7.1.1 角的推广-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

第七章 三角函数 7.1任意角的概念与弧度制 7.1.1角的推广 [学习任务] 1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义. 2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示 自主学习探新知 深前预习观基落实 知识点一角的概念与分类 :4.象限角 1,角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落 射线所形成的图形称为角，这两条射线分别 在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象 称为角的边和边. 限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在 2.角的分类 坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限 注意正角、负角的旋转方向 这微判断 类型 定义 图示 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (1)经过1小时，时针转过30° () 按照 方向旋转而 正角 (2)终边与始边重合的角是零角. 成的角 (3)第一象限角都是锐角 (4)钝角是第二象限角。 ( ) 0 按照 方向旋转面 (5)第三象限角一定比第一象限角大.( 负角 成的角 知识点二终边相同的角 所有与《终边相同的角组成一个集合，这 当射线 旋转时，我 零角 们也把它看成一个角，称 个集合可记为 即集合S的每 0 为零角 一个元素的终边都与a的终边相同，k=0时对 应元素为 3.角的加减运算的几何意义 设a,3是任意两个角，把角a的终边旋 赵微练习 转角3，这时终边所对应的角是 .把 与2022°终边相同的角是 角α的终边旋转角一B,这时终边所对应的角 A.-112 B.-72 是 C.222 D.142 高中数学·必修第三册(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳重难突骇 探究一 任意角的概念辨析 规律方法川 [例1](1)在下列说法中： 常用的三个结论 (1)终迹相同的角之可相差360°的整数倍】 ①0°~一90°的角是第一象限角： (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整 ②第二象限角大于第一象限角： 数倍， (3)终边在相互垂直的两直线上的角之闻相差90 ③饨角都是第二象限角： 的整数倍 ④小于90°的角都是锐角. 其中说法错误的序号为 口跟踪训练 (2)如图，射线OA先绕端点 3.写出与角a=一1910终边相同的角的集合， O逆时针方向旋转60°到 并把集合中适合不等式一720°≤8360°的元 OB处，再按顺时针方向旋 素3写出来。 转820°至OC处，则3= 川规律方法川 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关健：正确理解象限角与锐角、直角，钝角，平 角、周角等概念 (2)技巧：判所一种说法正确需要证明，而判断一种 说法错误只要举出反例即可， 跟踪训练 1.a是任意一个角，则a与一a的终边 ( A.关于坐标原点对称B.关于x轴对称 探究三 象限角的判定 C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称 2.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB 工例3](1)（多选）下列四个选项正确的有 位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC ( 位置，则∠AOC= A.一75°角是第四象限角 A.150 B.-150° B.225°角是第三象限角 C.390 D.-390° C.475°角是第二象限角 探究二 终边相同的角及应用 D.一315是第一象限角 [例2]分别写出终边在下列各图所示的直线 (2)(2022·焦作高一期中)已知角a的终边 上的角的集合， 与300°角的终边重合，则号的终边不可能在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 川规律方法川 判断象限角的步骤 (1)当0°≤a<360°时，直接写出结果： (2)当a<0°或a≥360°时，将g化为k·360°十日 (k∈Z,0≤9<360)，转化为判断角B所属的象限. 第七章三角函数 跟踪训练 川规律方法 4.在直角坐标系中，作出下列各角，在0°一360° 表示区域角的三个步骤 范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是 第一步：先接逆时针的方向找到区城的起始和终止 边界， 第几象限角， 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应 (1)360°：(2)720°：(3)2012°：(4)-120°. 的一360°~360°范图内的角a和3，写出最筒区间 {xa<x<,其中B-a<360 第三步：起始，终上边界对应角a3再加上360°的 整数倍，即得区域角集合 跟踪训练 5.(2022·聊城高一期末)如图，终边落在阴影部分 (不含边界)的角的集合是 探究四区域角的表示 45 例4]已知，如图所示. 301 (1)分别写出终边落在 OA,OB位置上的角的 459 集合： (2)写出终边落在阴影部分（包括边界）的角 6.如图所示，终边落在阴影部分（不包括边界） 的集合. 的角的集合是 1209 随堂巩固促应用 验证及馈迁移运用 1.已知集合A={第二象限角}，B={钝角}，： C.第一象限或第二象限 C={小于180°的角}，则A,B,C关系正确： D.以上答案都不正确 的是 ):3.设角的顶点在原点，始边和x轴的非负半轴 A.B=A∩C 重合，则和2021°角终边相同的最大负角为 B.AC C.BUC=C A.-1399 B.-129° C.-49 D.-39° D.A=B=C 4.角α的终边落在第一、三象限角平分线上，则 2.若0°<a<180°，则a的终边在 角a的集合是 A.第一象限 B.第二象限 提示请完成《素能提升训练》训练一 3同步课堂讲义 第七章三角函数 180°，k∈ZU{819=135°+k·180°，k∈Z={p1p=45°+ 2k·90°，k∈Z}U{8B=45+(2k+1)·90°，k∈Z)= 7.1任意角的概念与弧度制 {BB=45°+k·90°，k∈Z. 跟踪训练 3.解由终边相同的角的表示知，与角a=一1910°终边相 7.1.1 角的推广 同的角的集合为{P=k·360°-1910°，k∈Z}. 【自主学习探新知】 -720°≤9<360°， 知识点一1.始终2.逆时针顺时针没有 3.a+B 即-720°≤k·360°-1910°<360(k∈Z), a-B 微判断 3最<6最eD. (1)(×)(2)(×)(3)(×)(4)(/)(5)(X) 故取=4,5,6. 知识点二S=(B=a+k·360°，k∈Z)a k=4时，8=4×360°-1910°=-470°： 微练习 k=5时，B-5×360°-1910°=-110°： 解析2022°=360×5十222°，.与2022终边相同的 k=6时，8=6×360°-1910°=250. 角是222°. 探究三 答案C [例3][解析](1)对于A,如图①所示，一75角是第四 【互动探究解疑难】 象限角： 探究一 对于B,如图②所示，225角是第三象限角： [例1][解析](1)①0°角不属于任何象限，所以①不正确. y y ②120是第二象限角，390°是第一象限角，显然390>120°，所 2259 以②不正确.③纯角a的范围是90°<a<180°，显然是第二象 -75 10 限角，所以③正确.④锐角的集合是{a0°<a<90,小于90° 的角也可以是零角或负角，所以④不正确。 图① 图② (2)∠A0C=60°+(-820)=-760°，B=-760°+720°= -40°. 4750 -315 [答案](1)①②④(2)-40° 跟踪训练 1.解析设任意角&终边上一点的坐标为P(x,y),则对应 图③ 图④ 的角一a的终边点的坐标为P'(x,一y),因为点P(x,y) 对于C,如图③所示，475°角是第二象限角； 与P(x,一y)关于x轴对称，可得角a与一a的终边关于 对于D,如图④所示，一315角是第一象限角. x轴对称。 (2)因为角a的终边与300°角的终边重合，所以a=300 答案B 2.解析由题意，∠A0C=120°+(-270)=-150°，故选B 十长·360，k∈Z,所以号=100+k·120,k∈Z,令k= 答案B 探究二 0,号=100，终边位于第二象限：今=1，号=220，终边 [例2][解]①在0°~360°范围内，终边在直线y=0上 的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的 位于第三象限，令居=2，号=340，终边位于第四象限，令 角构成集合S,={B=0°+k·360°，k∈Z},而所有与： 180°角终边相同的角构成集合S。={βB=180°+k· k=3,号=100+360，终边位于第二象限…所以号的 360°，k∈Z},于是，终边在直线y=0上的角的集合为S 终边不可能在第一象限，故选A =5,US,={lB=k·180°，k∈Z. [答案](1)ABCD(2)A ②由图形易知，在0°~360°范图内，终边在直线y=一x 跟踪训练 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y=一x4.解如图所示，分别作出各角，可以发现： 上的角的集合为S=(9B=135°+·360°，k∈Z)U{B =315°+k·360°，k∈Z}={818=135°+k·180°，k∈Z. ⑧③终边在直线y=x上的角的集合为{B引B=45°十k· 360 720 012 120 180°，k∈Z团，结合②知所求角的集合为S={到B=45°+k· (1)360°=0°+360°. 有{aa=45°+k·360°，k∈Z}U{ala=225°+k·360°， (2)720°=0°+2×360°.因此，在0°~360°范围内，这两个 k∈Z}={aa=45°+k·180°，k∈Z},所以角a的集合是 角均与0°角终边相同，所以这两个角不属于任何一个 {aa=45°+k·180°，k∈Z. 象限 答案{aa=45°十k·180°，k∈Z} (3)2012=212°+5×360°，所以在0°~360°范围内，与 2012°角终边相同的角是212°，所以2012°是第三象 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 限角 【自主学习探新知】 (4)-120°=240°-360°，所以在0°~360°范围内，与知识点一1.度60”弧度半径长rad2.ar弧度 一120°角终边相同的角是240°，所以一120°是第三象 限角。 数半径3.2xrad360元rad180°0rad 探究四 (180 [例4][解](1)终边落在OA位置上的角的集合为{aa =90°+45+k·360°，k∈Z={aa=135°+k·360°，k∈Z,:微判断 终边落在OB位置上的角的集合为{a|a=一30°十k· (1)(×)(2)(√)(3)(/)(4)（√） 360°，k∈Z}. 知识点二 ar (2)由图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有 介于一30°到135°之间的角组成的集合，故可表示为{a 微练习 -30°+k·360°≤a≤135°+k·360°，k∈Z. 1.解析 设该扇形半径为又：圆心角。=年，孤长1= 跟踪训练 5.解析由题图可知与OA终边相同的角的集合为{aa= 登心由扇形孤长公式1=，可得受=晋X,解得r k·360°十120°，k∈Z},与OB终边相同的角的集合为{a =2. a=k·360°十（一45），k∈Z},故终边落在阴影部分（不 答案B 含边界)的角的集合是{ak·360°一45°<a<k·360°十 2.解析因为扇形的中心角为120°，即扇形的中心角为a 120°，k∈Z}. 答案{ak·360°-45°<a<k·360°+120°，k∈Z} -号又辛径为一厅，所以扇形的面软为S宫0-号 6.解析因为终边落在y轴上的角为90°十是·180°，k∈Z, 终边落在虚线上的角为120°+k·360°=120°+2k· ×号×w-元 180°，k∈Z:300°+n·360°=120°+180°+2n·180°= 答案A 120°+(2n十1)·180°，n∈Z,即终边在虚线上的角为 【互动探究解疑难】 120°+k·180°，k∈Z,所以终边落在阴影部分的角为90 探究一 +k·180°<a<120°+k·180°，k∈Z. 答案{a90°十k·180°<a<120°+k·180°，k∈Z} [例1][解] 172*=72×10-0 【随堂巩固促应用】 1.解析由题意得BA∩C,故A错误：A与C互不包含， : (2）-30'=-300×10=- 故B错误：由B={钝角}（小于180°的角，所以BUC (3)2-(2×1）-(30） =C,故C正确.由以上分析可知D错误： 答案C (0-=-(×1）=-40 2.解析由0°<a<180°，分类时论如下：当0°<a<90°时，a 跟踪训练 的终边在第一象限：当a=90°时，a的终边在y轴正半轴 上：当90°<a<180°时，a的终边在第二象限，故选D. 1.解11230=(2空）-2空×高0-餐 答案D 3.解析与2021°角终边相同的角连同其本身在内的所有： ②)-登=-（爱×19）=-75 角可以组成集合A={xx=k·360°+2021°，k∈Z}.令： 探究二 质·360+2021P<0,解得K-28,则k的最大整数[例2习】[解](1①)知题因①，：30角的外边与一30角的 值为-6.所求角为360°×(-6)+2021°--139 终边相同，将-30°化为孤度，即一吾，而75=75×忍0 答案A 4,解析终边落在第一象限角平分线上的角口的集合为 {aa=45°十k·360°，k∈Z={aa■45°+2k·180°，k∈Z,终 “终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 边落在第三象限角平分线上的角a的集合为{aα=225 +k·360°，k∈Z)={aa=45°+(2k+1)·180°，k∈Z},于是： (02x-吾<0<2s+登k∈. 2