7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

(1)360°=0°+360°. 有(aa=45°+k·360°，k∈Z)U{aa=225°+k·360°， (2)720°=0°十2×360°.图北，在0°一360°范国内，这两个 k∈Z}={aa=45°+k·180°，k∈Z),所以角a的集合是 角均与0°角终边相同.所以这两个角不属于任何一个 (aa=45°+k·180°，k∈Z}. 象限. 答案{aa=45°+k·180°，k∈Z (3)2012°=212+5×360°，所以在0°一360°范围内，与 2012角终边相同的角是212°，所以2012°是第三象 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 限角. 【自主学习探新知】 (4)-120°=240°-360°，所以在0~360范国内，与知识点一1.度60”弧度半径长rad2.ar弧度 一120°角终边相同的角是240°，所以一120°是第三象 限角， 数半径3.2xrad360°xrad180°80rad 探究四 /180) 例4们[解](1)终边落在OA位置上的角的集合为{aa =90°+45+k·360°，k∈Z={aa=135°+k·360°，k∈Z,微判断 终边落在(OB位置上的角的集合为(aa=一30°+k· (1)(×)(2)(√)(3)（√）(4)() 360°，k∈Z}. 知识点二 (2)由图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有 180ar 需rr 介于一30°到135之间的角组成的集合，故可表示为{a 微练习 -30°+k·360°≤a135°+k·360°，k∈Z. :1.解析 设该扇形半径为，又：国心角a=平，孤长1= 跟踪训练 5.解析由题图可知与OA终边相同的角的集合为(aa= 至心由扇形孤长公式1=a,可得受=开X,解得「 k·360°+120°，k∈Z),与OB终边相同的角的集合为{a =2. a=k·360十（一45°），k∈Z)},故终边落在阴影部分（不 答案B 含边界)的角的集合是{ak·360°一45<a<k·360°+ :2.解析周为扇形的中心角为120°，即扇形的中心角为ā 120°，k∈Z. 答案{ak·360°一45”<a<k·360°+120°，k∈Z -子又半径为一百，所以扇彩的面积为S=之=司 6.解析因为终边落在y轴上的角为90十k·180°，k∈Z, 终边落在虚线上的角为120°+k·360°=120°+2k·: ×经×w)r=元 180°，k∈Z:300°+n·360°=120°+180°+2n·180°= 答案A 120°+(2m十1)·180°，n∈Z,即终边在虚线上的角为 【互动探究解疑难】 120°+k·180°，k∈Z,所以终边落在朋影部分的角为90° 探究一 +k·180°<a<120°+k·180°，k∈Z. 答案{a90°+k·180°<a<120°+k·180°，k∈Z} [例C解]1D72*=72×高-经 【随堂巩固促应用】 1.解析由题意得BA∩C,故A错误：A与C互不色含， (2)-30=-300×1高0=- 3 故B错误，由B={钝角}至（小于180°的角}，所以BUC 32-(2×10）-(30) =C,故C正确，由以上分析可知D错误。 答案C (4)-=-（×1）=-40 2.解析由0°<a<180°，分类讨论如下：当0°<a90°时，a 的终边在第一象限：当a=90时，a的终边在y轴正半轴 跟踪训练 上：当90°<a<180°时，a的终边在第二象限，故选D. L.解 1230-(2罗）-罗×0-受 答案D 3.解析与2021°角终边相同的角连同其本身在内的所有 (2)-语=-(2×12）=-75 角可以组成集合A={xx=k·360°+2021°，k∈Z.令 探究二 ·360°+2021”<0”，解得<一30，则k的液大整数例2][解](1D如题图①330角的终边与30角的 值为一6.所求角为360°×（一6）+2021°=一139° 终边相同，将一30化为孤度，即一吾，而7行=75×80 答案A -S 4.解析终边落在第一象限角平分线上的角口的集合为 12 (aa=45+k·360.k∈Z={aa=45+2k·180°，k∈Z1,终 .终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 边落在第三象限角平分线上的角a的集合为{aa=225 +k·360°，k∈Z=(aa=45+(2k+1)·180°，k∈Z1,于是： (02x-吾<0<2x+径kez 2 (②如题国②，“30=吾，20=爱这商个角的终边所在的5.解析：孤四所在国的半径为6，做AB的长是6y3, 直线相同，国此终边在直线AB上的角为a=k红十石，k∈乙 ∴益回所在国的圆心角∠AOB=学孤田的益长为6 又终边在y轴上的角为B=x十受，∈ ×红=4x:扇形AOB的面积为7×4xX6=12,三角形 3 1 从而终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 A0B的面积为2×63×3=9，孤田的面积为12x {0kx十晋<0<km+受，k∈Z. -93. 跟踪训练 答案4π12m-9√3 2解折由-号-吾<x:得-音<<号周为∈乙 【随堂巩固促应用】 1.解析210×高=名x 7 所以=-101,2，即a=一晋一吾·音号，周MnN 答案B 2.解析 -号×180=108，故选B 答案A 答案B 3.解析(0,2π)范围内，第一象限角的终边对应的角为03，解析当角a终边在x轴正半轴上时，a=2kx(k∈Z),当 孤度的角到2孤度的角，结合三角函数的周期性，那么第 角a终边在x抽负半轴上时，a=2kπ十π=(2k十1)x(k∈Z), 因此终边在x轴上角的集合为{aa=kπ，k∈Z, 一象服角的集合为{a2kr<a<2kx十受，k∈Z 答案{ala=kπ，k∈Z 5 5 答案 {a2k<a<2kx+受，k∈Z 4.解桥150=名x,所以孤长为8×2=5xem 5 探究三 答案」 3元 [例3][解]设扇形圆心角的孤度数为(0<<2x),孤 长为1，半径为r,面积为S 7.2 任意角的三角函数 l+2r=10, ① (1)依题意有 7.2.1三角函数的定义 =4 ② 【自主学习探新知】 ①代入②得-5r十4=0，解得r1=1,r2=4, 微判断 当r=1时，l=8cm,此时，0=8rad>2xrad,会去： (1)(×)(2)(√)(3)(×) 当=1时2m,光时，0=导号d, 知识点二全正正弦正切余弦 (2)由1+2r=10得1=10-2r 微练习 s=r=10-2r)r=5r-r=-(r-) 1.解析因为sina=名>0，eosa=一 5<0,所以角。所 4 草0<r<. 在的象限是第二象限，故选B. 答案B 当r=号时.S取得最大值空，这时1=10-2X 2.解析对于①，因为一100为第三象限角，所以sin(一100) =5 <0:对于②，因为一220°为第二象限角，所以c0s(一220°) ÷0=5=5=2(rad. <0:对于③，园为2孤度角为第二象限角，所以tan20: 2 对于④，因为1弧度角为第一象限角，所以cs1>0,故远 ABC. 跟踪训练 答案ABC 1 【互动探究解疑难】 4.解析设扇影的半径为R,由 a=5-1 S. 1 2 探究一 [例1门(1)[解析]因为角a的终边与半径为1的国交于 故D正确：由a十a:=2,所以52。十a=2,解得a =(W5-1),故C正确：由5,1≈0.618，则5-1≈ 2 所以r=0P=1,所以sima=-尽，。 3 1.236,所以a=(W5-1)π≈1.236×180°≈222.5°，所以 41≈360°-222.5°=137.5，故B正确. 所以sin aco5a= 33 3 答案BCD [答案]B 3高中数学·必修第三册(RJB) 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 [学习任务] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的换算 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 自主学习探新知 误前预习双基幕实 知识点一弧度制、角度制及其换算 (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大 1.度量角的两种单位制 小无关 定义 用 作单位来度量角的制度 (3)160化为弧度制是8xrad 角度 把圆周等分成360份，其中每一份 制 1度的角 所对应的圆心角为1度，记作1°，1 (4)1rad的角比1的角要大. =60',1' 知识点二弧长公式与扇形面积公式 定义 以 为单位来度量角的制度 弧度 设扇形的半径为r,弧长为1，a(0<a<2π)为 长度等于 的圆弧所对的圆心 制 1弧度的角 角为1弧度的角，记作1 其圆心角，则 2.弧长公式 度量单位类别 a为角度制 a为弧度制 在半径为”的圆中，若弧长为【的弧所 扇形的弧长 1= 对的圆心角为加ad,则a一由此得到1二 扇形的面积 ,即弧长等于其所对应的圆心角的 与 的积 《微练习 3.角度制与弧度制的换算 1,若某扇形的弧长为受，圆心角为于，则该扇形 角度化弧度 弧度化角度 的半径是 360°= 2x rad= A.1 B.2 180° x rad C.3 D.4 ≈0.01745rad I rad= ≈57.30 2.扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形 度数×0-弧度数 弧度数× 180 °=度数 的面积为 () 己微判断 A.r B智 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.() C.3x 23 3 D.9元 第七章三角函数 互动探究解疑难 要点归纳重滩突骇 探究一 角度与弧度的互化 探究二用弧度表示角 [例1] 把下列角度化成弧度或弧度化成：[例2]用弧度表示终边落在下列各图所示阴 角度： 影部分内（不包括边界）的角的集合。 (1)72°： (2)-300°： 210t 32:40-答 3030 330 川规律方法川 用弧度制表示角应关注的三点 规律方法川 (1)用其度表示区域角，实质是角度表示区城角在 角度与弧度互化的原则和方法 张度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算，注 1)原则：牢记180-元rad,充分利用1P-源rad, 意单位要统一 (2)在表示角的集合时，可以先写出一周范国 1ad=(9）选行接第。 (如一r一x,0一2x)内的角，再加上2kr,kEZ. (3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为 (2)方法：设一个角的孤度数为a,角度数为n,则 {xx=a十kr,k∈Z:终边在相互垂直的两直线上的角 ad-(ex1g2）w=x高rad 的集合可以合并为{工2=a十·受，k∈Z,在进行区 间合并时，一定要做到准确无误， 跟踪训练 1.(1)把11230'化成弧度： 跟踪训练 (2)把一受化成角度。 2设集合M=ae=经-景k∈Z,N=a -x<a<π}，则M∩N A(5, B0,吾号 C-,-号 5 2’23π D. 3.终边在第一象限的角的集合是 (用弧度制表示) 5 高中数学·必修第三册(RJB) 探究三弧长公式及扇形的面积公式 跟踪训练 [例3]已知扇形AOB的周长为10cm, 4.(多选)中国传统折扇 (1)若这个扇形的面积为4cm2,求扇形圆心 文化有着极其深厚的 角的弧度数： (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的 底蕴，一般情况下，折 大小及弧长。 扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而 成，设扇形（如图）的面积为S,圆心角为a, 圆面中剩余部分的面积为S2,圆心角为a2: 当S,与S,的比值为5，≈0.618（黄金分 2 割比)时，折扇看上去较为美观，那么() A.a1≈127.5 B.a1≈137.5 C.a4=(5-1)π D.a=5-1 2 5.《九章算术》是中国古 川规律方法 弧长公式及扇形面积公式的应用类问题的解决方法 代的数学名著，其中 首先，将角度转化为烈度表示，弧度制的引入使相 关的弧长公式、扇形面积公式均得到了筒化，所以解决 《方田》一章给出了弧 0 这类问题时通常采用烈度制。一般地，在几何国形中研 田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧 究的角，其范国是(0,2x),其次，利用a,l,r,S四个量“知 二求二”代入公式，在求解的过程中要注意： AB和其对弦AB围成的图形，若弧田所在圆 (1)看清角的度量制，选用相应的公式： 的半径为6，弦AB的长是6√3，则弧田的弧 (2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长 成面积的藏值问题，通常转化为某个函数的最值问题。 长为 :弧田的面积是 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 1.将210°化为弧度制的结果是 C.216 D.252 A号 B号 3.终边在x轴上角a的集合为 C.-5x 6 n号 4.半径为2cm的圆中，150°的圆心角所对的弧 的长度为 cm. 2.西化成角度制的结果为 提示请完成《素能提升训练》训练二 A.72 B.108° 6