(讲本)第18章 专题突破(三) 利用中位线与“斜中半”定理处理中点问题&专题突破(四)矩形中的折叠问题-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

BAN-AMD. . DBG+$/BDG=CDF+$BDG=$BDC=90$ 即 D. 在△ABN 和△MAD 中,BNA-D. BE DF..'F是CE的中点,D是AC的中点,DF=3, AB-MA, '$AE//DF,AE-2DF=6..'BE 1AE.在 Rt△ABE中. ..ABNMAD(AAS);(2).'ABN、MAD BE-AB-AE=(5 ②)-6=14.【例2】解:如 ..BN-AD-2.又.AN-4...AB=AN+BN 答图,延长CB.DG交于点H,连接CF.f .四 +2-25. 'SAx=AD·AB-225-4 -SAnc-Sny-Sn=4v5-8.4. B 5.93 第2课时 矩形的判定 知识梳理 边形ABCD是平行四边形,..AD//BC,AD=BC,CD 1.直角 2.(1)相等 互相平分且相等 (2)三个角 AB-3v3.*A= HBG..G为AB的中点..AG 例题导学 乙A-乙HBG, BG.在△ADG和△BHG中,AG-BG, 【例1】12【例2】证明:(1)·AF/BC,*AFE .△ADG DBE..E是AD的中点,.AE=DE.又:AEF AGD- BGH, DEB...BDE△FAE(AAS):(2)'.AB=AC.D为 △BHG(ASA)...AD=BH.·△BFE由△BCE沿着 BC的中点...BD=DC,ADBC,即ADC=90{.$ BE所在的直线折叠得到,.'.BF一BC,EF-CE,',BF ·△BDE△FAE..'.AF=BD.'.AF=DC..AF//BC B$C=BH.. BFC= BCF. BFH= H,. CFH= ·四边形ADCF是平行四边形.又·ADC一90{,..四边 BFC+ BFH= BCF+ H=90*.' $CFD=90$$ 形ADCF是矩形.【例3】证明;连接EO..O是AC,BD '. EDF+ECF=90*,EFD+EFC90$.EF 的中点...AO=CO,BO-DO...四边形ABCD是平行四 CE...ECF=EFC.. EDF- EFD...ED=EF. EF-(C-3# 边形,在Rt△EBD中,BED=90{,.O为BD的中点 【例3】解:(1)连接CE.易证 .EO-BD.在Rt△AEC中, AEC=9o”,'O为AC △ABD△ACE,可得△DCE是直角三角形,利用勾股定 的中点..EO-AC..AC-BD..四边形ABCD是矩 理求得DE-4②,则CF一 -DE-2V2:(2)AM1BE,且 形。【例4】解:(1):AC-6,AB-8,BC-10,..AC+ AM--BE.证明如下:延长DA到点G,使得AG=AD, AB=6+8=10,BC-10.*'AC+AB=B$C.$$ .AD-AE. DAE-90*..'AG=AE.GAE-90{$.'M$ '.△ABC是直角三角形:A-90。又'PGAC,PH $AB. A= AGP= PHA=90{$.'$四边形AGPH是$ 矩形;(2)存在.连接AP.在矩形AGPH中,GH一AP.当 -AC, BAC- DAE=90*,AD=AE,*' BAE-90+ APIBC时,AP最短,此时AC·AB-BC·AP.即 AB-AC, CAE=CAG.在△BAE和△CAG中.BAE=CAG. AE-AG, 为2 '.△BAE△CAG(SAS)... ABE- ACG,BE-CG. .AM=-BE.设AC,BE的交点为F.CG,BE的交点为 【变式练习】 H.. BAC=90{ ABF+ AFB=90*$.ACG+$$$$ 1.C 2.AC|BD 3.对角线相等的平行四边形是矩形,矩 CFH=90... BHG-90*..$BECG.·.AM/CG. 形的四个角都是直角 4.矩 1:2 5.B 专题突破(三) 利用中位线与 “斜中半”定理处理中点问题 【变式练习】 例题导学 2.解:如图,连接BE,延长CD交BE于点H,过点 【例1】解:连接AE,延长BE交DF于点G,在Rt△ABC C作CF AB,垂足为F. 在Rt/ABC中. 中,ABC-90{*}.AB=BC.D是AC的中点. 'BD AC$ 'CD=5..'.BD=AD=CD=5,在RtABD中,AB BD+AD= 5+5=5②.·: DBE=CDF.$$ 参考答案 第7页(共55页) ACB=90{*,D是边AB 的中点,CD=7.5..'AD=DB 18.2.2 菱形 CD=7.5.AB=15,由勾股定理,得BC- AB-AC 第1课时 菱形的性质 15-9-12.'S-AC·BC-AB·CF.1 知识梳理 1.邻边 2.(2)相等(3)垂直 平分 例题导学 CD翻折得到△ECD,..BC=CE,BD=DE,..CH BE. 【例1】解:(1):E为AB的中点,DE AB。.,DE垂直平分 BH-HE.·AD-DB-DE,易得△ABE为直角三角形 AB...AD-DB.'四边形ABCD是菱形,..ABAD AEB-90* . CHB= AEB=90{*,AE/$CH.$$$ :.AD=DB三AB...ABD为等边三角形,..DAB $ 0{*}.AD/BC.'ABC-180*- DAB=180*-60$ ABD的高,:DE-AO-33. 【例2】证明::四边形 矩形中的折叠问题 专题突破(四) ABCD是萎形.. B- D.AB=AD=BC=CD.'.CE 例题导学 CF..'BC-CE-CD-CF,..BE=DF,..△ABE △ADF(SAS),..AE=AF. 【例1】解;.E是AD的中点...AE三DE.在矩形ABCD 【例3】解:(1):四边形 中,A- D- C-90{}..△ABE沿BE折叠后得到 ABCD是菱形,..AD=AB,DCB=2 ACD=2×30 GBE..$AE-GE,AB-BG. EGB= A-90{$'$DE$$ $ 0{ .DAB= DCB=60{,.'△ABD是等边三角形 GE. EGF-90*,在Rt△EDF和Rt△EGF中,EF=EF (2)·四边形ABCD是菱形,入ABD是等边三角形,BD DE=GE...Rt△EDF2Rt△EGF(HL).'.DF=GF.设 6.$OD--BD=3,AD=BD-6,AC1BD,即 AOD= DF=x,则BF=4+x.CF=4-x.在Rt△BCF中,根据勾 90{*..'根据勾股定理,得AO- AD-OD-6-3 股定理,得BC+CF=BF},即6+(4-x)}=(4+ ). 【例2】解:(1)重叠部分 6X6③-18③. 八BDF为等腰三角形,理由如下:由折叠及矩形的性质可 【变式练习】 知 CBD=FBD,AD / BC,..FDB=CBD. 1.D 2.8 3.解:(2)图②:BE-EF.图③:BE=EF.图② '. FBD- FDB...BF-DF...重合部分△BDF为等 证明如下:如图①,过点E作EG/BC,交AB于点G.·四 腰三角形.设AF-x,则BF-DF-8-x,在Rt△ABF中. 边形ABCD为菱形,'.AB-BC.又· ABC-60{; 根据勾股定理,得AB+AF=BF^},即4+ 一(8一), *.△ABC是等边三角形...AB=AC.ACB=BAC= 解得x=3..'.AF=3;(2)由折叠的性质可知BE=BC $6 0*$ .EG/BC..' $AGE= $ABC=60$*.AEG- ACE 10.又'.AB三6,.'在Rt△ABE中,根据勾股定理,得AE -60{*$.'.△AGE是等边三角形,.'.AG-AE-GE..'BG = BE-AB- 10-6-8.设DF-y,由折叠的性质 CE.叉'.CF-AE..$GE=CF$. AGE= ACB=6 0*.$$$ 可知EF=FC=6-y,DE-AD-AE-2.在Rt△DEF中. ..BGE-ECF-120{*..'.△BGE△ECF(SAS)...BE 根据勾股定理,得DE+DF-EF,即2+-(6-y). 一EF. # 【变式练习】 1.A2. 解:(1)AEDCEB.证明如下:.四边形 ABCD是矩形...BC-DA. B- D.由折叠的性质可知 图① 图③ B$C=B'C.B= B..BC=DA. B= D.在△AED 图③证明如下:如图③,过点E作EG/BC,交AB的延长 DEA- BEC. 线于点G..四边形ABCD为菱形,'.AB=BC.又 和△CEB中, D-B, ..△AED△CEB(AAS); .ABC-60{,..△ABC是等边三角形,..AB=AC. DA-BC. ACB- BAC-60*$.EG/BC..'$ AGE- AB$C$$$ (2)4 6 0{. AEG-ACB-60。..△AGE是等边三角形,.'AG 参考答案 第8页(共55页)专题突破(三)利用中位线与“斜中半”定理处理中点问题 A 专题概述 【变式练习】 1.如图，在 $$\parallelogram A B C D$$ 中，AC是对角线， 中点问题是初中几何中的重点问题，常 见的处理办法是倍长中线构造全等、构造中 $$\angle A C D = 9 0 ^ { \circ } ， E$$ 是BC的中点，AF平分 ∠BAC， ，连接CF，EF.若 CF⊥AF，AB= 位线、构造“斜中半”、构造“三线合一”，本专 5，BC=13， ，则EF的长为. 题主要介绍构造中位线和“斜中半”. A D B 例题导学 E 类型①构造三角形中位线 B C F 【例1】如图，在 Rt△ABC 中， $$\angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 类型2 构造直角三角形的斜边上的 AB=BC，D 是AC的中点，连接BD.E是 △BDC 内部一点，连接 BE，CE，DE，F 是 中线 【例2】如图，四边形AB CD 是平行四边形，G CE的中点，连接DF.若 ∠DBE=∠CDF， CD=5，DF=3， 求BE的长. 为AB的中点，连接DG，将 △BCE 沿着BE 所在的直线折叠，点C刚好落在D G 上的F B 处.若 $$A B = 3 \sqrt 3 ，$$ 求EF的长. 【方法点拨】延长CB，DG交于点 H， ，连接 $$E _ { 1 }$$ CF，证明出 BF=BC=BH， ，得到 ∠CFH= A D C $$9 0 ^ { \circ } ，$$ ，再证明出 EF=ED， ，从而得到 EF= 【方法点拨】本题考查了勾股定理，中位线的 性质；连接AE，延长BE交 DF 于点G，根据 $$\frac { 1 } { 2 } C D ，$$ ，即可求出EF的长.掌握相关图形的 已知条件证明 BE⊥DF，AE∥DF，AE= 判定和性质是解题的关键. 2DF=6， ，进而在 Rt△ABE 中，由勾股定理， D E 即可求解. A G B ·37 · 【变式练习】 类型3综合练习 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 【例3】在等腰直角三角形ABC中，AB= 边AB的中点，连接CD,将△BCD沿直 AC,∠BAC=90°，D为平面内一动点，连接 线CD翻折得到△ECD,连接AE.若 AD,将AD绕点A逆时针旋转90°得到 AC=9,CD=7.5,求线段AE的长 AE,连接DE,CD,BE. 图① 图② (1)如图①，点D在BC上，F是DE的中 点，连接CF.若AD=4,求CF的长； (2)如图②，点D在△ABC内部，M是CD 的中点，连接AM,猜想线段AM,BE之 间存在的数量关系和位置关系，并证明 你的猜想。 ·38· 专题突破（四） 矩形中的折叠问题 A专题概逃 (2)如图②，若折叠矩形纸片ABCD使点C 折叠前后折痕两侧的图形是全等图形， 落在AD上的点E处，AB=6,BC=10, 折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分，利 求AE,DF的长 用折叠性质求线段长时，可利用勾股定理构 建方程 B例题导学 【例1】如图，在矩形ABCD中，E是AD的 中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到 △GBE,延长BG交CD于点F,连接EF.若 AB=4,BC=6,求DF的长 【变式练习】 1.如图，在矩形ABCD中， AB=8,B℃=4，将矩形沿 AC折叠，使点D落在点D D 处，则重叠部分△AF℃的面积为 A.10 B.12 C.16 D.20 2.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折 叠，使点B落到点B'的位置，AB与CD 交于点E. 【例2】(1)如图①，把一张矩形纸片ABCD (1)试找出一个与△AED全等的三角形， 沿对角线BD折叠，重合部分是什么图 并加以证明； 形？试说明理由.若AB=4,BC=8,求AF (2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任 的长； 意一点，PG⊥AB于点G,PH⊥DC于点 H,则PG+PH的值为 图① 图② ·39·