(讲本)第16章 二次根式 专题突破(一) 二次根式的性质及常用的化简求值方法&整合与提升-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

(4)(√/10-√/1Π)225（√10+√1I)2024. 5.已知x=3十√7，y=3-√7，求下列各式的值： (1)x2+y2; (2)Y+工 x y 专题突破（一）二次根式的性质及常用的化简求值方法 A专题概逃 【变式练习】 在有理数中学习的法则、性质、运算律、 1.若a=3十√2，b=3-√2，则a2b-ab= 公式等在二次根式运算中仍然适用，最后结 果要化成最简形式，特别注意化简时要注意 2.已知x=√2-3，y=√2+√3，求代数式 题中隐含条件. √x2+2.xy+y+x-y-4的值， B例题导学 类型1已知字母的值化简求值 【例1】若x=3-1,求x2+2x十1的值. 【方法点拨】本题考查了二次根式的化简求值， 重点掌握二次根式的运算是解题的关键，熟练 运用完全平方公式将二次根式简单化 类型2 已知条件式化简求值 【例3】若xy都是实数，且满足>√2 【例2】先化简，再求值：÷(1-）， 、-+1,试化简代数式：1x一1一 其中x=3+1. 【方法点拨】本题主要考查的是二次根式的 √(x-1)-y-2y+1 y-1 化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法 【方法点拨】先根据二次根式有意义的条件 法则是解题的关键， 求出x,再把x代入求出y的取值范围，最 后进行化简即可. ·11 【变式练习】 4.已知x,y满足x2-4x+4+√y-3=0, 3.若x,y是实数，且y=√4x-1十√-4十 求代数式(3x+y)2-3(3.x-y)(x+y) 3,求（径v9+V4网-(F+V25 (x-3y)(x+3y)的值. 的值. 第十六章整合与提升 A思维导图 ⊙ 定义：形如√a(a>≥0)的式子叫做二次根式 a≥0(a≥0)，(a)2=a(a≥0) 性质 a(a≥0)） Va-lal- 1-a(a<0) 二次根式 √a·√b=√ab(a≥0，b≥0) 计算公式 a=(a0,b>0) 二次根式的乘除 ab=√a·vb(a≥0，b≥>0) 公式的逆用 运算 a=a(a≥0，b>0) 最简二次根式 概念 二次根式的加减 同类二次根式 合并同类二次根式的原则 ·12· B考点突破 【方法点拨】合并被开方数相同的二次根式 考点① 时，根号前的因式可以看作二次根式的系 二次根式的概念及性质 数，只需把系数相加减，这与合并同类项非 【例1】(1)下列式子为最简二次根式的是( 常相似.在运算时注重运算技巧，灵活运用 A.6 B.√g 公式使计算简便. C.√⑧ n√ 考点3 二次根式的化简求值 (②)若式子a有意义，则实数a的取值 【例3刘已知a=2-3,b=2十3，求g-任 2a+2b a-2 的值 范围是 【方法点拨】本题考查了代入求值的方法，此 (3)若x-1-√1-x=(x十y)2,则x-y 类题一般不能直接代入，要先化简再求值， 的值为 【方法点拨】(1)由最简二次根式的定义可得 出正确答案；(2)二次根式的非负性体现在两 个方面：一是被开方数具有非负性；二是算术 平方根具有非负性.由a十1≥0且a一2≠0 可得出结果；(3)由x-1≥0且1-x≥0，且 x十y=0,可得出x,y的值 考点2 二次根式的运算 【例2】计算： 13-2+4图÷23 (2)√5（√5-√/15）+（√15+2√3）（√/15 2√3)： 考点4二次根式的实际应用 3(16,层-2x图)÷3G 【例4】如图，长方形ABCD内，两个小正方 形的面积分别是18,2，则图中阴影部分的面 积为 D 18 A.4 B.9 C.6 D.4√2 【方法点拨】根据两个小正方形的面积分别 是18,2，可以得到两个小正方形的边长，即 可表示出阴影部分的长和宽，然后即可计算 出图中阴影部分的面积 ·13。【例3】解：√而，√而，√+y,-是最简二次根式， -3√30：(3)原式=(60√6-166+2√6)÷2√6=46√6 ab ÷2√6=23.【例2】1)3+2(2)厅-2【例3】解： 瓜，a√后后a+可不是 (1)原式=8-46+3=11-4√6：(2)原式=5-3=2： 最简二次根式。 (3)原式=(5-26)(5+26)=25-24=1：(4)原式 【变式练习】 [W2+1)-3[(W2+1)+√3]=W2+1)2-3=2+2√2+ 1.C2.-1≤x<13.(13(2)-√2(3)3(4)-2√ab 1-3=22 4解式=沿-管-e服大=晨 【变式练习】 /64x =密瓜.5解：(1)原式=(9X号×)× 1.C2解：1)原式=(2-5V同)×6=-号5×6 √45x5x=-3×106=-30：(2)原式 号×6=-：(2)原式=(5-4月÷-3 (-3)÷5-3√2=-3-3√2.3.解：(1)原式= √/1+23+3=√1+23+(W3)=√(1+3)=1+ 方·a'6Vad=-a'bai.6.①⑥7.√-6a 5:(2)原式=√1-22+2=√P-22+(W2)= 8解：1原式=√=(2)原式=√层-√ /(1-2)=√2-1.4.解：(1)原式=1-12+3-2√5+ -V30 1=-7-25:(2)原式=√2×3十√27×号+12-1=9 6 +3+12-1=23:(3)原式=(5-√6+32)(5-√6 16.3二次根式的加减 32)=(3-6)-(3√2)=3-62+6-18=-9 第1课时二次根式的加减 62:(4)原式=[（√10-T)(√/10+√I)]2·(√/10 知识梳理 1.最简被开方数 -√T)=(10-11)(√0-√/T)=0-√/. 例题导学 5.解：x=3+√7，y=3-√7，.x十y=6,xy=2.(1)原式 【倒V和√ 【例2】解：0)原式=45+3-后 =(x+)-2xy=6-2×2=32,(2)原式=y+x= xy 2 99:(2原式=后×5+誓×厅-4反=3厄+厄 =93 =16. 专题突破（一）二次根式的性质及 42=0. 常用的化简求值方法 【变式练习】 例题导学 1kD2.-13.解：1)原式=号++26-= 【例1】解：原式=(x十1)2=(3-1+1)=（√5）=3. +86 ,2)原式=45-√厄-5+22-35+2：(3)原 【例2】解：原式=(x-)(x+D千市一(x-)(x+万 式=62-52-3V+3匹=-匹.4.解 生六当：=6+1时，原式与号 -√+丽=2-E+E=2-2E. 【倒3】解：由题可知，之-≥0且一号≥0，解得x=之 √4+号=a十b，a,6为有理数，a=2,6 将x=2代人求得y>1,则1x-11--1)下 瓜-6=-√=E-号号 2五=1x-11-x-1川-y卫=-y y-1 y-1 y-1 第2课时二次根式的混合运算 =-1 y-1 知识梳理 【变式练习】 1.乘除加减2.a-ba士2√ad+b 1.1422.解："x=E-原，y=2+5,∴x十y=(W2 例题导学 3)+(W2+3)=22,x-y=(W2-5)-(W2+3)=-25 【例1】解：(1)原式=35-32-35=-3√2：(2)原式= 原式=√(x+)+(x-y)-4=√(22)十(-23)-4 (26-3+4)×=4-3vm+85-20 3 √4-25=√5-1.3.解：由题意可知：4x-1≥0,1-4x 参考答案第2页（共55页） ≥0，r=,y=3.原式=(2xE+2)-(x匠+ 第2课时利用勾股定理解决实际问题 例题导学 5√xy=2xWE+2√y-xF-5y=xE-3xy 【例1】解：根据题意可知AB=50m,AC=(BC十10)m.设 -7√T-3√×8-名-5,4解：已知等式整 BC=xm,由勾股定理，得AC=AB十BC,即(x十10)= 50十x2,解得x=120.答：该河的宽度BC为120m. 理，得(x-2)十√y-3=0.(x-2)≥0，y-3≥0， 【例2】解：由折叠的性质，得AF=AD=10cm,DE=EF.在 ∴.(x-2)”=0,√y-3=0,.x-2=0,y-3=0.解得x Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=√AF-AB= 2,y=3..(3x+y)-3(3x-y)(x+y)-(x-3y)(x+ √I0-8=6(cm.:四边形ABCD是长方形，.BC= 3y)=9x2+6xy+y-3(3x+2xy-y)-(x2-9y2)= AD=10cm.∴.CF=BC-BF=10-6=4(cm).设EC= 9x2+6xy+y2-9x-6xy+3y2-x2+9y=-x+13y. xcm,则EF=DE=(8一x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定 当x=2,y=3时，原式=-2+13×3=-4+117=113. 理，得CF十EC=EF,即42十x2=(8一x),解得x=3. 第十六章整合与提升 .EC的长是3cm 考点突破 【变式练习】 【例1】(1)A(2)a≥-1且a≠2(3)2【例2】解：(1)原 L.C2.解：设PD=xcm,则PA=CP=(8-x)cm.在 式=(6厅-9+4同÷25-8÷2万-号2原 R1△PDC中，由勾股定理，得PC=PD十CD,即(8-x) =x2十4，解得x=3..当点P距离点D3cm时，PA= 式=5-55+(15-12)=5-55+3=8-5√5：(3)原式 PC.3. 4.解：(1)由折叠的性质，得DE=CD=√7， =(8匠-2)÷3√x=6(÷3√=2.【例3】解： ∠AED=∠C=90°.在R1△BDE中，由勾股定理，得BE= -a2”-号当a=2-5.6=2+时 2a+2b 2(a+b) √BD=DE区-√4-(W7)=3:(2)由折叠的性质，得AC 原式=2B,2-E=一2E=-B【例4A =AE.设AC=AE=x.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2 AB=AC+BC,即(x+3)2=x2+(4十V万)，解得x= 第十七章勾股定理 4y7+1.AC=47+2 3 17.1勾股定理 3 第3课时勾股定理的作图与计算 第1课时勾股定理 例题导学 知识梳理 【例】解：如图所示。 【例2C 1.a2+6=c2 斜边的平方 例题导学 -101 【例I】解：由题意，得SD=S△DE十S△Da十S△Br, 【变式练习】 ∠DBC=90,(a+ba+b)=之ab+之c+号ah,整 1.B2.C3.5-14.D5.B6.解：(1)(-1,3) 理，得(a十b)2=2ab+c2.∴.a+6+2ab=2ab十c2.∴，a十 (2.0)(-3,-1D(2)5e=4X5-号×4X2-号× =2.【例2】解：(1)∠C=90°，a=12,c=13,∴.由勾 股定理，得b=√/C一a=√13-12=5：(2)设a=2x,b 3×3- ×5×1=9:(3)如图，点P即为所求. =x.,∠C=90°，.(2x)2十x2=25,解得x=5(负值已舍 根据两点间线段最短可知，点P到 去)..b=√5.【例3】B 【变式练习】 LA2.4913 AC BC AB394127.5或60 5.解：(1)，BD平分∠ABC,DE⊥AB∠C=90°，∴.DE= 点A,C的距离之和的最小值为A'C的长度，由勾股定理，得 CD=6.在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AE= A'C=④+4=42. √AD-DE=√/10-6=8：(2)设BC=x,则BE=x, 17.2勾股定理的逆定理 AB=8十x.在R1△ABC中，AC十BC=AB,即162十x 第1课时勾股定理的逆定理 =(8+x,解得x=12.BC=12.Sax=AC·BC 知识梳理 L.(1)相反逆命题(2)正确2.a十6=c3.(2)直角 =号×16×12=96.6.337.168.18 互余4.正整数 参考答案第3页（共55页）