的范周是{a+2<a<号+2kk2 点T, 则乎的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为A立 跟踪训练 1上解如国所示，一平的正孩线为M应，余孩线为O,正切 钱为A工 ty ① ②如图②，过点（停，0）作工轴的叠线与单位国交于P,P两 点，剥oe∠0p=cm∠a0p=.∠0p=吾，∠a0p- 9:的终边 探究二 -晋，故a的范国是{a-吾+2%m<a<晋+2xk∈Z. [例2][解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示， 跟踪训练 2T 3.解析作直线x=一2交单位国于C,D两点，连接0C, OD,则OC与OD围成的区战（图中阴影部分）即为角a A(1.0) I'MO 终边的花国，故满足条件的角。的条合为口2x+≤ T ≤2x+号k∈Z. 以工轴非负率轴为始边作的终边与单位圆交于P点， 作PM⊥Ox,垂足为M,由单位园与Ox正方向的交点A 作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点， 则sin2经=MP,cos2红=OM,tan2=AT. 3 3 3 同理，可作出“的正弦线，余弦线和正切线， 2 sing=Mp',os管=OM,an暂=AT. 答案 {e2x+5<a<2a+弩，kez 由国形可知MP>MP',特号相同，则sin子>sin号： :4.解析作出半径为1的圆如下图所示： OM>OM,持号相同，则cos>cos经： y=x AT<AT,特号相同，则an<an怎 跟踪训练 2.解如图，在单位圆O中分别作 出角受的正孩线M尸和受的余 满足不等式sinx一cosx<0的角x的区域如图中的阴 弦线OM,、正切线AT 彩部分所示（位于直线y=x的下方），故在(0,2π)内，满 由受=不一吾知M户-M户，又 MO径A 足不等式5imx-0sx<0的x的取值集合是{z0<x <<，易知s号x< 2 <或<r<2x 变<am冬，故6Ka<c 答案{0<x<或<x<2x 5 【随堂巩固促应用】 (2)sna-1-cos。-1-(-号）'-（号）' 1.解析由题意|sina=1,.sina=士1，则角a的终边在 y轴上，故选B 因为c08a=一 4<0,所以a是第二成第三象限角， 答案B 2解析由正俄线，正切线的定义可知，MP是正弦线，A了 当e是第二泉限角时，如。=是，am0-08=一 cos a 4 是正切线， 当a是第三象限角时，sina=一3 ，tana=sine-3 答案C cos a 3.解析根据正弦线和余孩线的定义知，当a(0<a<2π)的 跟踪训练 正孩线和余孩钱长度相等，且特号相同时，终边落在了第山解由1aa识g分，得na=号c0。, 4 ① 一，三象限的角平分线上，即。=平或警 又sina+cosa=1, ② 答案或 由①@，得5cosa十cosa=1,脚cosa=云 又a是第三象限角， 4.解析 :<1<弩R△OAM中，OM<AM ∴cosa= 3 sin=os=- 探究二 [创潮]原式-品-袋-是 （2)原式=m二2.123=-员 4-3tan'a 4-3×32 3 根据三角函数线的定义得OM=cos1,AM=sin1, sin'a+2cosa (3)原式= ,∴.sin1>cos1. sina十cosa 答案sin1>cos1 ra+号 4 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 tan'a+1 【自主学习探新知】 = 知识点 3+1 40 1.sin'a+cos'a=1 跟踪训练 tma=0(a≠tx+受，ke 2.解析因为1ana=3=s加g,所以sina=3cosa,因此 cos a 2.(1)1-cos'a 1-sin'a (2)tan acos a 2sin acos a= 2sin acos a 6cos'a 63 微练习 sin'a+cos'a 9cos'a+cos'a 10 5 答案C 3 1.解析图为角a是第一象限角，且血a=号，i加a十3.解折由条件可知血2=ana=3,2o0sa一1=0s。- cos a cosa=1,所以cosa=V-sina=√1-（号）=号 器器-昂台 答案C 答案B 2解析由ana=子，可得0g=子 3 cos a =4,又sin'a十cos'a=1, 探究三 可得品msa十osa=1,解得coa=碧因为a(,受动， [例3][解]周为si血0叶cos0=(0<0<, 所以c0sa=一台 所以(sn0叶cos0=子， 答案C 即sin'0+2sin0cos0叶cos0=， 4 【互动探究解疑难】 探究一 所以sin6cos0=一 3 [例11[解]cosa=1-ima=1-()=()广， 由上知0为第二象限角， 所以sin0-co30>0, 又因为a是第二象限角，所以c0sa<0,c0sa= 13' 所以sin8-cos0=√/(sin0+cos)°-4sin0cos日 tana=si加g=-l2 cos a 5 =√)-4x(-)- 6高中数学·必修 第三册(RJB) 7.2.2 单位圆与三角函数线 [学习任务] 1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦,余弦和 正切. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 自主学习探新知 课前预习 双辈落实 知识点一 单位圆 2.正切线 如图所示,设角a a的终边 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足 的终边与直线:一1交B的终边 *+y{-1的点组成的集合称为单位圆 于点T,则AT可以直观 知识点二 三角函数线 地表示tang,因此AT 1. 正弦线与余弦线 称为角的 .当角的终边在第二、三 如图所示,如果过角。 ya的终边 象限或x轴的负半轴上时,终边与直线 终边与单位圆的交点P作 x一1没有交点,但终边的反向延长线与: x轴的垂线,垂足为M,则 1有交点,而且交点的纵坐标也正好是角的 正切值. OM可以直观地表示cosa:a的终边 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线 OM的方向与c轴的正方向相同时,表示 微判断 cos是 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”). ,且cosa=OM;OM的方向与 ,且 (1)正弦线MP也可写成PM x轴的正方向相反时,表示cosa是 (2)三角函数线都只能取非负值 cosa一一OM.习惯上,称OM为角。的 (3)当角。的终边在y轴上时,余弦线变成一 个点,正切线不存在. .类似地,图中的MP可以直观地表 ) (4)当角a的终边在:轴上时,正弦线、正切 线都变成点. ( 示sina,因此称MP为角a的 ) D互动探究解疑难 要点纳 重难突酸 探究一 作三角函数线 Il规律方法l 三角函数线的画法 (1)作正弦线,余弦线时,首先找到角的终边与单位 圆的交点,然后过此交点作文抽的垂线,得到垂足,从而 得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线; 交角的终边或终边的反向延长线干一点T,即可得到正 切线A7. 10 第七章 三角函数 D跟踪训练 D跟踪训练 的正弦线、余弦线和正切线. $$5,b cos$$ . 1.作出一 2.利用三角函数线比较:a一sin 的大小。 c-tan 探究三 利用三角函数线解不等式 [例3] 利用三角函数线,求满足下列条件的a 的范围. (1)sina一 )” (2)cosa> 分 2 探究二 利用三角函数线比较大小 2π与sin 2与 [例2] 分别比较sin 3 3 2π与tan 4的大小. cos 3 lI规律方法|I 利用三角函数线解三角不等式的方法 利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的 方法,求解关键是恰当地寻求点,一般来说,对于sinx b,cosxa(或sinrb.cosxa).只需作直线y=b. x-a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边 所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的工的范 围;对于tanxc(或tanxc).则取点(1.c),连接该 点和原点即得角的终边所在的位置,并反向延长,结 合图象可得. C跟踪训练 3.(2022·遂川高一月考)满足cosa<一 I|I规律方法l 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分 角a的集合为 三步: 4.(2022·缓德高一期末)在(0,2x)内,则满足 (1)角的位置要“对号入座”: 不等式sinx-cosx<0的x的取值集合是 (2)比较三角承数线的长度; (3)由有向线段的方向确定三角函数的正负。 11 高中数学·必修 第三册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.已知角。的正弦线是单位长度的向量,则角。 A.正弦线是PM,正切线是A'T' 的终边 ( B.正弦线是MP,正切线是A'T' A.在x轴上 B.在y轴上 C.正弦线是MP:正切线是AT C.在直线y一x上 D.正弦线是PM,正切线是AT D.在直线y=x或y=-x上 3.已知a(0<a<2x)的正弦线和余弦线长度相 2.如图所示,P是角a的 终边与半径为1的圆 等:且符号相同,则g的值为 的交点,PM 轴于 4.用三角函数线比较sin1与cos1的大小,结 M,AT和A'T'均是半 果是 .(用“一”连接 径为1的圆的切线,则 下列关于角a的说法a的边 提示请完成《素能提升训练》训练四 正确的是 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 [学习任务] 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角丽数式的求值、化简和证明 自主学习探新知 课前习 双基落实 知识点 同角三角函数的基本关系式 2.同角三角函数基本关系式的变形 rsin一 1. 同角三角函数的基本关系式 cos一 描述方式 (1)sina+cosa=1→ sina=士v1-cosa cos-士1-sin: 基本关系式 语言描述 基本关 ((sina士cos a)*-1士2sinacos a. 系式 (2)tn-sing_{ [sin= cos cossin 同一个角的正 tana 区微练习 平方关系式 弦、余弦的平方 和等于1 1.已知角a是第一象限角,且sina一 _ 的值是 同一个角:的正 ) 4 商数关系式 弦,余弦的商等 5 于角a的正切 C 12