第04讲 勾股定理（1个知识点+15大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第04讲 勾股定理（1个知识点+15大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股树（数）问题 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型五 利用勾股定理求长度 题型六 利用勾股定理求面积 题型七 勾股定理与网格问题 题型八 勾股定理与折叠问题 题型九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型十 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十一 勾股定理的证明方法 题型十二 勾股定理与无理数 题型十三 以弦图为背景的计算题 题型十四 勾股定理中的最值问题 题型十五 用勾股定理构造图形解决问题 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【核心考点一 用勾股定理解三角形】 【例1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．由等边三角形的性质可知三边长都为6，再利用等腰三角形的三线合一性质，由与垂直得到D为的中点，进而由的长求出的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为边长为6的等边三角形，且， ∴， ∴， 在中，由， 根据勾股定理得：． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，，，垂足为D，则斜边上的高 . 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积；根据勾股定理求得，进而根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 【例3】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，当秋千静止时，最低点A离地面的距离为，点与点B的距离为，点水平移动的距离为．求秋千的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先算出，结合线段的和差，则，再在中，由勾股定理得：，解出，即可作答． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：秋千的长为． 【核心考点二 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点到原点的距离和勾股定理，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：A.到原点的距离为，不符合题意； B.到原点的距离为，不符合题意； C.到原点的距离为，符合题意； D.到原点的距离为，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）已知点A、的坐标分别为、，点在第四象限，，且的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标，两点间距离公式，熟练掌握图形与坐标，两点间距离公式是解题的关键；由题意易得轴，且，设，然后根据三角形的面积及两点距离公式可进行求解． 【详解】解：由点A、的坐标分别为、，可知：轴，且， 设， ∵的面积为， ∴， 解得：， 根据两点距离公式可得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为． 【例3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和． (1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是巧妙的运用两点间的距离公式求出任意两点间的距离． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，可以利用垂直于轴的距离公式进行计算即可． 【详解】（1）解：点，， ， 即，两点间的距离是； （2）解：点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为， ， 即，两点间的距离是9． 【核心考点三 勾股树（数）问题】 【例1】（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）下列各组数据中是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义．如果三个正整数满足，则这三个正整数叫做勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：、、不是正整数， 、、不是勾股数，故A选项不符合题意 B选项：、、，，，， 、、不是勾股数，故B选项不符合题意； C选项：， 、、是勾股数，故C选项符合题意； D选项：、、不是正整数， 、、不是勾股数，故D选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【答案】 60，61 【分析】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 故答案为：． 【例3】（24-25八年级下·江西景德镇·阶段练习）与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为的三边，且） 表1 a b c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 表2 a b c 6 8 10 8 15 17 10 24 26 12 35 37 (1)根据表1中的规律，当时，______，______． (2)仔细观察表2，a为大于4的偶数，此时b，c之间的数量关系是______，，b，c之间的数量关系是______． (3)我们还发现，表1中的三边长“3，4，5”与表2中的“6，8，10”成倍数关系，表1中的“5，12，13”与表2中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在中，当，时，求直角边b的值． 【答案】(1)60；61 (2)； (3) 【分析】本题考查了勾股数的应用，能根据表中的数据得出规律是解此题的关键． （1）根据表中的数据得出规律求解即可； （2）根据表中的数得出规律即可； （3）根据得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，a、b、c之间的数量关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是，a、b、c之间的数量关系是； （3）解：∵， ∴， ∴． 【核心考点四 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形的面积为，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积为， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理， 由正方形面积公式得到，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积为14，正方形的面积为19， ，. ， ， 的面积． 故答案为：5． 【例3】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【答案】【解决问题】；【拓展探究】结论仍成立，理由见解析；【推广应用】30 【分析】本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】[解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 【核心考点五 利用勾股定理求长度】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A． B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，先根据勾股定理求出所需木头的取值范围为不小于米，不大于米，然后逐一判断即可解题． 【详解】解：当时，如图， ∵米， ∴米， ∴米， ∴这根木头需要长度不小于米，不大于米， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，将长度为10的线段先向左平移8个单位，再向下平移6个单位，得到线段，连接，，则 ，四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得出，，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长为： 故答案为：； ． 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等边中，点在边上，过点作交于点，过点作，交的延长线于点．已知，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，30度角所对的直角边是斜边的一半，先得出，结合30度角所对的直角边是斜边的一半，则，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，． 【核心考点六 利用勾股定理求面积】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 故选C． 【例2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图， 在中， ． 若， 则正方形和正方形的面积差为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理与面积，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：，， ， 正方形和正方形的面积差为． 故答案为：4． 【例3】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图中画出，其顶点都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，她借助此图求出了的面积．在图中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______：的面积为______． 【答案】，，， 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，在网格中根据勾股定理即可求，，的长，再用正方形面积减去三个直角三角形面积可得的面积，即可求解． 【详解】解：在中，，， 在中，，， 在中，，， 故答案为：5，，，． 【核心考点七 勾股定理与网格问题】 【例1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的性质，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，为边上的高， ， ，， ， 解得：． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中，是格点三角形（每个顶点都是格点），格点与全等（点D与点C不重合），满足条件的共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定，掌握勾股定理的判定方法是解题的关键． 运用勾股定理可得的长，根据全等三角形的判定方法作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，是公共边，， ∴运用边边边可证：， ∴满足条件的共有3个， 故答案为：3 ． 【例3】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形的性质． （1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由勾股定理知：，，． 所以，的周长为； 【核心考点八 勾股定理与折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的长是． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级下·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【核心考点九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【详解】解：以4，5为直角边的直角三角形斜边长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【答案】8 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在四边形中，，求的长． 【答案】． 【分析】延长相交于点，中，解得，继而根据含30°角直角三角形的性质解得，，在中，由勾股定理解得的长即可． 【详解】解：延长相交于点， 中， 中， 设 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【核心考点十 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（23-24八年级下·山东德州·期末）已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，，是中，，的对边， 若，则； 若，则； 若，则； 故①②③正确； 只有当时才有， 故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 【例3】（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∵ ∴； （2）如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴，即： 在中， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理构造辅助线是解决本题的关键． 【核心考点十一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法． 根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【答案】20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 【例3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 【答案】(1)5； (2)见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为5；； （2）解：由图可知： ， 整理得：． 【核心考点十二 勾股定理与无理数】 【例1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴表示数，勾股定理，根据勾股定理求出，即的长，进而得出点A在数轴上所表示的数． 【详解】解：如图，在中，，， ∴， ∴点A在数轴所表示的数为． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，以点为圆心、的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故点A所表示的数是：． 故答案为：． 【例3】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点D所表示的数为，点E所表示的数为 【分析】（1）可看作是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，再结合正方形的性质画图即可． （2）由题意可得，由数轴的定义可知点E所表示的数为． （3）由题意画出数轴，在数轴上取点A，使点A表示的数为2，作直角三角形，使，则，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交数轴于点D，E，则点D所表示的数为，点E所表示的数为． 本题考查了无理数与勾股定理，数轴与实数，勾股定理与网格，在数轴上表示实数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，正方形即为所求． （2）∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， 即， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点E所表示的数为 故答案为：． （3）如图，点D所表示的数为，点E所表示的数为． 【核心考点十三 以弦图为背景的计算题】 【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据材料提示可得，由，即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 【例2】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，若，，则 ．    【答案】1 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．依题意得 ，则然后再根据即可得出答案． 【详解】如图所示的“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成， ， ， 又∵， ， 故答案为：． 【例3】（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，，， (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是． 故答案为：，，， （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 当，时，原式． 【核心考点十四 勾股定理中的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是、上的动点，则的最小值是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于，在上截取，连接，证明得出，根据当、、三点共线且（即与重合）时，的最小值为，再由等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得出结论． 【详解】如图所示，作于，在上截取，连接． ，， 是的平分线 ， 又 ． ． ． 当、、三点共线且（即与重合）时，为最小值． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，根据题意得出当、、三点共线且（即与重合）时，的最小值为是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，且满足，点是边上一动点，连接，过点和分别作，，垂足分别为，，则当取得最大值时，的长为 ． 【答案】8 【分析】过点作于点，过点作于点，根据非负数的性质可得，，从而得到，再由勾股定理可得，再由三角形的面积可得，然后根据，可得的值最小时，的值最大，即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． ， 又，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 的值最小时，的值最大， 根据垂线段最短可知的最小值为， 的最大值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，非负数的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，非负数的性质是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·广东中山·期中）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)锁链长度的最大值为 (2)桑梯顶端D到地面的距离为 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等等； （1）根据当时，锁链长度的最大，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点D作，垂足为E，在中，用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：（1）由题意得：当时，锁链长度的最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴锁链长度的最大值为； （2）（2）过点D作，垂足为E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴此时桑梯顶端D到地面的距离为． 【核心考点十五 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·山西运城·期中）我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺尺），将它往前（水平距离）推送10尺（尺）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺（尺），秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合下图计算绳索长 尺． 【答案】14.5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：设绳索有x尺长，依题意 解得：， 故答案为：． 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【答案】101寸 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸． 答：门宽是101寸． 【变式训练1 用勾股定理解三角形】 1．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（  ） A．1米 B．米 C．2米 D．3米 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 作，根据勾股定理求得的长，即可解答； 【详解】解：作， 根据题意得米， 由勾股定理可得， ∴米， ∴米， ∴此时木马上升的高度为1米， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，于点D，E在上，连接，．若，则长为 【答案】/ 【分析】先求出，设，则，求解，再进一步求解即可．本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【详解】解：，，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知中，，，点为上一点，且到，两点的距离相等． (1)用直尺和圆规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握中垂线的基本作图步骤． （1）根据题意，得到点在线段的中垂线上，尺规作出线段的中垂线即可； （2）设，则，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图， ∵点在线段的中垂线上， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 即， 解得：， ∴． 【变式训练2 已知两点坐标求两点距离】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标是． 故选：A 2．（24-25八年级下·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：， ∵把式看成点到两点和的距离之和， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长， ， 即的最小值为5， 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知在一平面直角坐标系中，和的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在和这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【答案】(1)见解析 (2)D点离坐标原点更远 【分析】本题考查平面直角坐标系和勾股定理． （1）根据点A和点B的坐标即可解答； （2）根据勾股定理计算和，再进行比较即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）解：根据勾股定理可得：， ， ∵， ∴D点离坐标原点更远． 【变式训练3 勾股树（数）问题】 1．（24-25八年级下·福建漳州·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A．8，15，17 B． C． D．2，12，14 【答案】A 【分析】此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．利用勾股数的定义进行分析即可． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、、、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若9、41、m是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键． 分两种情况讨论：当m最大时，当41最大时，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：当m最大时，，不是正整数，舍去 当41最大时， ，符合题意． 故答案为：40． 3．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【答案】(1)24，26 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明． （1）依据材料所给公式，代入计算即可； （2）再任意举例计算即可证明． 【详解】（1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）解：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 【变式训练4 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索长是多少？”示意图如图所示，请求出绳索的长度为多少尺（结果保留1位小数）（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段的长是解题的关键． 根据题意，是直角三角形，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则，且， ∵垂地，即， ∴是直角三角形，， ∴，即， ∴， ∴ ∴绳索的长度为尺， 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，若乙的面积是25，丙的面积是15，丁的面积是4，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理，连接，根据勾股定理，得到，进而得到甲与丁的面积之和等于乙和丙的面积之和，进而求出甲的面积，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴由勾股定理，得， ∴甲与丁的面积之和等于乙和丙的面积之和， ∴甲的面积， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．（23-24八年级下·天津红桥·期末）如图，在中，，，． (1)的面积等于_______． (2)D为的中点，P是上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作轴对称点， （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）作点B关于的对称点，连接交于点P，，结合两点之间线段距离最短点P即为所求． 【详解】（1）解：（1）∵，，， ∴． 故答案为：6； （2）如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求． 【变式训练5 利用勾股定理求长度】 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（   ） A．11 B．55 C．66 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得， “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和为11， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为长方形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃） ． 【答案】260 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理求出多媒体屏幕的对角线长度即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得多媒体屏幕的对角线长度为拃， ∴多媒体屏幕的对角线长度大约是， 故答案为：260． 3．（24-25八年级下·山西·阶段练习）如图是一块直角三角形形状的纸板，量得两直角边长分别为，，现在要将纸板扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以边或为直角边的直角三角形． (1)高老师给出一种设计方案如图1，在的左边补充，使得，则此时的长度为________． (2)药老师模仿高老师的方案，又给出一种设计如图2，还是在的左边补充，使得，则此时的长度为________． (3)韩老师嘿嘿一笑，我再给出一种设计如图3，还是在的左边补充，使得，则此时的长度为________． (4)贾老师说，我还能以为直角边设计方案，请你替贾老师画出一种补充的图形，请在图4中画出你的补充图形，并求出补充后等腰三角形的面积． 【答案】(1)6 (2)4 (3) (4)图见解析， 【分析】本题考查了等腰三角形性质及勾股定理的应用， （1）由等腰三角形性质直接得出即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据等腰三角形定义得出即可； （3）设，则，根据勾股定理列方程求出即可； （4）的下边补充，使得，根据等腰三角形性质求出底边长即可求出面积． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：6； （2）在中，，， ， ， ， 故答案为：4； （3）设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：； （4）如下图：延长到点M，连接，的下边补充，使得， ， ， ． 【变式训练6 利用勾股定理求面积】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，，分别以为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为144、225、S，则S的值为（    ）    A．27 B．225 C．256 D．369 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理可知，即大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，即：； 故选D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，若则图中正方形（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理求线段长、正方形面积公式，在中，由勾股定理可得长度，从而确定正方形边长，再由正方形面积公式代值求解即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，则由勾股定理可得，即正方形的边长为， 阴影部分正方形的面积是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，将边长分别为和的长方形分割成四个全等的直角三角形，再用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，中间形成一个小正方形的空洞．若长方形的面积为24，大正方形的边长为5．试通过你获取的信息，解答下面问题． (1)________． (2)求中间形成小正方形的面积． 【答案】(1)25 (2)1 【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质及直角三角形．解题的关键是根据图示找出大正方形、四个直角三角形、小正方形间的数量关系． （1）根据勾股定理，大正方形的边长为5，求出即可； （2）根据，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵大正方形的边长为5， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∴中间形成小正方形的面积为1． 【变式训练7 勾股定理与网格问题】 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长． 本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理得： ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及正方形的面积的计算．结合网格图，利用勾股定理求正方形边长是解此题的关键．先利用勾股定理计算得长，再利用正方形面积公式即可求得答案． 【详解】∵为直角三角形，由勾股定理得： ， 故易知阴影为正方形， 故 故答案为： 3．（24-25八年级下·山西晋中·阶段练习）综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【证明方法】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论：． 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_________． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，是边上的高，求的值． 【定理应用】 （3）如图4，在长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为_________． 【数学思想】 （4）在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想是_________（填序号）． ①数形结合思想    ②分类讨论思想    ③函数思想 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）① 【分析】本题主要考查勾股定理与网格，数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算方法，掌握勾股定理的运用是解题的关键． （1）运用勾股定理可得，设边上的高为，，运用网格与勾股定理可得，由此列式即可求解； （2）设，则，在中，，在中，，由此列式即可求解； （3）如图所示，连接，运用勾股定理可得，根据数轴上两点之间距离的计算方法即可求解； （4）根据题意，解析过程进行分析即可求解． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得，， 设边上的高为， ∴， 如图所示，分别取格点，连接， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）如图所示，连接， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点， ∴， ∵数轴上点表示的数是， ∴点表示的数为， 故答案为：； （4）根据以上解析过程可得，运用的数学思想是“数形结合”， 故答案为：①． 【变式训练8 勾股定理与折叠问题】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长 ． ． 【答案】/ 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠，得到，，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形一边，使D落在边的点F处， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：， ∴； 故答案为： 3．（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．    (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据折叠的性质得到，，则，，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式训练9 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，某公园内的一块草坪是长方形，已知，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近道．一个人从A到C走比直接走多走了（    ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【答案】B 【分析】由勾股定理解得AC的长，再比较AC与从的大小． 【详解】解：在长方形中， 从A到C走比直接走多走4米， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理可得： 再利用，然后整体代入求解即可. 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是半圆的面积的计算，勾股定理的应用，掌握利用勾股定理的知识计算图形的面积是解题的关键. 3．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知A点的高度为3米，台阶的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上． （1）求斜坡的长； （2）请根据以上条件求出树的高度．（侧倾器的高度忽略不计） 【答案】（1）米；（2）树高为9米． 【分析】（1）过点A作于F，构造矩形，设，在中，利用正切定义解得，在中，由正切定义解得，利用勾股定理解得； （2）在中，设，，由正切定义解得，结合线段和差解题即可． 【详解】解：（1）如图，过点A作于F， 则四边形为矩形， ∴米， 设， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， （米）； （2）在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：树高为9米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练10 利用勾股定理证明线段平方关系】 1．（23-24八年级下·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为 ．（平方单位） 【答案】14 【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积． 【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC-直径为AB的半圆面积 = = = = = =14 故答案为：14． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 3．（23-24八年级下·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 【变式训练11 勾股定理的证明方法】 1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形是边长为c的正方形，则其面积为，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为，根据两种表示方法表示的面积相等即可得到结论． 【详解】解：大正方形是边长为c的正方形，则其面积为， 中间的小正方形是边长为的正方形，则其面积为， 大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为， ∴，即， 故选：C． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 3．（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法： （1）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可； （2）根据梯形的面积公式以及梯形的面积等于三个直角三角形的面积进行求解即可 ； （3）根据（2）中两种表示方法表示的面积相等列式证明即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：根据梯形面积公式可得梯形面积为； 根据梯形面积等于三个直角三角形的面积可得梯形面积为， 故答案为：，； （3）证明：∵（2）中两种表示方法表示的梯形面积相等， ∴， ∴， ∴． 【变式训练12 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，数轴上的点表示的数是，，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点C，则点表示的数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，先根据勾股定理求得，进而结合数轴，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 点表示的数为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图所示，已知，，数轴上点表示的数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理求出长度即可，正确理解实数与数轴是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数的值是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，矩形的边在数轴上，点是数轴的原点，点所对应的实数为4，，以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点，点在点的右侧，求点表示的实数． 【答案】点表示的实数为． 【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，实数与数轴；根据勾股定理求出的长，进而可求点表示的实数． 【详解】解：四边形是矩形，点所对应的实数为4，， ，， ， ， 由题可得点在负半轴， 点表示的实数为． 【变式训练13 以弦图为背景的计算题】 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，图1是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（   ） A．38 B．40 C．42 D．44 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为，，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是22， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键掌握勾股定理． 根据面积加减关系求解减即可得到答案； 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形．    (1)图2中小正方形的边长为___________（用含的代数式表示）： (2)当时，该大正方形的面积是___________． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可； （2）当时，求出大正方形的边长即可求其面积． 【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； 故答案为：； （2）解：当时，大正方形的边长， ∴大正方形的面积． 故答案为：17 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键． 【变式训练14 勾股定理中的最值问题】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 【答案】A 【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度 【详解】解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得 D=AD=5， 在Rt△CD中，D2=C2+CD2， 即52=（5-B）2+32， 解得B=1，. 当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3， 则点A'B最小值和最大值分别为1和3 故选：A 【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，点A、B在直线l的同侧，已知于C，于D，且，点P为直线l上一动点，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，三角形三边的关系，，连接，由得到当A、B、P三点共线时，有最大值，最大值为的长；如图所示，过点B作于E，根据平行线间间距相等得到，则，利用勾股定理得到，则的最大值为5． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴当A、B、P三点共线时，有最大值，最大值为的长， 如图所示，过点B作于E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为5， 故答案为：5． 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．    (1)在图1中，画出与关于直线l成轴对称的； (2)在图2中，在直线l上找出一点P，使得的值最大，该最大值为_____；（保留作图痕迹并标上字母P） (3)在图3中，在正方形网格中存在_____个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，5 (3)5 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点，依次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，延长交直线于点，利用对称的性质和两点之间线段最短可得到点满足条件，再利用勾股定理计算即可； （3）根据等腰三角形的定义找到符合条件的点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，点为所作； 其中的最大值为；    （3）如图，存在5个格点，使得该格点与、两点构成以为腰的等腰三角形． 故答案为：5．    【点睛】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了等腰三角形的定义． 【变式训练15 用勾股定理构造图形解决问题】 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边米远的水底，竹竿高出水面米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理应用， 河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 设河水的深度为x米，由题意得， 解得∶， 故选∶A． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、两点到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是 寸（1尺寸）．    【答案】101 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E．    设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸， 故答案为：101． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？ 【答案】17米 【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，读懂题意，得到图形中的相关线段长，在中，由勾股定理求出，数形结合，由代值求解即可得到答案，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， （米）． 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）下面各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的特点进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不是勾股数； ，故选项B不是勾股数； ，故选项C是勾股数； ，故选项D不是勾股数； 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，数轴，无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得，再求出，然后估算，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：， A表示的数比B表示的数小， 点B表示的数为， ， ， ， ， 即， a的值最接近的整数是． 故选：C． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）刘老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理求出，再根据图中两个“月牙”即阴影部分的面积等于以为直径的两个半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆的面积求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵图中两个“月牙”即阴影部分的面积等于以为直径的两个半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆的面积， ∴所求的面积为 ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键． 根据勾股定理可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：如图，    由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积， ∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， ∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故选：C． 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，，则数轴上点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据直角三角形勾股定理，计算出长，即可得到的长，进而即可求解，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设过点向数轴作垂线的垂足为， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴点所表示的数是， 故答案为：． 7．（浙江省名校发展共同体2024-2025学年八年级下学期12月月考数学试卷）如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，分两种情况：当时，如图，当时，设，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 综上：为或， 故答案为：或． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期末）将一块三角形纸板剪成如图1所示的①②③三块，在拼成不重叠，无缝隙的正方形（如图2）．若，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的剪拼，正方形的性质、勾股定理，准确识图，正确地找出剪拼前后图形中相关线段的关系，灵活运用勾股定理进行计算是解此题的关键． 根据题意设，，根据，求出的值，利用勾股定理得到，进而求出的值，进而根据求解即可； 【详解】解：根据图（1）（2）可得：，， ， ， 又， ， ， ， 由得， ， 而， 又， ∴， ， 解得， ， ， ， ∴． 故答案为： 9．（23-24八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为 尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即，解得：， ∴的长度为尺． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 【答案】(1)40；41 (2)，，，见解析 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究． （1）由规律可得，然后再由勾股定理得：，再计算即可； （2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第组数为，，，由此规律解决问题． 【详解】（1）解：由规律可得， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：40，41； （2）解：根据规律设第组勾股数为：，，． ∴， 解得， ∴猜想第组勾股数为：，，． 证明：， ， ， 是整数， ，，，是一组勾股数． 12．（24-25八年级下·全国·期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：∵点落在的中点， ∴； 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 13．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．    (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；   方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： ， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：即； 故答案为：，，，； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 ， 当，时，原式． 14．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则根据“两点之间，线段最短”知，的最小值为的长， 根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：如图，作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则， ∴ ∵， ∴ 根据“两点之间，线段最短”知，的最小值为的长， 又， ∴的最小值为． 15．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． (1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； (2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） (3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可； （2）连接，根据正方形的面积与四边形的面积相等即可证明； （3）根据外延部分的4个三角形全等,且,由勾股定理求得,根据风车的外围周长是，计算求解即可， 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 小正方形的边长为：， 故答案为：3； （2）（答案不唯一） 证明：如图，连接， ， 正方形的面积为， ，，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为：， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ， ． （3）解：如图，以为边的正方形面积为61, , 由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5， ， ， ， 这个风车的外围周长是： 故答案为：76 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 勾股定理（1个知识点+15大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股树（数）问题 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型五 利用勾股定理求长度 题型六 利用勾股定理求面积 题型七 勾股定理与网格问题 题型八 勾股定理与折叠问题 题型九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型十 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十一 勾股定理的证明方法 题型十二 勾股定理与无理数 题型十三 以弦图为背景的计算题 题型十四 勾股定理中的最值问题 题型十五 用勾股定理构造图形解决问题 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【核心考点一 用勾股定理解三角形】 【例1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，，，垂足为D，则斜边上的高 . 【例3】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，当秋千静止时，最低点A离地面的距离为，点与点B的距离为，点水平移动的距离为．求秋千的长． 【核心考点二 已知两点坐标求两点距离】 【例1】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）已知点A、的坐标分别为、，点在第四象限，，且的面积为，则点的坐标为 ． 【例3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和． (1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离． 【核心考点三 勾股树（数）问题】 【例1】（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）下列各组数据中是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【例3】（24-25八年级下·江西景德镇·阶段练习）与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学老师给出下面的两个表格．（以下a，b，c为的三边，且） 表1 a b c 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 表2 a b c 6 8 10 8 15 17 10 24 26 12 35 37 (1)根据表1中的规律，当时，______，______． (2)仔细观察表2，a为大于4的偶数，此时b，c之间的数量关系是______，，b，c之间的数量关系是______． (3)我们还发现，表1中的三边长“3，4，5”与表2中的“6，8，10”成倍数关系，表1中的“5，12，13”与表2中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在中，当，时，求直角边b的值． 【核心考点四 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【例3】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【核心考点五 利用勾股定理求长度】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A． B．6 C．4 D．8 【例2】（24-25八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，将长度为10的线段先向左平移8个单位，再向下平移6个单位，得到线段，连接，，则 ，四边形的周长为 ． 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等边中，点在边上，过点作交于点，过点作，交的延长线于点．已知，求线段的长度． 【核心考点六 利用勾股定理求面积】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图， 在中， ． 若， 则正方形和正方形的面积差为 ． 【例3】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图中画出，其顶点都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，她借助此图求出了的面积．在图中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______：的面积为______． 【核心考点七 勾股定理与网格问题】 【例1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中，是格点三角形（每个顶点都是格点），格点与全等（点D与点C不重合），满足条件的共有 个． 【例3】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)写出格点各顶点的坐标； (2)求出的周长． 【核心考点八 勾股定理与折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是 ． 【例3】（24-25八年级下·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【核心考点九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 【例2】（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【例3】（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在四边形中，，求的长． 【核心考点十 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（23-24八年级下·山东德州·期末）已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【例3】（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【核心考点十一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【例3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 【核心考点十二 勾股定理与无理数】 【例1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，以点为圆心、的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数是 ． 【例3】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【核心考点十三 以弦图为背景的计算题】 【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【例2】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，若，，则 ．    【例3】（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【核心考点十四 勾股定理中的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是、上的动点，则的最小值是（      ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，且满足，点是边上一动点，连接，过点和分别作，，垂足分别为，，则当取得最大值时，的长为 ． 【例3】（23-24八年级下·广东中山·期中）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 【核心考点十五 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【例2】（24-25八年级下·山西运城·期中）我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺尺），将它往前（水平距离）推送10尺（尺）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺（尺），秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合下图计算绳索长 尺． 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【变式训练1 用勾股定理解三角形】 1．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（  ） A．1米 B．米 C．2米 D．3米 2．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，于点D，E在上，连接，．若，则长为 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知中，，，点为上一点，且到，两点的距离相等． (1)用直尺和圆规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长度？ 【变式训练2 已知两点坐标求两点距离】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ． 3．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知在一平面直角坐标系中，和的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在和这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【变式训练3 勾股树（数）问题】 1．（24-25八年级下·福建漳州·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A．8，15，17 B． C． D．2，12，14 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若9、41、m是一组勾股数，则m的值为 ． 3．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【变式训练4 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索长是多少？”示意图如图所示，请求出绳索的长度为多少尺（结果保留1位小数）（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，若乙的面积是25，丙的面积是15，丁的面积是4，则 ． 3．（23-24八年级下·天津红桥·期末）如图，在中，，，． (1)的面积等于_______． (2)D为的中点，P是上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明） 【变式训练5 利用勾股定理求长度】 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（   ） A．11 B．55 C．66 D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为长方形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃） ． 3．（24-25八年级下·山西·阶段练习）如图是一块直角三角形形状的纸板，量得两直角边长分别为，，现在要将纸板扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以边或为直角边的直角三角形． (1)高老师给出一种设计方案如图1，在的左边补充，使得，则此时的长度为________． (2)药老师模仿高老师的方案，又给出一种设计如图2，还是在的左边补充，使得，则此时的长度为________． (3)韩老师嘿嘿一笑，我再给出一种设计如图3，还是在的左边补充，使得，则此时的长度为________． (4)贾老师说，我还能以为直角边设计方案，请你替贾老师画出一种补充的图形，请在图4中画出你的补充图形，并求出补充后等腰三角形的面积． 【变式训练6 利用勾股定理求面积】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图所示，在中，，分别以为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为144、225、S，则S的值为（    ）    A．27 B．225 C．256 D．369 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，若则图中正方形（阴影部分）的面积是 ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，将边长分别为和的长方形分割成四个全等的直角三角形，再用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，中间形成一个小正方形的空洞．若长方形的面积为24，大正方形的边长为5．试通过你获取的信息，解答下面问题． (1)________． (2)求中间形成小正方形的面积． 【变式训练7 勾股定理与网格问题】 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 3．（24-25八年级下·山西晋中·阶段练习）综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【证明方法】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论：． 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_________． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，是边上的高，求的值． 【定理应用】 （3）如图4，在长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为_________． 【数学思想】 （4）在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想是_________（填序号）． ①数形结合思想    ②分类讨论思想    ③函数思想 【变式训练8 勾股定理与折叠问题】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长 ． 3．（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若．    (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【变式训练9 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，某公园内的一块草坪是长方形，已知，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近道．一个人从A到C走比直接走多走了（    ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 2．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于 ． 3．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知A点的高度为3米，台阶的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上． （1）求斜坡的长； （2）请根据以上条件求出树的高度．（侧倾器的高度忽略不计） 【变式训练10 利用勾股定理证明线段平方关系】 1．（23-24八年级下·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为 ．（平方单位） 3．（23-24八年级下·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【变式训练11 勾股定理的证明方法】 1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 3．（23-24八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【变式训练12 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，数轴上的点表示的数是，，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点C，则点表示的数为(　　) A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图所示，已知，，数轴上点表示的数的值是 ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，矩形的边在数轴上，点是数轴的原点，点所对应的实数为4，，以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点，点在点的右侧，求点表示的实数． 【变式训练13 以弦图为背景的计算题】 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，图1是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（   ） A．38 B．40 C．42 D．44 2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形．    (1)图2中小正方形的边长为___________（用含的代数式表示）： (2)当时，该大正方形的面积是___________． 【变式训练14 勾股定理中的最值问题】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　） A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，点A、B在直线l的同侧，已知于C，于D，且，点P为直线l上一动点，则的最大值为 ． 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．    (1)在图1中，画出与关于直线l成轴对称的； (2)在图2中，在直线l上找出一点P，使得的值最大，该最大值为_____；（保留作图痕迹并标上字母P） (3)在图3中，在正方形网格中存在_____个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【变式训练15 用勾股定理构造图形解决问题】 1．（24-25八年级下·山东泰安·期中）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边米远的水底，竹竿高出水面米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、两点到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是 寸（1尺寸）．    3．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？ 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）下面各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）刘老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，，则数轴上点所表示的数是 ． 7．（浙江省名校发展共同体2024-2025学年八年级下学期12月月考数学试卷）如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期末）将一块三角形纸板剪成如图1所示的①②③三块，在拼成不重叠，无缝隙的正方形（如图2）．若，， ． 9．（23-24八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为 尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 12．（24-25八年级下·全国·期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 13．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．    (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；   方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 14．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 15．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． (1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； (2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） (3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$