精品解析：广东省梅县东山中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

广东梅县东山中学高一数学12月月考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个条件中，能成为的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下命题正确的是（ ） A. 函数的图象与直线一定有1个公共点 B. 若函数的值域为，则的取值范围为 C. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 D. 是非奇非偶函数 11. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 13. 已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是_____. 14. 已知实数x，y满足，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，全集，集合，函数的定义域为集合B. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 已知函数的图象经过点．与互为反函数. （1）求的值及的定义域，并判断的奇偶性； （2）求关于的不等式的解集． 17. 随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前四年，平台会员的个数如图所示： （1）若建立平台年后，平台会员人数为（千人）.依据图中数据，下列三种模型哪种最合适?请说明理由.并求出你选择模型的解析式； ①，②（且），③（且）. （2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 18. 已知函数，函数. （1）若函数满足，且，求，的值； （2）在（1）的条件下，记，若当时，，求的最大值； （3）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求的取值范围. 19. 若函数对任意的均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）全集为，函数，试证明具有性质； （3）具有性质，且，求证：对任意，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东梅县东山中学高一数学12月月考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，再逐一判断各选项即可. 【详解】由有意义，可得，即， 由，可得， 故，故A错误；B正确； ，故C错误； 显然不是集合的子集，故D错误. 故选：B. 2. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C项，的定义域为，且， 所以为奇函数，又在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，故C正确； 对于D项，的定义域为， 在，上单调递减，但不能说在定义域内单调递减，故D项错误． 故选：C． 3. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据带量词的命题否定的规定即得. 【详解】根据带量词的命题的否定的规定，改变量词，否定结论判断词， 即得，的否定为，. 故选：D. 4. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用对数的运算性质得到，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以，则， 所以. 因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过中间量，利用指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为为增函数，为减函数， 所以，，且 又因为为减函数，所以， 所以. 故选：B. 6. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，排除B项，再通过赋值法，结合图象的位置和单调性即可排除C,D两项，即得A项正确. 【详解】由可知函数的定义域为，因， 则函数是奇函数，故排除B项； 又由可排除C项； 又，即，故可排除D项. 故选：A. 7. 已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数，， 故. 故选：D. 8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集. 【详解】 对任意的，都有 ， 在上是增函数， 令， 则， 为偶函数， 在上是减函数， 又，则， ， 当时，， 即，解得：， 当时，， 即，解得：， 综上所述：的解集为：. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个条件中，能成为的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用不等式的性质可判断，对于B，利用指数函数的单调性可得，但推不出可判断；对于C，利用不等式的性质可判断；对于D，利用对数函数的单调性可得，即可判断. 【详解】对于A，由可得，则有，故可得，即A正确； 对于B，由可得，但推不出，如，但得不到，故B错误； 对于C，由两边取平方，可得，故C正确； 对于D，由可得，即得，故必有成立，即D正确. 故选：ACD. 10. 以下命题正确的是（ ） A. 函数的图象与直线一定有1个公共点 B. 若函数的值域为，则的取值范围为 C. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 D. 是非奇非偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的定义域值域，结合函数的奇偶性性质然后逐项判断. 【详解】选项A，若函数，则在处没有意义，故两者没有公共点，故A错误； 选项B，因为函数的值域为，设函数， 所以函数可以取遍所以大于0的数，故有， 解得：，故B正确； 选项C，当时，， 当时，，， 因为函数是奇函数，所以，故C正确； 选项D，函数的定义域，解得：且，定义域关于原点对称， 则， 所以，故函数为奇函数，故D错误. 故选：BC. 11. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：令可得结果；B：令可得结果；先结合奇偶性分析在上的单调性，由此可判断D；根据条件将化简，结合单调性可判断C． 【详解】对于A：令，则，所以，故正确； 对于B：令，则，所以， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确； 对于CD：，则， 因为，所以，所以，所以， 因为， 且， 所以，所以，即， 因为时，，所以， 所以，所以在上单调递减，故D正确； 又因为，且，所以，故C错误； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得，所以a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知实数x，y满足，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解． 【详解】因为，所以， 又，所以， 即， 即有， 因为函数在上为增函数， 所以，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，全集，集合，函数的定义域为集合B. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，，再利用集合的基本运算求解； （2）由题意可得是的真子集，列出不等式组，解出的取值范围即可． 【小问1详解】 集合， 当时， 由，解得，即， ， ； 【小问2详解】 ，， 若是成立的充分不必要条件，则是的真子集， ，解得， 即的取值范围为． 16. 已知函数的图象经过点．与互为反函数. （1）求的值及的定义域，并判断的奇偶性； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1），定义域为，为非奇非偶函数 （2）} 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式中计算即可得，结合对数定义即可得其定义域，由定义域即可得其非奇非偶； （2）结合对数函数单调性及定义域计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，即， 所以，即，则， 则有，解得，故的定义域为， 为非奇非偶函数； 【小问2详解】 由（1）可得，， 由与互为反函数，可得， 不等式可化为， 因为在上是增函数， 所以，即，解得， 故该不等式解集为. 17. 随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前四年，平台会员的个数如图所示： （1）若建立平台年后，平台会员人数为（千人）.依据图中数据，下列三种模型哪种最合适?请说明理由.并求出你选择模型的解析式； ①，②（且），③（且）. （2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【答案】（1） 选模型③， 理由： 由图，函数单调递增，且增长速度较快，而模型①单调递减，故不符合； 而模型②对数函数在单调增时图象是上凸的，增加幅度越来越慢，故也不符合， 模型③为指数型函数，符合题意，故选模型③． 代入点坐标：， 得：，解得：， 故模型③的解析式为：． （2）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据图形的单调性，再结合三种函数模型的图形特点，即可判断； （2）问题转化为对任意的均成立，分离参数求最值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题：对任意的均成立， 即， 令， 则对任意的恒成立， 又， 故，即的最小值为． 18. 已知函数，函数. （1）若函数满足，且，求，的值； （2）在（1）的条件下，记，若当时，，求的最大值； （3）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数对称性及给定的函数值列式求出值. （2）把代入，求出函数，探讨函数的单调性及对应函数值集合，求出对应的自变量值即可得解. （3）把代入，求出函数的对称轴，按探讨函数的取值集合即可列式求解. 【小问1详解】 因为函数满足，所以， 即函数的图象关于对称，且， 得，所以，. 【小问2详解】 由（1）知， 依题意，， 当时，，在上单调递增，函数的值域为； 当时，，由对勾函数性质知，在上单调递减，函数的值域为； 在上单调递增，函数的值域为， 因为当时，， 由，得，解得； 由，则或，解得或， 所以． 【小问3详解】 当时，函数定义域为R，其图象对称轴，， 当时，（ⅰ）当时，，当且仅当时取取等号， （ⅱ）时，，当且仅当时取等号， 于是， 由函数的值域和函数的值域相同，得，则， 当时，，在和上单调递增， 此时的值域是R，此时符合的值域和的值域相同． 当时，值域为，则的值域和的值域相同， 所以实数b的取值范围为． 19. 若函数对任意的均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）全集为，函数，试证明具有性质； （3）具有性质，且，求证：对任意，均有. 【答案】（1）具有性质，理由如下： 对于， 因， 故对任意的成立，即函数具有性质. （2） 当为有理数时，具有性质.理由如下： 而， 显然对任意有理数恒成立，故具有性质； 当为无理数时，具有性质，理由如下： ，故具有性质. 综上所述，当时，均有，故函数具有性质. （3） 假设为中第一个大于0的值，则， 因具有性质，故， 则， 故， 这与矛盾，故假设不成立， 所以对任意，均有. 【解析】 【分析】（1）直接将解析式代入不等式后化简，再结合基本不等式判断是否对任意实数都成立即可. （2）将函数分段讨论，每一段都根据性质的定义判断是否具有性质，再得出在R上是否具有性质. （3）利用反证法，先提出假设为大于0的值，再结合性质的定义可推导出，与题干条件相矛盾，从而得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $