第07讲 平行四边形的性质与判定（6个知识点+16大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第07讲 平行四边形的性质与判定（6个知识点+16大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 判断能否构成平行四边形 题型五 添一个条件成为平行四边形 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型八 证明四边形是平行四边形 题型九 全等三角形拼平行四边形问题 题型十 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十一 利用平行四边形性质和判定证明 题型十二 平行四边形性质和判定的应用 题型十三 与三角形中位线有关的求解问题 题型十四 三角形中位线与三角形面积问题 题型十五 与三角形中位线有关的证明 题型十六 三角形中位线的实际应用 知识点01 平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 知识点02 平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点03 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点04 平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 3. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 4. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点05 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点06 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 【核心考点一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，注意平行四边形的邻角互补，比较简单． 根据平行四边形的性质，可设较小的角为x，较大的角是，列式子即可得出结果． 【详解】解：设较小的角为x，较大的是， 则， 解得：． 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，过点C作，垂足为E， 若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余，根据平行四边形的性质可得出，再利用直角三角形两锐角互余即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【答案】/15厘米 【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 的周长为， 故答案为∶． 【例5】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，的对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点B出发以的速度向点O运动，点F在线段上从点O出发以的速度向点D运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形是平行四形？ 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用，建立关于t的方程求解即可； 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 要使四边形是平行四形，只需即可， 设t秒时，， 依题意得：， 解得：（秒） 所以当时，四边形是平行四形 【核心考点二 利用平行四边形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（    ） A．对角互补 B．邻角互补 C．对边平行 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进判断即可. 【详解】解：平行四边形对角相等但不一定互补，邻角互补，对边平行，对角线互相平分， 故选：A 【例2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，，则线段的长为（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，由平行四边形的性质得，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【例3】（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）在中，，平分交于点，平分交于点，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的，分类讨论，当角平分线与相交；当角平分线与不相交；图形结合分析，即可求解． 【详解】解：①如图所示，角平分线与相交于点，      ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， 同理可得，是等腰三角形，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵， ∴，且， ∴，即； ②如图所示，角平分线与不相交，    证明方法同上，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·广东梅州·开学考试）如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，，，则 ．    【答案】/90度 【分析】根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·云南·期末）如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，，结合已知条件进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ， 在和中 ． 【核心考点三 平行四边形性质的其他应用】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【答案】12或18/18或12 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 【例4】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，▱ABCD中，BC＝8，AB＝10，BC⊥AC，则▱ABCD的面积为 ． 【答案】48 【分析】由勾股定理求出AC＝8，再由平行四边形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵BC＝8，AB＝10，BC⊥AC， ∴AC＝， ∴▱ABCD的面积＝BC×AC＝8×6＝48； 故答案为：48． 【点睛】本题考查了勾股定理和平行四边形的面积，熟练掌握这些勾股定理是解题的关键． 【例5】（2024·北京房山·二模）下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一： 证明：如图，连接．     方法二： 证明：如图，延长至点E．    方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．      你选择方法______． 证明： 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：证明：选择方法一： 如图，连接，     四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 在与中， ， ， ， 即平行四边形的对角相等． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行． 【核心考点四 判断能否构成平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法分别判断得出即可．此题主要考查了平行四边形的判定方法，准确无误的掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图， ①根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判定这个四边形是平行四边形； ②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②不能判定这个四边形是平行四边形； ③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判定这个四边形是平行四边形； ④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判定这个四边形是平行四边形； 一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有2组， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是 ． 【答案】平行四边形 【解析】略 【例4】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 【例5】（2024·广西梧州·一模）如图：已知，于点，于点， ，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】详见解析 【分析】由垂直的定义得到，由题意得到BF＝DE根据全等三角形的性质得到AD＝BC，根据平行线的判定定理得到AD∥BC，于是得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， 即：   又∵， ∴≌ ∴． 又∵， ∴    ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了对平行四边形的性质和判定，垂线，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能证出AD＝BC和AD∥BC是证此题的关键．题型较好． 【核心考点五 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平形四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·山西临汾·期末）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，则①号箭头处可添加的条件是 （写出一种即可）．    【答案】对角线互相平分（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定银答即可． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， 需要添加的条件是：对角线互相平分． 故答案为：对角线互相平分（答案不唯一）． 【例4】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理添加条件即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵， ∴当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形， 故答案为： 【例5】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质： （1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可； （2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【核心考点六 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（23-24八年级下·浙江·周测）平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进一步分析即可得到结论． 【详解】解：从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为， 故选：C 【点睛】此题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的定义是解决问题的关键． 【例2】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选B． 【例3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【核心考点七 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（2024八年级·全国·专题练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 【例2】（2024·河南·二模）如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（    ） A．28个 B．42个 C．21个 D．56个 【答案】B 【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1＋2＋3＋…＋n−2）个，据此可得． 【详解】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个， 在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个， 在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个， …… ∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n的正方形网格中最多作2×（1＋2＋3＋…＋n−2）个． 【例3】（2024八年级下·浙江·专题练习）在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是 个． 【答案】3/三 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 【例5】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，若建立平面直角坐标系，则图中点A、B的坐标分别为，． (1)请在图中建立满足条件的平面直角坐标系，并写出点C关于x轴对称的点的坐标； (2)你认为是直角三角形吗？并说明理由； (3)网格内是否存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请在网格内画出图形并直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)不是，理由见解析 (3)存在，图见解析， 【分析】本题考查了图形与坐标，涉及根据坐标建立直角坐标系，关于x轴对称的点的特征，勾股定理逆定理，平行四边形的判定，熟练掌握这些方法是解题的关键． （1）根据两点坐标建立坐标系即可，再利用关于x轴对称的点的特征求点的坐标； （2）分别求出，，，利用勾股定理逆定理判定方法判定即可； （3）图中只有以为对角线时，点A、B、C、D为顶点的平行四边形才能在网格内，画出图形即可得． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图： 由图知：， 则点C关于x轴对称的点的坐标为； （2）解：不是直角三角形，理由如下： ， ， ， ∵， ∴不是直角三角形； （3）存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 当以和为对角线时，以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，此时点不在网格内； 当以为对角线时，如图， 此时． 【核心考点八 证明四边形是平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·山东东营·开学考试）下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形 B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项分析即可作答． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故该选项符合题意； 故选：D． 【例2】（2024八年级下·河南安阳·学业考试）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，两条对边平行且宽为的纸条交叉重叠在一起，其中较小交叉角为，则重叠四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，由题意可得得，，cm，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于，过点作于， 由题意可得，，cm， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴重叠四边形的面积（）， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是 ．    【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理求解． 【详解】解：根据题意可以得到，， ∴四边形是平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【例5】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 【答案】(1)平行四边形，平行四边形，证明见解析 (2)相等，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等即可证明． 【详解】（1）（1）图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）知四边形是平行四边形， ∴ ， ∴． 【核心考点九 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【例2】（2024·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 【例3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【例4】（2024·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 【例5】（2024·河南周口·三模）把三角形形状的纸片放在方框纸上，使其每一个顶点都在格点上，如图1所示（方格边长均为∠）．对这个三角形进剪切、拼接后，可以得到一个平行四边形，如图2中阴影部分所示． 剪切、拼接的方案如下：如图2，取BC的中点M，连接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四边形AEBM． 我们约定：剪切、拼接时，纸片的每一部分都要被用到，而且不得用所给纸片以外的纸片． (1)请你采用不同于图2的剪切、拼接方案，也得到一个平行四边形，在图3中用阴影表示出你得到的平行四边形，并补充已知和求证，写出证明过程． (2)对这个三角形进行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．试在图4中，用阴影表示出你得到的梯形（不必说明剪切、拼接方案，但必须保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）沿中位线裁剪即为平行四边形．BC是拼成四边形的一条边，即可，再根据拼接方法，写出已知、求证，利用平行线的判定定理证明即可； （2）沿一腰的中点D向底边剪开，得出FD=DG，进而得出梯形． 【详解】（1）解：所画图形如下所示， 已知：沿△ABC的中位线NE裁剪下△ANE，将△ANE按如图所示拼接在一起，即点A与点C重合，点N与点M重合，AE与CE重合，得到四边形BCMN， 求证：四边形BCMN是平行四边形． 证明：由题意，得△ANE≌△CME， ∴∠A=∠ACM，AE=CM， ∴ANCM，即BNCM， ∴四边形BCMN是平行四边形． （2）解：所画图形如下所示， 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行四边形性质与判定、梯形的性质，正确利用全等三角形的性质是解题关键． 【核心考点十 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，再利用其性质即可解决问题 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点F作，交于点G，可证明，可得，，再根据平行四边形的性质可得，，从而得到四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：A 【例3】 （23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，、分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，含直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的面积公式．由三角形的中位线定理证得，，进而证得四边形是平行四边形，在中，根据勾股定理求出，得到，根据平行四边形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、分别为、的中点， 即是的中位线， ，， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； （1）根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ，； （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 【核心考点十一 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平行四边形中，点E、F分别为边的中点，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质的判定． 根据点E、F分别为边的中点以及四边形是平行四边形，得出，，即可证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可求解； 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，又已知四边形是平行四边形， ∴题图中共有4个平行四边形． 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在四边形中，，，点E，F在对角线上，连接，则添加下列条件，仍不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，得到，则，再根据平行四边形的判定定理和全等三角形的性质与判定定理证明即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； 当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B不符合题意； 当，时，， 同理可证明四边形是平行四边形，故D不符合题意； 根据不能证明明四边形是平行四边形，故C符合题意； 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【例4】（23-24八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 【例5】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证； 【详解】（1）∵平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）∵平行四边形， ，，， 又∵四边形是平行四边形， ， ， ， 【核心考点十二 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当AB，CD为对角线时，②当AC，BD为对角线时和③当BC，AD为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案． 【详解】①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向上平移4个单位，向左平移2个单位得到， ∴向上平移4个单位，向左平移2个单位得到； ②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到， ∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到； ③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到， ∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到． 综上可知点D的坐标可能是或或， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【例2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）已知中，，，则中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长至点，使，可证得四边形为平行四边形，根据三角形三边关系即可得到的取值范围． 【详解】如图所示，延长至点，使．    根据题意可知， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴，即． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质、三角形的三边关系，根据题意构建辅助线是解题的关键． 【例4】（2024·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么 （填“”“”或“”）．    【答案】 【分析】取格点E，连接，构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接，    ∵，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握构造平行四边形是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含直角三角形的性质，先判定四边形是平行四边形．过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质可得出，进而可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理， 得， ∴， 即这个四边形停车位的面积是． 【核心考点十三 与三角形中位线有关的求解问题】 【例1】（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．连接交于O，由平行四边形的性质得到，，进而，利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】接：连接交于O，    ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的各点都在格点（网格线的交点）上，D，E分别是边的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，三角形中位线定理．先利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：根据勾股定理得：， ∵D，E分别是边的中点， ， 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，中，，分别是边中点，连接，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理，中位线，掌握勾股定理求线段长，中位线的性质是解题的关键． 根据勾股定理可得，再根据中位线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别是边中点， ∴， 故答案为：3 ． 【例4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，分别是、的中点，，分别是，的中点，……，依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，即可求解． 【详解】解：，分别是、的中点， 是的中位线， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 则， ， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形 中，点 P 在上，连接，E、F分别为的中点，连接，若平行四边形 的周长为40， ，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，先根据平行四边形对边相等结合其周长计算公式得到，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵平行四边形的周长为40，， ∴． ∵E、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 【核心考点十四 三角形中位线与三角形面积问题】 【例1】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且，则的值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】点D，E，F分别是，，的中点，可判断出，，，为，，，的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 【例2】（2024·四川内江·模拟预测）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 点，分别为，的中点， ， ， ， △的面积， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理． 【例3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，是的中位线，M是的中点，的延长线交于N，那么 ， ． 【答案】 【分析】利用是中位线，M是的中点，根据各边关系可以求出结果；把各边关系转换为面积的关系来解答即可． 【详解】解：是中位线，M是中点， ， ， ， 是中位线， ， ， 连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·广西玉林·阶段练习）如图，在与中，点，，分别是，，的中点，若的面积等于，则的面积为    【答案】10 【分析】根据线段的中点得出，依次求出、的面积，求出的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点， ， ∵的面积等于40， ， ，， ， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的中线及三角形的面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键． 【例5】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）勾股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在边止，顶点C、D重合，连接 、．设、交于点G．， ， （ ），． 请你回答以下问题： (1)请猜想与的位置关系，并加以证明． (2)填空： =___________（用含有c的代数式表示） (3)请尝试利用此图形证明勾股定理． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，得到 ，根据垂直的定义可得． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）根据三角形面积和梯形面积公式用两种方法求得四边形 的面积，可得到结论． 【详解】（1）解： 证明： （2）解： = 故答案为： （3）解： = 即 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的计算，全等三角形的性质，正确识别图形是解题的关键． 【核心考点十五 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（23-24八年级下·全国·期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的性质，证明对边平行且相等，由此可得到平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，E，N，M，F分别是，，，的中点，连接，， ∵E，N，M，F分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，点、分别是、边的中点，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，如图：    ∵点、分别是、边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，熟记三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 【核心考点十六 三角形中位线的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 【例2】（23-24八年级下·河北·期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．连接DE，若测得m，则A，B之间的距离是（    ） A．7m B．11m C．14m D．13m 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·浙江台州·开学考试）要测池塘B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段、，并取、的中点D、E，连接，测得米，则 米． 【答案】40 【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，根据三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：40． 【例4】（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 【变式训练1 利用平行四边形的性质求解】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在中，平分，平分，若，，则的周长是（    ） A．24 B．26 C．28 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，得出，同理可证，再由的长求出的长，据此根据平行四边形周长计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， 同理可证． ， ， 解得， ， ∴的周长， 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，对角线，交于点O，，于点H，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用勾股定理求出的长，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在中， ∴在中， 在Rt△ABO中， ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由角平分线定义得，则，再由直角三角形的性质得，然后由平行线的性质即可得出结论； （2）证，即可得出结论． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练2 利用平行四边形的性质证明】 1．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在平行四边形中，，于F，于G，、交于E，、交于H，给出下列结论：①；②；③；④若点F是的中点，则；其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，根据题意得是等腰直角三角形，即可证明①正确；根据题意得成立，结合四边形内角和即可证得②正确；利用上述结论即可得，则有③正确；连接，根据③得，进一步有是等腰直角三角形，得，由于，根据，即可证得④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴；故①正确； ②∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴AG⊥AD，CF⊥CD， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 正确结论有4个， 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，为对角线，，，垂足分别为点，．若，，，则 ． 【答案】5 【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF＝1，然后利用∠ACB＝45°得到BE＝CE＝4，从而得到EF＝3，然后利用勾股定理求得BF的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF． 又BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°． 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF＝1， ∵∠ACB＝45°，BE＝4， ∴CE＝BE＝4， ∴EF＝EC−CF＝4−1＝3， ∴BF＝， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在和的延长线上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解答的关键． 根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明，利用全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴，即 ． 【变式训练3 平行四边形性质的其他应用】 1．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BGP的面积等于EBP的面积，三角形HPD的面积等于三角形PDF的面积，从而可得到AEPH的面积等于GCFP的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个． 【详解】解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线， ∴△ABD的面积等于△BCD的面积， 同理△BGP的面积等于△EBP的面积，△PFD的面积等于△HPD的面积， ∵△BCD的面积减去△BGP的面积和△PDF的面积等于平行四边形PGCF的面积，△ABD的面积减去△EBP和△HPD的面积等于平行四边形AEPH的面积． ∴▱PGCF的面积等于▱AEPH的面积． ∴同时加上平行四边形PFDH和BGPE， 可以得出▱AEFD面积和▱HGCD面积相等，▱ABGH和▱BCFE面积相等． 所以有3对面积相等的平行四边形． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质. 2．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期末）如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（6，0）、（2，4），则点B的坐标为 ． 【答案】（8，4） 【分析】首先证明OA＝BC＝6，根据点C坐标即可推出点B坐标； 【详解】解：∵A（6，0）， ∴OA＝6， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA＝BC＝6， ∵C（2，4）， ∴B（8，4）， 故答案为（8，4）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，A，B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开凿一个贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．请你设计出一个方案，利用平移的有关知识测量出A，B之间的距离和隧道开凿的方向． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形性质把AB移出来再测量即可． 【详解】解：可以设法将线段“平移”出来，便于测量．如图，分别沿A，B两点向同一个方向行走相同距离得到点，测量线段即可，这是其中一种方法． 【点睛】本题考查平行四边形性质的实际应用，正确理解平行四边形的性质是本题解题关键． 【变式训练4 判断能否构成平行四边形】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一判定即可． 本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】根据平行四边形的判定定理，得 A. ，，是平行四边形，不符合题意；     B. ，，是平行四边形，不符合题意； C. ，，不是平行四边形，符合题意；     D. ，，是平行四边形，不符合题意； 故选C． 2．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BC-BF=（8-3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=8-3t， 解得：t=2； 当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BF-BC=（3t-8）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=3t-8， 解得：t=4； 综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 3．（2024·贵州铜仁·三模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD． (1)求证：AO＝EO； (2)若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）△AOB≌△EOB，即可得到结论； （2）由AD∥BC，BD平分∠ABC，得到∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=AB，根据垂直平分线的性质有AB=BE，于是AD=BE，进而得到AD=EC，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABO=∠EBO， ∵AE⊥BD， ∴∠AOB=∠EOB=90°， ∵BO=BO， ∴△AOB≌△EOB， ∴AO=EO； （2）平行四边形，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠BCD， ∵∠ABD=∠EBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AD=AB， ∵OA=OE，OB⊥AE， ∴AB=BE， ∴AD=BE， ∵BE=CE， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∴AD=EC， ∵AD∥CE， ∴四边形AECD是平行四边形． 【点睛】考查等腰直角三角形的性质以及平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【变式训练5 添一个条件成为平行四边形】 1．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）以下是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） ； 四边形是平行四边形 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，即可求解． 【详解】解：， ， ； 四边形是平行四边形，故嘉嘉的说法正确； ， ， ； 四边形是平行四边形，故淇淇的说法正确； 即两人的都正确． 故选：C 2．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有 (只写序号即可)． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质；根据平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：①，， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③由，，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 3．（2024·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 【答案】①，见解析 【分析】若，结合平行线的性质，证得则AB=CD，即可证明； 【详解】解：若，四边形是平行四边形； 证明：， ，， 又， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①. 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定；掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． 【变式训练6 数图形中平行四边形的个数】 1．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为（    ）． A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】由已知点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出且，且，所以得到3个平行四边形． 【详解】解：已知点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点， ∴CF=AF ,AD=BD =,CE=BE= , 且，且， 四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形 2．（23-24八年级下·甘肃天水·期末）如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有 个平行四边形. 【答案】9 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AD,GH∥AB, ∴,. 所以是平行四边形的有：▱AEOG、▱EOHB、▱OFCH、▱GDFO； ▱ADFE、▱EFCB、▱AGHB、▱GDCH；▱ABCD；共9个. 故答案为:9. 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】答案见解析 【分析】第一种：可画为平行四边形EFGH，第二种：可画为平行四边形DEBG． 【详解】如图所示 　　　　 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和学生的动手操作能力，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 【变式训练7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是 ． 【答案】②③ 【分析】每个玻璃都含有两个边，想让两块玻璃配成平行四边形，需要满足两个条件； 　　 （1）需要其中一块玻璃包含的边与另外一个玻璃两个边形成对边且相互平行． （2）这两块玻璃是连在一起的． 运用到的是平行线的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【详解】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故答案为：②③． 【点睛】本题是道所学知识与生活相联系的题，涉及到平行四边形的判定定理，要求对平行四边形判定定理透彻理解并且灵活运用． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，请找出格点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形； (2)满足以上条件的D点的坐标是___． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质画出图形； （2）根据图像得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求； （2）由图可知：满足条件的点的坐标或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练8 证明四边形是平行四边形】 1．（2024·河北石家庄·二模）某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是（    ）        A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行公理 D．平行四边形的性质 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定， 根据题意证明出四边形是平行四边形，进而得到． 【详解】根据作图可得，， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴可以直接判定两直线平行的依据是平行四边形的性质． 故选：D． 2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【答案】 【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）中，是边上任意一点，是边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．    求证： (1) (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）由已知是边中点，再证明，得即可； （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练9 全等三角形拼平行四边形问题】 1．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，，．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案． 【详解】解：让三个相等的边互相重合各得到一个平行四边形， 让斜边重合还可以得到一个一般的平面四边形， 那么能拼出互不全等的四边形的个数是4个． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及等腰三角形的性质，通过动手操作得出答案是解决问题的关键． 3．（2024·浙江衢州·模拟预测）如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）过点C作，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形. 【详解】（1）解：如图， 线段就是所求作的图形． （2）解：如图， 就是所求作的图形 【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练10 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（   ）    A．13 B．21 C．26 D．52 【答案】C 【分析】根据D，E，F分别是边，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，的中点， ∴，， ，， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．    【答案】/90厘米 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质证明． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴， ∵为水平线， ∴， ∵，， ∴， ∴为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题探究】如图，六边形的六个内角均为，分别延长、交于点G，得到．请判断的形状，并证明你的结论． 【结论应用】若，，，，直接写出六边形的周长为 ． 【答案】问题探究：为等边三角形；理由见解析；结论应用：22 【分析】问题探究：根据，得出，，证明，即可证明结论； 结论应用：延长，交于点H，根据等边三角形的性质得出，，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：问题探究：为等边三角形．理由如下： ∵六边形的六个内角均为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 延长，交于点H，如图所示： 根据问题探究可知，、都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴六边形的周长为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，邻补角的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定方法． 【变式训练11 利用平行四边形性质和判定证明】 1．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，是边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的四个部分．先根据平行四边形的性质证明，根据全等三角形的性质推得后可证四边形是平行四边形，得出后可证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的四个部分即可求解． 【详解】解：连接， 中，，， ， 是中点， ， 和中， ， ， ， 即， 即四边形是平行四边形， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：． 2．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，已知点分别是的边的中点． 求证：，．    证明：延长到点，使，连接，又因为，则四边形是平行四边形． 以下是排序混乱的证明过程，正确的证明顺序应是 ．（填序号） ①；②，即；③四边形是平行四边形；④，且． 【答案】②③①④ 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，即，则可证明四边形是平行四边形，得到，则． 【详解】证明：延长到点F，使，连接， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：②③①④． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的判定与性质求证即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， ，， 四边形是平行四边形． ． 【变式训练12 平行四边形性质和判定的应用】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【答案】C 【分析】构造四边形FEPP′为平行四边形，根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 【详解】作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， ∴四边形FEPP′为平行四边形，∴P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故选：C． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是构造平行四边形． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 3．（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 【答案】见解析 【分析】可以先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边都为2的直角三角形；可以先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可． 【详解】解：如图1，先用直角边为1和2的直角三角形拼出矩形，再分别在直角边为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形； 如图2，先用直角边都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上直角边为2和1的直角三角形； 如图3，以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形； 【点睛】此题主要考查对平行四边形与三角形之间关系的灵活掌握，理解性质是解决这个问题的关键． 【变式训练13 与三角形中位线有关的求解问题】 1．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（　　） A．6 B．3 C．1.5 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， ， ，， 是的中位线， ． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，相交于点O，点E，F分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的性质和定义，先根据矩形的性质可得，再说明是的中位线，根据三角形中位线的性质得，进而求出，即可得出答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴． ∵点E，F是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 3．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使得，连接，交于点O． (1)证明：与互相平分； (2)如果，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查勾股定理及三角形中位线定理和平行四边形的判断与性质． （1）根据题意利用三角形中位线定理：三角形得中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即，且，平行且相等，根据平行四边形的判定即可得出证明． （2）由（1）可知为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，及勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：在中，， ， ∵， ∴， 在中， ． 【变式训练14 三角形中位线与三角形面积问题】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如下图，将△ABC的各边都延长一倍至A'、B'、C'，连接这些点，得到一个新的三角形A'B'C'，若△ABC的面积为3，则△A'B'C'的面积是(　　) A．18 B．21 C．24 D．3 【答案】B 【分析】连接C'B，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，再算出，进而得到，从而得到答案. 【详解】如下图所示，连接C'B 依题意，， ∵ ∴是的中线 ∴ ∵ ∴是的中线 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理 ∴， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形中线将三角形划分为面积相等的两部分等相关知识点，熟练掌握三角形面积公式以及割补法求三角形面积的方法是解决本题的关键. 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是的中点，为上的点，连接，若，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【答案】6 【分析】连接MN，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理得到MN＝BC＝3，MN∥BC，根据勾股定理求出AF，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】连接，作交于点． ∵分别是的中点， ∵（cm），，∴． ∵，∴（cm）， 在中，（cm）， ∴图中阴影部分的面积为（cm2）． 故答案为：6. 【点睛】本题考查的是中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图1所示：在中，点D、E分别是AB，AC的中点， (1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________． (2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证：； (3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你的猜想． 【答案】(1)，；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 (2)3；证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由点、分别是，的中点，根据三角形的中位线定理得，，即可得出问题的答案； （2）由点、、分别是三边中点得，，，由， 得四边形是平行四边形，同理得四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，所以图中有3个平行四边形；根据平行四边形的性质可以证明，，，则，即可推导出； （3）①连接，由点、分别是、的中点得，，由点、分别是、的中点得，，则，，即可证明四边形是平行四边形； ②连接交于点，交于点，过点作交的延长线于点，作于点，由得四边形是平行四边形，由，得四边形是平行四边形，同理得四边形是平行四边形，再推导出，由，，证明，则，所以，则，同理，即可证明． 【详解】（1）解：如图1，点、分别是，的中点， ，（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， 故答案为：，，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）点、、分别是三边中点， ，，， ， ， 四边形是平行四边形； 四边形是平行四边形； 四边形是平行四边形， 图中有3个平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 同理，，， ， ． 故答案为：3． （3）①有，四边形是平行四边形， 证明：如图3，连接， 点、分别是、的中点， ，； 点、分别是、的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形． ②， 证明：如图4，连接交于点，交于点，过点作交的延长线于点，作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 同理，， ， ． 【点睛】此题考查三角形的中位线定理、全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定与性质、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，灵活运用平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【变式训练15 与三角形中位线有关的证明】 1．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在四边形中，点是上动点，点是上一定点，点E、分别是、的中点，当点从点向点移动时，下列结论一定正确的是（    ） A．线段的长度逐渐减小 B．线段的长度逐渐增大 C．线段的长度不改变 D．线段的长度不能确定 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵点是上一定点，是定点，的长度不变， ∴的长度不改变， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 2．（2024·河北保定·二模）如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高对折，然后从中点处向中点处剪开，剪掉，展开后得到的多边形内角和为 ．    【答案】/360度 【分析】根据题意，分析展开后得到的是四边形，即可求得． 【详解】解析；展开后得到的是四边形，四边形内角和等于360°． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．中位线的性质，多边形内角和等，正确理解题意，分析出展开后得到的是四边形是解题的关键． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E为边的中点，于点F，G为的中点，分别延长，交于点H，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点为边的中点， ， 在与中， ， ， ， ， 为的中点， 是的中位线， ， ，即， ． 【变式训练16 三角形中位线的实际应用】 1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，、两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出、间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、，并且步测出长，由此知道长．若步测长为，则，间的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的运用，由，分别是边，的中点，首先判定是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得的值即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， 根据三角形的中位线定理，得：． 故选：D． 2．（2024·广东汕头·一模）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 【答案】(1) (2) 【解析】略 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知的周长为1，连结的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2013个三角形的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线定理，根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形的． 【详解】解：周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以： 第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为； 第4个三角形对应的周长为； 第5个三角形对应的周长为 ⋯， 故第2013个三角形周长为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形是平行四边形，求得，则可求得答案． 【详解】解：过点B作于点E，于点F， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在等腰中，腰长为5，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为； 故选：B． 4．（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．（23-24八年级下·山西长治·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故选：． 6．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，F分别是中点，若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，易得，根据，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵点E，F分别是中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴； 故答案为：8． 7．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，那么的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质和勾股定理是解题的关键． 先证得是的中位线，根据勾股定理求得，进而可得，即可求解， 【详解】解：，， ，即点是线段的中点， 又点是线段的中点， 是的中位线， ， 在中，，，， ， 又， ， ， 故答案为：4． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出，结合题干条件根据勾股定理解直角三角形即可得到的长，进而即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作G关于的对称点，在上截取，然后连接交于E，在上截取， 根据轴对称可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴最小，即最小， ∴最小值为的长， ∵，G为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 故答案为：10． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第个图形中有 个平行四边形． 【答案】 【分析】分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数，可以发现：第几个图形中平行四边形的个数就是3与n-1的乘积．如图③中平行四边形的个数为6=3×（3-1）．按照这个规律即可求出第n各图形中有多少平行四边形． 【详解】解：分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数， 图①中平行四边形的个数为0=3×（1-1）； 图②中平行四边形的个数为3=3×（2-1）； 图③中平行四边形的个数为6=3×（3-1）； … 可以发现，第几个图形中平行四边形的个数就是3与n-1的乘积． 按照这个规律，第n个图形中共有平行四边形的个数为3n-3． 故答案为；3n-3． 【点睛】本题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律． 11．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     【答案】或秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、平行四边形的判定．因为，所以当时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，本题要分两种情况考虑：当点 在点右侧时，当Q在点左侧时． 【详解】当点 在点右侧时， 点是的中点， ， ，， ， 解得：； 当Q在点左侧时， ，， 解得：， 综上所述经过秒或秒时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【详解】（1）证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 13．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接，． (1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的周长等于； (2)在图乙中画出一个以为对角线的平行四边形，且它的面积为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先计算出，根据平行四边形的性质取格点使，然后利用网格特点，平移到，使点与点重合，点的对应点为，则四边形满足条件； （2）把点向右平移格，点向左平移格，则四边形为满足条件的四边形． 【详解】（1）解：如图甲，四边形即为所求； （2）解：如图乙，四边形为所作． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类的关键是熟悉平行四边形的性质，利用网格求出已知边和所求边的长度，根据几何图形的特性进行作图． 14．（2024·吉林白山·一模）下面是李婷同学的自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【复习】如图①，点、分别是的边、的中点． 则______，______； 【探究】如图②，在和中，与相交于点，点、、分别为、、的中点，连接交于点，连接交于点． 求证：（1）； （2）当时，； 【应用】如图③，线段、相交于点，连接、，点、分别为、的中点，连接，若，，则长为______． 【答案】复习：；；探究：（1）见解析；（2）见解析；应用： 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键； 复习：直接由三角形的中位线定理即可解答； 探究：（1）由点、分别是的边、的中点，得到，由点，分别为，的中点，得到，证明四边形为平行四边形，进而求解； （2）根据中位线定理，得到，，进而求解； 应用：连接，取的中点，连接，，通过中位线定理，平行线的性质可以求得，进而根据勾股定理求解． 【详解】复习：，分别为边，的中点， ， 故答案为：， 探究：（1）解：点、分别是的边、的中点， ， 点，分别为，的中点， ， 四边形为平行四边形， ， （2）点，分别为，的中点， ， 点，分别为，的中点， ， ， ， 应用：如图所示，连接，取的中点，连接，交于点H，连接，交于点N ， ， 点，分别为边，的中点， ，， 点，分别为，的中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 在中，，，， 则． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在和中，，，，，点F是线段的中点，连接． (1)若D在上， ①如图1，点E恰好落在上，请探究线段与的数量关系； ②如图2，试探究线段与的数量关系； (2)如图3，，点D不在上，，，，直接写出的面积是————· 【答案】(1)①，② (2) 【分析】根据题意得和，，进一步得，结合，即可得； ②延长至S，使，连接，则是的中位线，有，判定垂直平分，得，可得，且和成立，利用证明，则有； 延长至S，使，连接，，过点D作于点T．则是的中位线，有，同上可证，得．则，在中得，进一步判定是等边三角形，可得，求得，则可得，结合是等边三角形即可求得面积． 【详解】（1）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 延长至S，使，连接，如图， ∵点F是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长至S，使，连接，，过点D作于点T．如图， ∵点F是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， 同上可证， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是熟悉等腰三角形的和全等三角形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平行四边形的性质与判定（6个知识点+16大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 判断能否构成平行四边形 题型五 添一个条件成为平行四边形 题型六 数图形中平行四边形的个数 题型七 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型八 证明四边形是平行四边形 题型九 全等三角形拼平行四边形问题 题型十 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十一 利用平行四边形性质和判定证明 题型十二 平行四边形性质和判定的应用 题型十三 与三角形中位线有关的求解问题 题型十四 三角形中位线与三角形面积问题 题型十五 与三角形中位线有关的证明 题型十六 三角形中位线的实际应用 知识点01 平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 知识点02 平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点03 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点04 平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 3. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 4. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点05 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点06 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 【核心考点一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，过点C作，垂足为E， 若，则的度数为 ．    【例4】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【例5】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，的对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点B出发以的速度向点O运动，点F在线段上从点O出发以的速度向点D运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形是平行四形？ 【核心考点二 利用平行四边形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（    ） A．对角互补 B．邻角互补 C．对边平行 D．对角线互相平分 【例2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，，则线段的长为（　　） A．3 B．3.2 C．3.6 D．4 【例3】（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）在中，，平分交于点，平分交于点，若，则的长为 ． 【例4】（23-24八年级下·广东梅州·开学考试）如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，，，则 ．    【例5】（23-24八年级下·云南·期末）如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 【核心考点三 平行四边形性质的其他应用】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【例2】（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【例3】（23-24八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【例4】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，▱ABCD中，BC＝8，AB＝10，BC⊥AC，则▱ABCD的面积为 ． 【例5】（2024·北京房山·二模）下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一： 证明：如图，连接．     方法二： 证明：如图，延长至点E．    方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．      你选择方法______． 证明： 【核心考点四 判断能否构成平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【例2】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是 ． 【例4】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【例5】（2024·广西梧州·一模）如图：已知，于点，于点， ，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【核心考点五 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山西临汾·期末）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，则①号箭头处可添加的条件是 （写出一种即可）．    【例4】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 【例5】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 【核心考点六 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（23-24八年级下·浙江·周测）平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【例3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【例4】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【核心考点七 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（2024八年级·全国·专题练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【例2】（2024·河南·二模）如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（    ） A．28个 B．42个 C．21个 D．56个 【例3】（2024八年级下·浙江·专题练习）在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是 个． 【例4】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【例5】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，若建立平面直角坐标系，则图中点A、B的坐标分别为，． (1)请在图中建立满足条件的平面直角坐标系，并写出点C关于x轴对称的点的坐标； (2)你认为是直角三角形吗？并说明理由； (3)网格内是否存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请在网格内画出图形并直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【核心考点八 证明四边形是平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·山东东营·开学考试）下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形 B．一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【例2】（2024八年级下·河南安阳·学业考试）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例3】（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，两条对边平行且宽为的纸条交叉重叠在一起，其中较小交叉角为，则重叠四边形的面积为 ． 【例4】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是 ．    【例5】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 【核心考点九 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（2024·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【例3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【例4】 （2024·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【例5】（2024·河南周口·三模）把三角形形状的纸片放在方框纸上，使其每一个顶点都在格点上，如图1所示（方格边长均为∠）．对这个三角形进剪切、拼接后，可以得到一个平行四边形，如图2中阴影部分所示． 剪切、拼接的方案如下：如图2，取BC的中点M，连接AM﹔剪下△AMC后，拼接到△BEA位置，可得到平行四边形AEBM． 我们约定：剪切、拼接时，纸片的每一部分都要被用到，而且不得用所给纸片以外的纸片． (1)请你采用不同于图2的剪切、拼接方案，也得到一个平行四边形，在图3中用阴影表示出你得到的平行四边形，并补充已知和求证，写出证明过程． (2)对这个三角形进行剪切、拼接后，也可以得到一梯形．试在图4中，用阴影表示出你得到的梯形（不必说明剪切、拼接方案，但必须保留作图痕迹）． 【核心考点十 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【例3】 （23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，、分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为 ． 【例5】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 【核心考点十一 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平行四边形中，点E、F分别为边的中点，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例2】（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在四边形中，，，点E，F在对角线上，连接，则添加下列条件，仍不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D．， 【例3】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【例4】（23-24八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【例5】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【核心考点十二 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是(   ) A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【例3】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）已知中，，，则中线的取值范围是 ． 【例4】（2024·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，那么 （填“”“”或“”）．    【例5】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积． 【核心考点十三 与三角形中位线有关的求解问题】 【例1】（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 【例2】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的各点都在格点（网格线的交点）上，D，E分别是边的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D．1 【例3】（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，中，，分别是边中点，连接，则的长为 ． 【例4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，分别是、的中点，，分别是，的中点，……，依此类推，则的值为 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形 中，点 P 在上，连接，E、F分别为的中点，连接，若平行四边形 的周长为40， ，求的长． 【核心考点十四 三角形中位线与三角形面积问题】 【例1】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且，则的值为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2024·四川内江·模拟预测）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，是的中位线，M是的中点，的延长线交于N，那么 ， ． 【例4】（23-24八年级下·广西玉林·阶段练习）如图，在与中，点，，分别是，，的中点，若的面积等于，则的面积为    【例5】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）勾股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在边止，顶点C、D重合，连接 、．设、交于点G．， ， （ ），． 请你回答以下问题： (1)请猜想与的位置关系，并加以证明． (2)填空： =___________（用含有c的代数式表示） (3)请尝试利用此图形证明勾股定理． 【核心考点十五 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（23-24八年级下·全国·期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【例2】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【例3】（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，点、分别是、边的中点，，，，则的长为 ．    【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【例5】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【核心考点十六 三角形中位线的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·河北·期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．连接DE，若测得m，则A，B之间的距离是（    ） A．7m B．11m C．14m D．13m 【例3】（23-24八年级下·浙江台州·开学考试）要测池塘B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段、，并取、的中点D、E，连接，测得米，则 米． 【例4】（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【例5】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【变式训练1 利用平行四边形的性质求解】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在中，平分，平分，若，，则的周长是（    ） A．24 B．26 C．28 D．32 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，对角线，交于点O，，于点H，若，，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式训练2 利用平行四边形的性质证明】 1．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在平行四边形中，，于F，于G，、交于E，、交于H，给出下列结论：①；②；③；④若点F是的中点，则；其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，为对角线，，，垂足分别为点，．若，，，则 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在和的延长线上，且，连接，．求证：． 【变式训练3 平行四边形性质的其他应用】 1．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期末）如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（6，0）、（2，4），则点B的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，A，B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开凿一个贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．请你设计出一个方案，利用平移的有关知识测量出A，B之间的距离和隧道开凿的方向． 【变式训练4 判断能否构成平行四边形】 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 3．（2024·贵州铜仁·三模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD． (1)求证：AO＝EO； (2)若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论． 【变式训练5 添一个条件成为平行四边形】 1．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）以下是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） ； 四边形是平行四边形 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 2．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有 (只写序号即可)． 3．（2024·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 【变式训练6 数图形中平行四边形的个数】 1．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为（    ）． A．0 B．2 C．1 D．3 2．（23-24八年级下·甘肃天水·期末）如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有 个平行四边形. 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【变式训练7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是 ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，请找出格点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形； (2)满足以上条件的D点的坐标是___． 【变式训练8 证明四边形是平行四边形】 1．（2024·河北石家庄·二模）某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是（    ）        A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行公理 D．平行四边形的性质 2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    3．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）中，是边上任意一点，是边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．    求证： (1) (2)四边形是平行四边形． 【变式训练9 全等三角形拼平行四边形问题】 1．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，，．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个． 3．（2024·浙江衢州·模拟预测）如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【变式训练10 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（   ）    A．13 B．21 C．26 D．52 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．    3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【问题探究】如图，六边形的六个内角均为，分别延长、交于点G，得到．请判断的形状，并证明你的结论． 【结论应用】若，，，，直接写出六边形的周长为 ． 【变式训练11 利用平行四边形性质和判定证明】 1．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，是边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，已知点分别是的边的中点． 求证：，．    证明：延长到点，使，连接，又因为，则四边形是平行四边形． 以下是排序混乱的证明过程，正确的证明顺序应是 ．（填序号） ①；②，即；③四边形是平行四边形；④，且． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：． 【变式训练12 平行四边形性质和判定的应用】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    3．（23-24八年级下·北京昌平·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2． 图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法拼成平行四边形，要求如下： ①将图中所给四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙． ②所拼的平行四边形周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小分别画在图1、图2、图3的方格纸上． ③画图时，要保留四块直角三角形边的拼接痕迹． 【变式训练13 与三角形中位线有关的求解问题】 1．（24-25八年级下·广东惠州·开学考试）如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（　　） A．6 B．3 C．1.5 D．1 2．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，相交于点O，点E，F分别为的中点．若，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，E，F分别是的中点，延长到点D，使得，连接，交于点O． (1)证明：与互相平分； (2)如果，求的长． 【变式训练14 三角形中位线与三角形面积问题】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如下图，将△ABC的各边都延长一倍至A'、B'、C'，连接这些点，得到一个新的三角形A'B'C'，若△ABC的面积为3，则△A'B'C'的面积是(　　) A．18 B．21 C．24 D．3 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是的中点，为上的点，连接，若，则图中阴影部分的面积为 cm2． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图1所示：在中，点D、E分别是AB，AC的中点， (1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________． (2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证：； (3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你的猜想． 【变式训练15 与三角形中位线有关的证明】 1．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在四边形中，点是上动点，点是上一定点，点E、分别是、的中点，当点从点向点移动时，下列结论一定正确的是（    ） A．线段的长度逐渐减小 B．线段的长度逐渐增大 C．线段的长度不改变 D．线段的长度不能确定 2．（2024·河北保定·二模）如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高对折，然后从中点处向中点处剪开，剪掉，展开后得到的多边形内角和为 ．    3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E为边的中点，于点F，G为的中点，分别延长，交于点H，求证：．    【变式训练16 三角形中位线的实际应用】 1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，、两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出、间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、，并且步测出长，由此知道长．若步测长为，则，间的距离是（   ）    A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·一模）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知的周长为1，连结的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2013个三角形的周长是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在等腰中，腰长为5，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 4．（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山西长治·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 6．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，F分别是中点，若，则的长为 ． 7．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，那么的长是 ． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第个图形中有 个平行四边形． 11．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     12．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 13．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接，． (1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的周长等于； (2)在图乙中画出一个以为对角线的平行四边形，且它的面积为． 14．（2024·吉林白山·一模）下面是李婷同学的自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【复习】如图①，点、分别是的边、的中点． 则______，______； 【探究】如图②，在和中，与相交于点，点、、分别为、、的中点，连接交于点，连接交于点． 求证：（1）； （2）当时，； 【应用】如图③，线段、相交于点，连接、，点、分别为、的中点，连接，若，，则长为______． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在和中，，，，，点F是线段的中点，连接． (1)若D在上， ①如图1，点E恰好落在上，请探究线段与的数量关系； ②如图2，试探究线段与的数量关系； (2)如图3，，点D不在上，，，，直接写出的面积是————· 学科网（北京）股份有限公司 $$