(讲本)第17章 勾股定理 专题突破(二) 利用勾股定理求几何最值&整合与提升-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

例题导学 专题突破(二) 利用勾股定理求几何最值 【例1】解;(1) .+-1.5+2=6.25.c-2.5-6.25 例题导学 'a+=.'△ABC是直角三角形;(2).a+c*=11 【例1】解:(1)如答图①,根据题意:得AQ三BQ,设CQ +2 0-521,b-26-676..a+cb..△ABC不是直 xm,则DQ-(800-x)m,,200+x-400+(800-x)*. 角三角形;(3)'.a·b:c-25;7:24..设a-25(>0) 解得x-475.即CQ的长为475m;(2)如答图②,作点A关 则b-7,c-24..^-(25k)-625k,6+c}-(7k)+ 于直线/的对称点A',连接AB,交直线/于点P.则PA ($ 4)-49{+576}-625k..'B+c=a{。.'△ABC是 A'P,.'PA+PB=AP+PB=A'B,..PA+PB的最小值 直角三角形.【例2】解:(1)逆命题:相等的角是同位角. 为A'B.过点A'作A'EIBE于点E.在Rt△ABE中,A'E 逆命题是假命题;(2)逆命题:如果a三,那么a三.逆 -CD-800 m,BE=BD+DE=BD+CA'=BD+AC= 命题是真命题;(3)逆命题:三个角都是60的三角形是等 400 +200 =600(m)...A'B =AE+BE= 边三角形,逆命题是真命题.【例3】①②【变式】①②④ 【变式练习】 800{+600-1000(m)..PA+PB的最小值为1000m 1.B 2.A 3.解;△BEF是直角三角形,理由如下:设正 方形ABCD的边长为4x..E是边AD的中点,DF 1DC..AE=DE-2x.DF=x,CF-3x..在Rt△EDF / 答图① 中,由勾股定理,得EF=DE*+DF}=(2x)*+x*=5$, 答图② 在Rt△AEB中,由勾股定理,得BE{}一AE*+AB^{}=(2x) 【例2】B【例3】A 十(4x)=20x,在Rt△BCF中,由勾股定理,得BF*}= 【变式练习】 BC+CF*=(4x)+(3x)-25.EF*+BE*-25= 3.C 4.C BF* *.△BEF是直角三角形.4.D 5.解:(1)逆命题 第十七章整合与提升 两个角相等的三角形是等腰三角形;是互逆定理;(2)逆命 题:相等的角是对顶角;不是互逆定理.6.C 7.5,12. 考点突破 13 8,15,17 9,40,41 【例1】解:连接BE.在Rt△ABC中.C=90*,AC=16.BC 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 -12,由勾股定理,得AB= AC+BC- 16^{+12 知识梳理 20..DE垂直平分AB,..AE-BE.设EC=x,则BE= I.a十一c{ 2.直角 AE-16一x.在Rt△BCE中,由勾股定理,得BE{*}=BC*+ 例题导学 EC*,即(16-)*=12”+r”,解得-7..EC-7 【例1】解:·CD-16,BD-12,BC-20,且12*+16-20*$ 【例2】解:圆柱的侧面展开图如图所示,根据“两点之间线 '.△BCD是直角三角形,且BDC=90*,..△ACD是直 段最短”可知AB最短 由题意,知AC 角三角形,设AD=x,则AC=AB-BD十AD=12十x.在 Rt△ACD中,由勾股定理,得CD+AD=AC,即16+ 【例2】 -3X16-2-24(cm),BC-18cm.在Rt△ABC中,由勾股 解;连接AC,得Rt△ACD,所以根据勾股定理,得AC*}= 定理,得AB= AC+BC-24+18-30(cm)..'.小虫 AD+CD-8+6-10,即AC-10m又·'10+24 所爬的最短路径长为30cm 【例3】解:-a-+ 26,即AC*+BC-AB..'△ABC是直角三角形...S la-bl=0-a->0,la-bl>0-a--0. a-b-0.. 1a--0, 100-9600(元).答:该空地绿化需要投入9600元 la-b. 【变式练习】 等腰直角三角形,【例4】解:(1)在Rt△BCD中,C一 1. 120 2.A 3.解:(1)*.AB-13m.AD-12m,BD 90{,BC=7m,CD=24m,由勾股定理,得BD $$m.*AD+BD=12*+5=169=13*=AB*..' ADB CD+BC=\24+7-25(m)...BD的长为25m; 一乙ADC=90{}在Rt△ADC中,由勾股定理,得DC= (2).AB=20m,AD-15m.BD=25m.'AB+AD AC-AD=15-12-9(m);(2):'ADC-90 40 0+225=625=BD,'△ABD是直角三角形,A= DELAC,.Sc= AD·DC12×9-3(m). $AD+$BC×CD-$20x15+x7x24- AC 15 参考答案 第4页(共55页) 234(m),打造费用为234×1000=234000(元). 例题导学 ·234000 240000,..这块地打造成“口袋公园”政府投 【例1】解:在□ABCD中,OA=OC..△AOB的周长比 入的费用够用 △BOC的周长大2...(OA十OB十AB)一(OB十OC十BC) 第十八章 平行四边形 -AB-BC-2,设BC-x.则AB=r+2.'AB+BC-+ 18.1 平行四边形 2+x-40-2,解得x-9,.'.AB-11,..□ABCD的-组邻 18.1.1 平行四边形的性质 边的长为11,9.【例2】A【例3】C 第1课时 平行四边形的边、角性质 【变式练习】 1.D 2.4 3.证明:.O是AC的中点,*.AO=CO.在 知识梳理 1.分别平行 2.相等 相等 3.(1)另一条直线 □ABCD中,AD//BC,AD=BC.. FAC=ECA.在 (2)相等 FAO-ECO. △AOF和△COE 中,AO-CO, 例题导学 .△AOF 【例1】解:(1)设 A=5x.B=4x*,在ABCD中,AD/ AOF-COE. BC$' A+ B-180{,5x+4x=180,解得x=20. △COE(ASA). 4.B 5.A ' A- C-100{$B= D=80*:(2)设AB=2x$ cm 18.1.2 平行四边形的判定 BC-8xcm...2x+8x=40-2,解得x=2..AB=CD= 第1课时 平行四边形的判定(1) 4cm,AD-BC=16cm. 【例2】证明:(1)在□ABCD中, 知识梳理 AB/DF,. B= FCE.'E是BC的中点..BE=CE (2)相等(3)相等 (4)互相平分 (乙B=乙FCE, 例题导学 在△ABE和△FCE中,BE=CE. .△ABE AB-DE, BEA-CEF. 【例1】证明:在△ABF和△DEC中,乙A=D, △FCE(ASA)...AB=CF;(2)由(1)得AB-FC-CD AF-DC. $.DF-2AB..'AD=2AB.'$AD=DF..△ABE *.△ABF△DEC(SAS)..'.BF=CE.同理可证△ABC △FCE..'.AE-EF,.'.DEAF. 【例3】解:(1)如图,线 △DEF(SAS),.'BC=EF,..四边形BCEF是平行四边 段 BE和线段BF 即为所求; 形。 【例2】证明:.:AD//BC...CBE=DFE.:E为 CD的中点,..CE=DE. 在△BEC和△FED中, CBE- DFE. ($).Sc=CD·BE-AD·BF,AD-BC-3,BF=4. BEC FED..BFCFED(AAS),.BE CD=AB-6..'6BE-3X4..'BE=2..'AB与CD之间的 CE-DE. 距离为2. 【变式练习】 FE .''CE三DE,'四边形DBCF为平行四边形 【变式练习】 1.(1)100{(2)34 2.12 3.解:(1).·四边形ABCD为平 1.A 2.9 5 3.证明:在○ABCD中.A= C.B= 行四边形..AB-CD.AD/BE.'DAE-E.·BE CD-AB. BAE- E. BAE- DAE,即AE平 D,AD=BC,AB=DC.又'AF-CH,DE-BG.'AE= 分 BAD;(2)四边形ABCD为平行四边形,.'AD AF-CH, CG,FB=DH.在△AEF 和△CGH中,乙A- C. BC.AD//BE...D=FCE.DAF=E. .BC=CE AE-CG, ..AD-EC,.'.△ADF△ECF(ASA)...AF-EF=4,即 F是AE的中点..BC=CE=3, '.AB=BE=6,.'F是$$$ ..AEF2CGH(SAS)...EF三GH.同理可证EH AE的中点,.'$BF1AE..BF- AB-AF-6-4 FG,..四边形EFGH是平行四边形,.'.EG和HF互相平 -25..'SA-AB·FG-AF·BF.: FG= 分.4.32 5.证明:.AC/BD...C=D.CAO- (/C-D. AF·BF4×2545 4.C5.12 DBO. 在△AOC 和△BOD中,CAO=DBO. AB AO-BO: 第2课时 平行四边形对角线的性质 .△AOC△BOD(AAS)...CO=DO..E.F分别是 知识梳理 OC.OD的中点.:OE-oC,OF-oD..OF=OE. 1.互相平分 OC OB 2.△CBA △CBD △CBO △COD ·AO-BO,..四边形AFBE是平行四边形。 参考答案 第5页(共55页)专题突破（二） 利用勾股定理求几何最值 A专题概逃 【方法点拨】本题考查轴对称—最短问题， 以前通过平移、轴对称等几何变换，以 解直角三角形等知识；解题的关键是学会利 及“平面上两点之间线段最短”，“点到直线 用轴对称解决最短问题，再利用等面积法计 的垂线段最短”等知识，我们可以定性地得 算线段长度是解题的关键， 到何时最值，而现在我们通过勾股定理定量 【变式练习】 地得到最值是多少 1.如图，在长方形ABCD中，AB=12,AD= B例题导学 7,点P在AD上，点Q在BC上，且AP= 类型①利用轴对称和勾股定理求最值 CQ,连接PC,QD,则PC十QD的最小值 【例1】如图，小区A与公路1的距离AC 为 200m,小区B与公路l的距离BD=400m, 已知CD=800m. B N (第1题图) (第2题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°， (1)政府准备在公路边建造一座公交站台 AB=5,BC=12,AD是∠BAC的平分 Q,使站台Q到A,B两小区的路程相 线.若M,N分别是AD和AB上的动 等，求CQ的长； 点，则BM+MN的最小值是 (2)现要在公路旁建造一利民超市P,使超 市P到A,B两小区的路程之和最短，求 类型2化折为直求最值 此时PA十PB的最小值 【例2】如图，长方体的长为3，宽为2，高为 4,一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点 B处吃食物，那么它爬行最短路程是( A.7 B.√4I C.4+√/13 D.3+25 【变式练习】 3.如图，一个二级台阶的每一级台阶的长、 宽、高分别为60cm、30cm、10cm.A和B 是台阶两个相对的端点，在点B处有一只 蚂蚁，想到点A处去觅食，那么它爬行的 最短路程是 ·22。 【变式练习】 30 cm 4.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一 10 cm B 60 cm 根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根 A.60 cm B.80 cm 缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几 C.100 cm D.140 cm 何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱 类型3 化曲为直求最值 体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 【例3】如图，圆柱的底面周长为6cm,AB是 底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一 尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠 点D,BD=2CD,BC=6cm,一只蚂蚁从点 绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B A出发，沿圆柱的表面爬行到点D的最短路 处，则问题中葛藤的最短长度是( 程是 A.5 cm B.3√2cm A.15尺 B.20尺 C.3√5cm D.6√2cm C.25尺 D.30尺 第十七章整合与提升 A 思维导图 勾股定理：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则AC+BC= AB 直角三角形 三边的关系 勾股定理的证明 勾股定理的逆定理：如图，在△ABC中，若AC心+BC=AB, 勾股定理 则△ABC是直角三角形且∠C=90 直角三角 形的判定 勾股定理 勾股数 互逆命题与互逆定理 (1)测量高度，宽度 (2)方向角问题 勾股定理的应用 (3)最短路径问题 (4)勾股定理的综合运用 ·23· B考点突破 考点3 勾股定理的逆定理及其应用 考点1)勾股定理的认识与证明 【例3】已知a,b,c是△ABC的三边长，且满 【例1】如图，在Rt△ABC中， 足关系√c2一a2-+|a-b|=0,请判断 ∠C=90°，AC=16,BC=12, △ABC的形状， D AB的垂直平分线分别交AB,AC 【方法点拨】本题利用了勾股定理的逆定理来 于点D,E,求AB,EC的长 判定直角三角形.若△ABC的三边长a,b,c 【方法点拨】构造直角三角形，将未知线段和 满足a2十=2，则△ABC是直角三角形. 已知线段转化在同一个直角三角形中，利用 勾股定理，求出结果， 【例4】2023年江津区积极摸排城市建成区 内可利用的建设用地边角地、闲置地，在摸 排中发现，在某住宅建成区有一处闲置地， 城市绿化管理部门决定将其打造成“口袋公 园”.如图，四边形ABCD为该住宅建成区 的一处闲置地，经过测量得知：∠C=90°， 考点2勾股定理及其应用 AB=20 m,AD=15 m,BC=7 m,CD=24 m. 【例2】如图，一个圆柱的底面直径为16cm, (1)连接BD,试求BD的长； 高为18cm,一只小虫从下底面点A处爬到 (2)该块闲置地相关政府部门计划投入24 上底面点B处，求小虫所爬的最短路径长， 万元进行打造，经测算，每平方米打造的 (π取3) 费用为1000元，请你计算说明将这块地 打造成“口袋公园”政府投入的费用是否 8 cm 够用。 【方法点拨】本题考查了圆柱侧面展开图的运 用、两点之间线段最短的运用、勾股定理的运 用，在解答时将圆柱的侧面展开是关键 ·24·