期末复习专题1集合及其运算（7考点+8题型）-2024-2025学年第一学期高一数学期末复习专题（人教A版2019 必修一）

期末复习专题1 集合及其运算 内容导图预览 知识考点梳理 考点 1 集合的含义 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 4、集合中元素的三大特性：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性 考点 2 集合的表示方法与分类 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 考点3 子集的概念及其理解 1.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 3.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A 4.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 5.性质 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 6.韦恩图表示集合间关系 7.有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1 考点4 并集的概念及运算 并集的概念及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 考点5 交集的概念及运算 交集的概念及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 考点6 全集与补集的概念及运算 1、全集的概念 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2、补集的概念及性质 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 3、交、并、补集的综合运算 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 4、利用集合间的关系求参数范围 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解． 思路方法总结 1、利用集合中元素的特性求参数 （1）核心点：集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）三大特性：构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）检验意识：利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 2、集合与方程的关系 （1）集合与方程：方程的解集可以用集合表示．集合中的元素就是方程的实数根，但需注意互异性． （2）分类讨论思想：当方程中含有参数时，往往需要根据方程实数根的情况来进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性（互异性）． 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 3、子集个数的确定 确定子集个数的三个关键： （1）元素确定：确定所求集合的元素； （2）个数确定：合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出； （3）特殊优先：注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 4、集合的参数（范围）问题 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 5、有关交、并、补的参数范围 （1）根据并集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则； （2）根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 6、运用补集思想的方法步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其方法步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 典例·举一反三 一、考点一 元素与集合的关系 例1．集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 跟踪训练 1．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为 二、考点二 已知元素与集合的关系求参数 例2．已知集合，，若，则实数 . 跟踪训练 1．已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，且，则的值为 . 三、考点三 已知元素个数求参数 例3．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 2．若集合中有2个元素，则的取值范围是 . 四、考点四 列举法表示集合 例4．用列举法表示集合 . 跟踪训练 1．已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 2．用列举法表示集合 ． 五、考点五 （真）子集相关计算 例5．设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 跟踪训练 1．满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 六、考点六 根据集合关系求参数 例6．已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知集合，，若．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数 ． 七、考点七 集合的交并补的综合运算 例7．已知全集，集合，.求，，. 跟踪训练 1．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．设全集为，则 ， ． 八、考点八 根据运算结果求参数 例8．在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 跟踪训练 1．设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 2．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 九、考点九 容斥原理的简单应用 例9．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 跟踪训练 1．高中学生运动会，某班54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．12 2．为丰富校园文化活动，某学校举行了“棋类竞技”活动，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加象棋，有8人参加军棋，有14人参加跳棋比赛，同时参加军棋和象棋的有3人，同时参加象棋和跳棋比赛的有3人，同时参加三项比赛的同学有1人，则同时参加军棋和跳棋比赛的有 人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题1 集合及其运算 内容导图预览 知识考点梳理 考点 1 集合的含义 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 4、集合中元素的三大特性：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性 考点 2 集合的表示方法与分类 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 考点3 子集的概念及其理解 1.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 3.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A 4.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 5.性质 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 6.韦恩图表示集合间关系 7.有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1 考点4 并集的概念及运算 并集的概念及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 考点5 交集的概念及运算 交集的概念及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 考点6 全集与补集的概念及运算 1、全集的概念 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2、补集的概念及性质 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 3、交、并、补集的综合运算 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 4、利用集合间的关系求参数范围 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解． 思路方法总结 1、利用集合中元素的特性求参数 （1）核心点：集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）三大特性：构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）检验意识：利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 2、集合与方程的关系 （1）集合与方程：方程的解集可以用集合表示．集合中的元素就是方程的实数根，但需注意互异性． （2）分类讨论思想：当方程中含有参数时，往往需要根据方程实数根的情况来进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性（互异性）． 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 3、子集个数的确定 确定子集个数的三个关键： （1）元素确定：确定所求集合的元素； （2）个数确定：合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出； （3）特殊优先：注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 4、集合的参数（范围）问题 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 5、有关交、并、补的参数范围 （1）根据并集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则； （2）根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 6、运用补集思想的方法步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其方法步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 典例·举一反三 一、考点一 元素与集合的关系 例1．集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 跟踪训练 1．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得. 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 2．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为 【答案】（1）（3） 【分析】由集合的定义逐个判断即可. 【详解】若 ，则0不能作为分母，故，故（1）正确； 当时时，，所以为单元素集，故（2）错误； 当时时，，所以集合一定包含， 当取其他整数时，则其倒数必在集合中， 所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确. 故答案为：（1）（3）. 二、考点二 已知元素与集合的关系求参数 例2．已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 跟踪训练 1．已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得. 【详解】因为且，所以，解得. 故选：A． 26．已知集合，且，则的值为 . 【答案】3或2 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由，且， 得或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合元素的互异性，舍； 所以的值为3或2. 故答案为：3或2 三、考点三 已知元素个数求参数 例3．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的子集个数确定元素个数，进而求出值. 【详解】由集合A有且仅有2个子集，得集合有且只有1个元素，即方程有唯一解， 当时，方程有唯一解，符合题意，则， 当时，一元二次方程有相等实根，，解得， ，方程的根为；，方程的根为，符合题意，因此， 所以a的取值是. 故选：D 跟踪训练 1．已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 2．若集合中有2个元素，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，得到，即可求解. 【详解】因为集合中有2个元素， 所以，解得且，所以的取值范围是， 故答案为：. 四、考点四 列举法表示集合 例4．用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定的值，即可解决． 【详解】由题意知，且， 所以m的可能取值为0，1，4，9， 故答案为： 跟踪训练 1．已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 2．用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】由可列举出符合题意的的值，进而表示出集合． 【详解】集合 所以可以取的值为，1，2，3，所以． 故答案为：． 五、考点五 （真）子集相关计算 例5．设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 跟踪训练 1．满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 2．已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】128 【分析】利用集合定义求出集合，然后根据子集的性质求得子集个数. 【详解】因为集合，，所以， 所以集合的子集的个数为. 故答案为：128 六、考点六 根据集合关系求参数 例6．已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 跟踪训练 1．已知集合，，若．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合包含关系列出不等式求解即可. 【详解】由题可知或，，由，可得，所以． 故选：B. 218．已知集合，，若，则实数 ． 【答案】或 【分析】根据子集概念可知或，解之并验证是否符合题意即可. 【详解】解：因为，所以或， 所以，或， 经验证当时，，集合不满足元素的互异性， 或均符合题意，所以或 故答案为：或 七、考点七 集合的交并补的综合运算 例7．已知全集，集合，.求，，. 【答案】，或， 【分析】根据交集、补集、并集的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以，，或， 则或，. 跟踪训练 1．已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算的定义即可求解. 【详解】, 由于，故， 故选：D 2．设全集为，则 ， ． 【答案】 【分析】利用数轴来表示数集，并根据交并补思想求解即可. 【详解】把集合在数轴上表示如图．    由图知，，所以． 因为，所以． 故答案为：①，②. 八、考点八 根据运算结果求参数 例8．在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和， 若选择①：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解； 若选择②③，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以． （2）由集合或和， 若选择①：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； 若选择②：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为； 若选择③：由，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 跟踪训练 1．设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 2．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 九、考点九 容斥原理的简单应用 例9．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 跟踪训练 1．高中学生运动会，某班54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，总共有35人，而参加比赛的人数为27人，则多出来的人数为田赛和径赛都参加的人数. 【详解】54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的有27名学生， 参加田赛的有14人，参加径赛的有21人， 则田赛和径赛都参加的学生人数为人, 故选：B 2．为丰富校园文化活动，某学校举行了“棋类竞技”活动，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加象棋，有8人参加军棋，有14人参加跳棋比赛，同时参加军棋和象棋的有3人，同时参加象棋和跳棋比赛的有3人，同时参加三项比赛的同学有1人，则同时参加军棋和跳棋比赛的有 人． 【答案】4 【分析】设同时参加军棋和跳棋比赛的有人，参加象棋的同学组成集合，参加军棋的同学组成集合，参加跳棋比赛的同学组成集合，再根据题意列式求解即可． 【详解】解：设同时参加军棋和跳棋比赛的有人，参加跳棋比赛的同学组成集合，参加军棋的同学组成集合，参加象棋的同学组成集合， 所以集合中有14个元素，中有8个元素，中有15个元素， 由题意可知中有3个元素，有1个元素，由3个元素，， 所以，解得，所以同时参加军棋和跳棋比赛的有4人， 故答案为：4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$