(讲本)第18章 专题突破(五)特殊平行四边形与60度角-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

【变式练习】 (2)若∠ADC=25°，求∠FDG的度数. 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,添加下列条件后不能判定 □ABCD是菱形的是 A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2 5.如图，四边形ABCD为平行四边形，过点 A作AF⊥AD,交BC边于点E,交DC的 延长线于点F.连接AC,BF,过点D作 DG⊥BF,交BF的延长线于点G.已知 CF-CD. (1)求证：四边形ABFC为菱形： 专题突破（五） 特殊平行四边形与60度角 A专题概逃 形全等的判定和性质，熟练掌握矩形的性质 特殊平行四边形分为矩形和菱形，两种 和直角三角形的性质是解题的关键， 图形都可以被对角线分为等腰三角形，而等 腰三角形遇到60度角又可以得到等边三角 形，那么就可以用到许多等边三角形的性质 来解决问题， B例题导学 类型1)矩形与60度角 【例1】如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边 AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF与 对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF= 2∠BAC,CF=2,则AB的长为 A.23 B.43 C.4 D.6 【方法点拨】本题考查了矩形的性质，等腰三 角形的三线合一，直角三角形的性质，三角 ·44· 【变式练习】 【变式练习】 L.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交2.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E 于点O,且∠AOD=120°.过点A作AE⊥ 在CD上，将△ADE沿AE翻折至 BD于点E,则BE:ED等于 ( △ADE,且AD刚好过BC的中点P,则 ∠DEC的度数为 A.1:3 B.1:4 C.2:3 D.2:5 类型2菱形与60度角 类型3 最值问题 【例3】如图，在□ABCD中，AB=AD=6, 【例2】如图，菱形ABCD的面积为24√3， ∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中 ∠ABC=120°，O为BD的中点，过点C作 点，则EF十BF的最小值为 CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE D 则线段OE的长度是 A.6 B.3 C.4 D.33 A.23 【方法点拨】本题主要考查的是最短路径、平 B.43C.4 D.6 行四边形的性质以及菱形的性质和判定，由 轴对称图形的性质将EF十BF的最小值转 化为EF十DF的最小值是解题的关键】 ·45· 【变式练习】 B例题导学 3.如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠A 知识点① 正方形的性质 120°，过点A作AD⊥BC于点D,延长 【例1】如图，在正方形ABCD中，E为BC边 AD至点N,使得AD=DN,在平面上有 上一点，连接AE,作AE的垂直平分线交 一动点M,使∠AMN=90°，连接BM,则 AB于点G,交CD于点F.若DF=2,BG= BM的最小值为 4,则AE的长为 A.3 B.3 【方法点拨】“十字架”模型中，适当添加辅助 C.33-3 D.3√5+3 线，构造全等三角形，最后将问题转化在直 角三角形中，利用勾股定理解决， 18.2.3 正方形 【例2】如图，在正方形ABCD中，点E,F分 别在边BC,CD上，∠BAE+∠DAF=45°. A知识梳理 若DF=2BE=2,则EF的长为 1.正方形的定义 有一组邻边相等的矩形是正方形；或有一 个角是直角的菱形是正方形 2.正方形的性质 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊 【方法点拨】常见的“半角”模型中，作线段相 的矩形和菱形，因此它具有平行四边形、 等和旋转都可构造全等三角形，将未知线段 矩形和菱形的所有性质 转化为两条已知线段的和. 正方形的四条边 四个角都是 【变式练习】 ;正方形的对角线 且 1.如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐 标为（一1,0），点B,C,D都在坐标轴上， 3.正方形的对称性 则正方形的周长是 ( 正方形是轴对称图形，两条对角线所在的 A.4 B.3√2 C.4V2 D.2 直线以及过每一组对边中点的直线都是 它的对称轴.正方形也是中心对称图形， 对称中心是对角线的交点. 4.正方形的判定 D (1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形 (第1题图)》 (第2题图) 有一组邻边相等或对角线互相垂直： 2.如图，以AD为一边在正方形ABCD的外 (2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱 侧作等边三角形ADE,连接BE,则 形有一个角是直角或对角线相等， ∠AEB的度数为 ·46。-AE=GE. 'BG=CE. 又'CF=AE..$GE=CF. =BF,.BO EF,ABO=FBO..ABO=BAC .BGE- ECF-60*..$△BGE △ECF(SAS)..$BE FBO,设 ABO=*,.' BEF-2 BAC..BEF$$$ $ x..2x+x-90{,解得x-30{.'ABF-60,.'FB$C$ -30*.'.CF-2...BF=BE-2 CF-4..'$AB-BE+AE= 第2课时 菱形的判定 6] 【例2】D[解析:连接AC,则AC必过点O.·四边形 知识梳理 ABCD是菱形,ABC=120..' BAD=60{*.AC BD (1)邻边(2)互相垂直 (3)相等 . OAB-乙BAD-30{.在Rt△AOB中,则有BO- 例题导学 【例1】16 【例2】解:当AB=AC时,四边形AEDF是菱 AB,即AB=2BO.'AO+BOAB{,即AO+BO= 形,理由如下:.AD BC,AB=AC..DAE- DAF (2BO)...AO=/3OB.易得AC=2AO.BD-2BO..AC ·DE//AC,DF//AB,..四边形AEDF是平行四边形 ADE=DAF...DAE=ADE...AE=ED..四 -3BD,即BD-3 AC.·菱形ABCD的面积为243 形AEDF是菱形.【例3】证明:(1)在□ABCD中,AD/ BC.AD=BC... EAM= FCN..E,F分别为AD.BC 的中点,..AE=DE=BF=CF.在△AEM和△CFN中 :在Ri△AEC中,OE是斜边上的中线,.OE-AC=6] AE-CF, EAM- FCN...△AEM△CFN(SAS),..EM= 【例3】D[解析:连接DE,DF,BD..'在CABCD中,AB AM-CN. 一AD一6,..平行四边形ABCD为菱形...点D与点B关 FN. AME= CNF... EMN= FNM...EM//FN 于AC对称...BF=DF.*.EF+BF=EF+DF,当点D. ·.EM一FN,..四边形EMFN是平行四边形;(2)连接 F.E共线时,EF十BF有最小值,最小值为DE的长..E EF.交AC于点O.由(1)得AE/BF,AE=BF..*.四边形 为AB 中点,..AE=3..'DAB=60*},AD三AB, AEFB是平行四边形,.'.AB//EF。.AB ]AC..EF1 '.△ADB是等边三角形..E为AB中点,..DE1AB. MN..'.四边形EMFN是菱形. *.DE-AD-AE-6-3-33 【变式练习】 【变式练习】 1.D 2.AD=BC 3.证明:(1)在□ABCD中,AB//CD. 1.A 2.30*3.C 18.2.3 AB=CD.':E,F分别是AB,CD的中点,..BE=-AB, 正方形 知识梳理 DF-CD.. BE=DF.'BE/DF...四边形DEBF是 2.相等 直角 相等 互相垂直平分 平行四边形,..DE//BF;(2)' G=90*.AG//BD.AD/ 例题导学 CG.'.四边形AGBD是矩形... ADB=90*.在Rt△ADB 【例1】310【例2】3【例3】解:(1)在□ABCD中,0A 中,.E为AB的中点...BE三DE..四边形DEBF是平 =OC,OB=OD'OBC=OCB..OB=OC..AC 行四边形...四边形DEBF是菱形.4.C 5.解:(1).四 BD...ABCD是矩形;(2)AB=AD.理由如下;·'四边形 边形ABCD为平行四边形,*.AB//DF,AD//BC,AB ABCD是矩形,且AB-AD,*.四边形ABCD是正方形 CD.·CF=CD...CF=AB...四边形ABFC为平行四边 (答案不唯一) 形。.AD/BC,AF 1AD...AF BC.'.四边形ABFC为 【变式练习】 菱形;(2):AD//BC. ADC-25*.. BCF= ADC 1.C 2.15{* 3.13 4.34 5.D 6.证明:(1)·四边 2$5..四边形ABFC为菱形,.FB=FC...CBF 形ABCD是菱形,..AB=AD,B= D,BAC BCF=25.. DFG=$CBF+BCF=50..DG [AB-AD; $G $ DGF-90$. FDG-90{$- DFG=90*-50$ DAC.在△ABE和△ADF中.B=D...△ABE -40. BE-DF: 专题突破(五) 特殊平行四边形与60度角 ADF($AS)...AE=AF.BAE= DAF.. EAG 例题导学 FAG..FG //AE,.EAG= FGA,: FAG 【例1】D[解析:连接OB,.四边形ABCD是矩形..'.AE FGA..'FG-AF-AE.'.'FG//AE..'四边形AEGF是 //CF,ABC= BCF=90*.'EAO= FCO. AEO$$ 平行四边形.又:AF一AE,..四边形AEGF是菱形;(2)在 =CFO..AE=CF...△AOE△COF(ASA)..OE 菱形ABCD中,BC/AD..B+ BAD=180^{*, OF.OA=OC...OA=OB=OC.. ABO= BAC. .BE “. BAD=180{*-B-150{$由(1)知△ABE△ADF, 参考答案第9页(共55页)