(讲本)第18章 平行四边形 整合与提升-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

第十八章整合与提升 思维导图 性质：对边相等，对边平行，对角相等，对角线互相平分 边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形 三角形的中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半 四个角都是直角，对角线相等且互相平分 性质 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 平行四边形 矩形 三个角都是直角的四边形是矩形 判定对角线相等的平行四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 性质：四条边都相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线 平分一组对角 四条边都相等的四边形是菱形 特殊平行四边形 菱形 判定一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半 四边相等，四个角都是直角 性质对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分 一组对角 正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 判定 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线 对角线互相垂直的矩形是正方形 B考点突破 接FM,EN. 考点1)平行四边形的性质与判定 【例1】如图，在□ABCD中，∠BAD和 ∠DCB的平分线AE,CF分别交BC,AD (1)求证：BE=DF; 于点E,F,M,N分别是AE,CF的中点，连 ·49· (2)求证：四边形FMEN是平行四边形， 【例3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC 90°，AC=AD,M,N分别为AC,CD的中 点，连接BM,MN,BN. (1)求证：BM=MN; (2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD,AC= 2,求BN的长 B 【方法点拨】(1)利用中位线和直角三角形斜 边中线即可求解；(2)由已知∠BAD=60°证 明∠BMN=90°，利用勾股定理求解. 考点2 三角形的中位线与“斜中半” 定理 【例2】如图，四边形ABCD中，∠BAD= ∠BCD=90°，E,F分别为对角线BD,AC 的中点.若BD=10,AC=8,则EF的长为 【方法点拨】遇直角和中点，添加辅助线，构 造斜边上的中线，利用勾股定理和斜边中线 性质解决问题。 ·50· 考点3特殊平行四边形的性质与判定 【例5】如图，在□ABCD中，∠A=60°，点E 【例4】如图，在矩形ABCD中，AD=6,DC=7. 为边CD上一点，且DE=DA,过点E作 菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形 EQ∥DA交AB于点Q,连接DQ.点G在 ABCD的边AB,CD,DA上，AH=2,连接CF AQ上，点F在EQ上，连接CG,DG,DF, (1)若DG=2,求证：四边形EFGH是正 CF,满足CG=CD,EF=GQ. 方形； 求证：(1)△DGQ≌△DFE: (2)若DG=6,求△FCG的面积 (2)CF平分∠DCG. G 【方法点拨】本题需采用演绎推理法和构造 法.(1)由于四边形EFGH是菱形，只需再 证有一个内角是直角即可；(2)解题的关键 是作辅助线，即过点F作FM⊥DC,从而构 造全等三角形， ·51·.∠DAF=∠BAE=30°，.∠EAF=∠BAD-∠BAE- ∠A=90.在菱形EFGH中，HG=HE.,'AH=2,DG ∠DAF=150°-30°-30°=90°.又：四边形AEGF是菱 2,.AH=DG.在Rt△DHG和Rt△AHE中，∠D=∠A 形，∴，四边形AGF是正方形。 =90.:HG=HE,DG=AH=2,.Rt△DHG≌ 专题突破（六）正方形中的折叠问题 R△AEH(HL),.∠DGH=∠AHE.又：∠DGH+ 例题导学 ∠DHG=90°..∠AHE+∠DHG=90°.∴∠GHE=90°， 【例1】证明：由折叠的性质，得∠BAE=∠EAG,∠DAF= ∴.四边形EFGH是正方形：(2)过点F作FM⊥DC,交DC ∠FAG,AB=AG,AD=AG,∴.AB=AD.∠EAF=45, 延长线于M,连接EG.:AB∥CD,∴.∠MGE=∠AEG.在 ∴.∠BAD=2∠EAG+2∠FAG=2∠EAF=90°.：∠B= 菱形EFGH中，HE∥FG,HE=FG,.∠FGE=∠HEG, ∠D=90°.∴四边形ABCD是矩形.：AB=AD,.四边形 ∴.∠MGF=∠AEH,在△AHE和△MFG中，∠A=∠M =90°，∠AEH=∠MGF,HE=FG,∴.△AHE≌△MFG ABCD是正方形.【例2】解：设CH=x,则DH=EH=9 (AAS),∴.MF=AH=2.DC=7,DG=6,∴.CG=DC- -x:BE:BC=21,BC=9.CE=号BC=3.在正方 DG=7-6=1.dSam=2CG·MF=号X1X2=1 形ABCD中，∠C=90°，∴.在Rt△ECH中，根据勾股定理， 【例5】证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ 得EH=CE+CF,即(9-x)2=3十x2,解得x=4,即 CD.:EQ∥AD,.四边形ADEQ是平行四边形.：AD= CH=4. ED,.四边形ADEQ是菱形，.AD=ED=EQ=AQ 【变式练习】 :∠A=60°，.△ADQ,△DEQ都是等边三角形， 1.D2.1 '.∠DQA=∠EDQ=∠DEQ=60°，DQ=AD=DE.在 第十八章整合与提升 DQ=DE. 考点突破 △DGQ和△DFE中，J∠DQG=∠DEF,∴.△DGQ≌ 【例1】证明：(1)在□ABCD中，AD∥BC.AB=CD,∠BAD GQ-FE. =∠DCB,∠B=∠D,.∠DAE=∠AEB,∠DFC= △DFE(SAS):(2)连接GF.△DGQ≌△DFE,∴.∠QDG ∠BCF.,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,∴·∠BAE =∠EDF,DF=DG,.∠QDG+∠FDQ=∠EDF+ ∠DAE=是∠BAD,∠BCF=∠DCF=∠DCB. ∠FDQ-∠EDQ=60°，即∠GDF-60°，∴.△GDF是等边 CD-CG. .∠BAE=∠DCF,△BAE2△DCF(ASA),.BE= 三角形，∴.DF=GF.在△CDF和△CGF中，DF=GF, DF:(2)由(1)知△BAE≌△DCF,∴.AE=CF,又，M,N CF=CF. 是AE,CF的中点，ME=号AE,FN=CF,ME= ∴.△CDF≌△CGF(SSS),.∠DCF=∠GCF,即CF平分 FN.:∠BAD=∠BCD,AE,CF是角平分线，·∠EAD= ∠DCG. Z∠BAD,∠FCB=∠BCD.∠EAD=∠FCB.:AD 第十九章 一次函数 19.1函数 ∥BC,.∠EAD=∠AEB,∴.∠FCB=∠AEB,.AE∥ 19.1.1变量与函数 CF.又：ME=FN,.四边形FMEN是平行四边形 第1课时常量与变量 【例23【例3】解：(1)：∠ABC=90°，M为AC的中点， 知识梳理 ∴BM=号AC.:M为AC的中点，N为DC的中点， 数值发生变化数值始终不变 ∴MN为△ACD的中位线MN=号AD,:AD=AC 例题导学 【例1】解：(1)y与n之间的关系式为y=0.4n,其中常量为 ∴.BM=MN:(2):∠BAD=60°.AC平分∠BAD, ∴∠DAC=∠CAB=30°.：M为AC的中点，∠ABC= 0.4,变量为y与：(21与0之间的关系式为1-g,其中 常量为400，变量为t与u:(3)S与x之间的关系式为S 90.BM=AM=2AC=1,·∠MAB=∠MBA=30, x(30-x),其中常量为30，变量为S与x. 【例2】解： .∠CMB=60°.M,N分别为AC,CD的中点，.MN∥ (1)反映了剩余长度与燃烧时间之间的关系.由表知每分钟 AD.MN=2AD=2AC=1..∠NMC=∠DAC=30 蜡烛减少的长度是号cm,当燃烧时间为0©m时，蜡烛长 .∠NMB=∠NMC+∠CMB=30°+60°=90°.在 度为20cm,放1=-子1十20.其中11是变量：-号，20是 Rt△BMN中，根据勾股定理，得BN=√MN+BM= √+严=√2.【例4】解：(1)在矩形ABCD中，∠D= 常量：(2)当1=21mim时，=-号×21+20=6.当燃烧 参考答案第10页（共55页）》