精品解析：海南省万宁市北京师范大学万宁附属中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高三第三次月考 数学试题 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 设复数，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 4. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，，它们的终边分别与单位圆交于点，，设线段的中点的纵坐标为，若，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（ ） A. 80 B. 75 C. 70 D. 65 二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆的圆心到直线的距离为2 B. 直线恒过定点 C. 圆与圆恰有三条公切线 D. 圆与的公共弦所在直线方程为 10. 某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（ ） A. 乙组同学恰好命中2次的概率为 B. 甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 C. 甲组同学命中次数的方差为 D. 乙组同学命中次数的数学期望为 11. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 函数的单调递增区间是_____________. 13. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________． 14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，要求有必要的解答过程） 15. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记，求． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）判断的形状； （2）若，且的面积为，求角． 17. 已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. （1）求的离心率； （2）已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 18. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 19. 函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线的斜率记为. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. （3）盒子中有编号为1-100的100个小球（除编号外无区别），有放回地随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高三第三次月考 数学试题 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 设复数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的乘法运算及共轭复数，即可求解. 【详解】，. 故选：C. 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（ ） A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型分别求出，由可得解. 【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个， 其中事件有，共12个， 事件有，共12个，事件有，共4个基本事件， 所以, 所以，故相互独立， 答选：C 4. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 5. 下列选项中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判断A；根据正切的诱导公式可判断BC，根据正切的和角公式可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D 6. 已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球表面积. 【详解】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 7. 在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，，它们的终边分别与单位圆交于点，，设线段的中点的纵坐标为，若，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由点的坐标可得，结合恒等变换公式化简，然后求解三角函数不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，， 则 ， 由可得，即， 解得， 即， 又，则时，. 故选：B 8. 已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（ ） A. 80 B. 75 C. 70 D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义结合导数可得，结合题意可得，，进而可得，且，即可得结果. 【详解】因为为偶函数，则，求导可得， 因为，， 则，可得， 且，则，可得， 即，可得，可知8为的一个周期， 且， 对于，， 令，可得，，可得， 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆的圆心到直线的距离为2 B. 直线恒过定点 C. 圆与圆恰有三条公切线 D. 圆与的公共弦所在直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由点线距离公式即可得解； 对于B，由直线定点的求法即可求解； 对于C，由几何法证得两圆外切，由此得解； 对于D，由代数法求得两圆公共弦所在直线方程，由此得解. 【详解】对于A，由圆得圆心，所以圆心到直线的距离为，故A错误； 对于B，因为直线，令，则，所以该直线恒过定点，故B正确； 对于C，由圆得，故，； 由圆得，故，； 所以，故圆与圆外切，恰有三条公切线，故C正确； 对于D，由减，得，即，故两圆的公共弦所在直线方程为，故D错误. 故选：BC. 10. 某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（ ） A. 乙组同学恰好命中2次的概率为 B. 甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 C. 甲组同学命中次数的方差为 D. 乙组同学命中次数的数学期望为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用概率乘法和加法公式，可判定A错误；根据独立重复试验的概率公式，可得判定B正确，结合二项分布的方差，可判定C中，由乙组同学命中次数为随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，所以A错误； 对于B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则，因为，所以B正确； 对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，可得，所以C正确； 对于D中，设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为， 所以， ， ， 故，所以D正确. 故选：BCD. 11. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可. 【详解】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得， 又平面，平面，则，又，平面，则平面， 又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD. 三、填空题 12. 函数的单调递增区间是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数“同增异减”的方法即可求函数的单调递增区间，注意函数的定义域. 【详解】由对数函数的定义域可得，解得或， 由于是单调递增函数，所以要求的递增区间， 只需求二次函数的递增区间即可， 由二次函数的性质可得的递增区间为， 结合函数定义域可得的递增区间为， 故答案为：. 13. 盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，由全概率公式计算可得结果. 【详解】记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则； ，；，， . 故答案为：. 14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，要求有必要的解答过程） 15. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将条件转化为的方程组，解方程组，然后再写出通项公式； （2）先判断是以为首项，公比为的等比数列，再利用等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，由题意可知：， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，显然为等比数列，且公比， 设，因为， 所以数列是以首项，公比为的等比数列， 所以. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）判断的形状； （2）若，且的面积为，求角． 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合正弦定理边角互化可得答案； （2）设c，b为x，由图及勾股定理可得x，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理， ， 因，则，，则为等腰三角形； 【小问2详解】 由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x， 则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为， 则，即为等边三角形，则角为. 17. 已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上，当时，. （1）求的离心率； （2）已知，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若，求的面积. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出时的坐标，根据，列出关于的齐次等式，即可求离心率； （2）先求出双曲线方程与渐近线方程，通过找出坐标之间关系，用坐标表示的坐标，代入双曲线方程得到，再用表示出的面积，整体代入即可. 【小问1详解】 设，将代入双曲线方程得，此时， 所以，即，， 则，所以（负值舍去）， 故的离心率为2. 【小问2详解】 因为，由（1）知， 双曲线方程为：，渐近线方程为， 设， 则， 所以， 又在双曲线上，所以，整理得：， 由渐近线方程为得， 所以的面积为 . 18. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 19. 函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线的斜率记为. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. （3）盒子中有编号为1-100的100个小球（除编号外无区别），有放回地随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为，求证：. 【答案】（1）递增区间为：和，递减区间为： （2）（ⅰ） （ⅱ）证明： 由题知， 所以要证明，只需证明，即证， 不妨设，即证. 设，函数，， ∴函数在上单调递增，，成立，原不等式得证. （3）证明： 由题知：，，. 由（2）（ⅱ）知时，. 取，则，即，，即，. 【解析】 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）借助斜率公式表示出后化简，可转化为证明，借助换元法令，构造函数，根据导数研究函数单调性即可求解； （3）借助概率公式及放缩法可得，结合（2）中所得单调性即可得证. 【小问1详解】 当时，函数，∴函数的定义域为， . 令，解得或；令，解得. 的递增区间为：和，递减区间为：. 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为，. 令得. ∵函数有两个极值点，， ∴方程在上有两个不等的实数根， ，解得. 故实数的取值范围为. （ⅱ）略； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，关键在于构造合适的函数，求导研究单调性.第（2）（ⅱ）问关键在于通过换元法令，构造函数，根据导数研究函数单调性即可求解；第（3）问解题关键在于得出后，借助（2）问中所得单调性，取，代入即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $