第03讲 图形的旋转 （4大知识点+8大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（苏科版）

第03讲 图形的旋转 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.经历观察﹑操作﹑欣赏理解图形旋转的概念。 2.理解图形旋转的性质。 3.会画旋转图形并会找出对应点﹑对应线段﹑对应角。 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2） 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　 （3） 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 题型一、 图形的旋转 考点1、找旋转中心、旋转角、对应点 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转某个角度后得到，其中点A，B，C的对应点是点，，，那么旋转中心是（　　） A．点Q B．点P C．点N D．点M 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ． 3．（22-23八年级下·江苏·周测）如图，通过旋转可以使其与重合 (1)仅用无刻度直尺确定旋转中心M（保留作图痕迹），并写出旋转，使其与重合的过程． (2)若F、A的坐标分别为，，则旋转中心的坐标为 考点2、判断生活中的旋转现象 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列运动属于数学上的旋转的有（    ）． A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车 C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 5．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 考点3、画旋转图形 6．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标为、、．    (1)将向右平移5个单位后点B的对应点坐标为 ； (2)请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点C的对应点坐标 ； (3)若将点A绕点C旋转，请直接写出点A的对应点的坐标 ． 考点4、根据旋转的性质求解 8．（21-22八年级下·江苏淮安·期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在边上．若，则的度数为 ． 10．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，将绕点按顺时针旋转，得到，求的长度． 考点5、根据旋转的性质说明线段或角相等 11．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 13．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 考点6、旋转对称图形的识别 14．（21-22八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．顺时针旋转 C．逆时针旋转 D．逆时针旋转 15．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 考点7、求绕原点旋转90度的点的坐标 16．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，动2023秒后点D的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）将一次函数的图象绕原点O逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，、、． (1)以点C为旋转中心，将逆时针旋转， 画出旋转后的图形； (2)直接写出两点的坐标为______，______； (3)为轴上一点，当最大时，的坐标是_______． 考点8、坐标与旋转规律问题 19．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是(    ) A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 21．（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小 B．平移和旋转都不改变图形的形状和大小 C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离 D．在平移和旋转图形的过程中，对应角相等，对应线段相等且平行 2．如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是(      )    A．A B．B C．C D．D 3．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕点B按逆时针方向旋转90°，则旋转后点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．将绕点B按逆时针方向旋转到的位置，斜边和相交于点F，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点顺时针旋转角，得到，此时点，点，点在一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A．79° B．80° C．78° D．81° 6．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 7．如图，将点M绕点O顺时针旋转90°得到点N，则点N在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m为（ ） A．70° B．70°或120° C．120° D．80° 9．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接PQ，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（   ） A．沿AE所在直线折叠后，△ACE和△ADE重合 B．沿AD所在直线折叠后，△ADB和△ADE重合 C．以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90°后与△ADB重合 D．以A为旋转中心，把△ACB逆时针旋转270°后与△DAC重合 二、填空题 11．如图，把以点S为中心逆时针旋转得到，已知，，则 ． 12．如图所示，把一个直角三角尺绕角的顶点顺时计旋转，使得点落在的延长线上的点处，则的度数为 ． 13．如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB绕点O旋转150°得到△OA′B′，则点A′的坐标为 14．线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，线段与轴的夹角为，现将线段绕点旋转，得到线段，则点的坐标为 ． 15．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的度数为 ． 16．如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向作无滑动的连续反转，点P依次落在点、、…的位置，则点的坐标为 ． 17．已知：如图，在平面上将绕点旋转到的位置时，，则为 度 18．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题 19．（1）化简： （2）如图，在中，，，，将绕着点B顺时针旋转90°至处，连结FC，求FC的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)作关于轴对称的； (3)_______． 21．如图，在和中，．    (1)当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； (2)将图①中的绕点A顺时针旋转，如图②，线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 22．在中，，． (1)如图1，点在边上，且．求的值； (2)如图2，点在的外部，且．求证：； (3)若是平面内一点，且，，请直接写出的值为______． 23．已知，在四边形中，，连接． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，若，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若点P是射线上一动点，连接．将线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，若，请直接写出的最小值． 24．综合与实践 (1)观察理解：如图，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（    ）；（请填写全等判定的方法） (2)理解应用：如图，且，且，利用（）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积　 　； (3)类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积； (4)拓展提升：如图，点，在的边，上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角，已知，，求证：． 25．（一）问题探究 已知：在锐角中，，把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接． （1）如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）； （2）如图②，当时， ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长； （二）解决问题 如图③，在四边形中，，，，请直接写出线段的长．（不说理由） 26．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 图形的旋转 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.经历观察﹑操作﹑欣赏理解图形旋转的概念。 2.理解图形旋转的性质。 3.会画旋转图形并会找出对应点﹑对应线段﹑对应角。 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2） 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　 （3） 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 题型一、 图形的旋转 考点1、找旋转中心、旋转角、对应点 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转某个角度后得到，其中点A，B，C的对应点是点，，，那么旋转中心是（　　） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】C 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了图形的旋转，可由旋转的性质确定旋转前后两个图形的旋转中心，灵活应用旋转的性质是解题的关键．由图形绕某点旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等）可知旋转中心．或根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上解答． 【详解】解：方法一：点A的对应点是点，由图像可得，根据旋转的性质可知点M、P、Q都不是旋转中心，只有，且，所以点N是旋转中心． 方法二：如图，N点为旋转中心． 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段绕某个点旋转一定角度得到线段，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ． 【答案】H 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键． 根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，进而求解即可． 【详解】根据网格结构作、的垂直平分线，交点为H，所以旋转中心一定是H点． 故答案为：H． 3．（22-23八年级下·江苏·周测）如图，通过旋转可以使其与重合 (1)仅用无刻度直尺确定旋转中心M（保留作图痕迹），并写出旋转，使其与重合的过程． (2)若F、A的坐标分别为，，则旋转中心的坐标为 【答案】(1)图见解析，绕点M顺时针旋转与重合； (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】（1）连接，利用网格分别作线段的垂直平分线，交点即为旋转中心；由图以及旋转的性质可得答案； （2）根据点F和A的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求． 绕点M顺时针旋转与重合； （2）解：建立平面直角坐标系如图所示， 则旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 考点2、判断生活中的旋转现象 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列运动属于数学上的旋转的有（    ）． A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车 C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 【答案】A 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项符合题意； B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项不符合题意； C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项不符合题意； D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确把握定义是解题关键． 5．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 【答案】689 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 考点3、画旋转图形 6．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画旋转图形 【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可． 【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意； B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意； C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意； D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标为、、．    (1)将向右平移5个单位后点B的对应点坐标为 ； (2)请画出关于坐标原点O的中心对称图形，并写出点C的对应点坐标 ； (3)若将点A绕点C旋转，请直接写出点A的对应点的坐标 ． 【答案】(1) (2)见解析， (3)或 【知识点】画旋转图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，以及中心对称： （1）根据平移方式可以得出的对应点即可． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据旋转的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴向右平移5个单位后点B的对应点坐标为，即 故答案为： （2）解：如图，    点坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，点即为所作，    点的坐标为或， 故答案为：或 考点4、根据旋转的性质求解 8．（21-22八年级下·江苏淮安·期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ， ， 故选：B． 9．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在边上．若，则的度数为 ． 【答案】/59度 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，，将绕点按顺时针旋转，得到，求的长度． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，证明是等边三角形是解题的关键．先根据勾股定理求出，由旋转的性质可得，，由此可证明是等边三角形，则． 【详解】解：中，，，， ， 将绕点按顺时针旋转，得到， ，， 是等边三角形， ． 考点5、根据旋转的性质说明线段或角相等 11．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】由旋转的性质可得，，，由等边对等角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转，等腰三角形，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，是解题的关键． 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 【答案】/62度 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 【答案】①；②，，；③ 【知识点】根据旋转的性质求解、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题主要考查了作图旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段扫过面积的基础，此题难度不大．利用旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转不改变图形的形状及大小得：①； 根据旋转不改变线段的长短得：②，，； 根据旋转角相等可得：③． 考点6、旋转对称图形的识别 14．（21-22八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．顺时针旋转 C．逆时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【知识点】旋转对称图形的识别 【分析】由正方形的性质得到∠COD=∠DOA=90°， OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为90°，据此可得答案． 【详解】解∶∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA， ∴△COD绕点O逆时针旋转90°得到△DOA， 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，旋转时找出旋转中心、旋转方向、旋转角是解决问题的关键． 15．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 【答案】(1)，E， (2) (3)25 【知识点】全等三角形综合问题、旋转对称图形的识别 【分析】（1）通过证明即可得到可以由绕点E旋转后得到； （2）根据（1）可直接得到答案； （3）利用可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， , ∴（AAS）， ∴可以由绕点E旋转后得到， 故答案为：，E，； （2）解：由（1）可知 故答案为：； （3）解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式运用以及中心对称的知识，解题的关键证得． 考点7、求绕原点旋转90度的点的坐标 16．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为．将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，动2023秒后点D的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2023秒后点D的位置是解题的关键．先确定此时点D对应的位置即点所在的位置，如图，过点D，分别作轴于点E，轴于点F，证明，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴旋转4秒恰好旋转． ∵， ∴旋转2023秒，即点D旋转了505圈后，又旋转了3次． ∵， ∴此时点D对应的位置即点 所在的位置， 如图．过点D，分别作轴于点E，轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∵点D的坐标为， ∴． 又点在第二象限， ∴旋转2023秒后，点D的坐标为． 故选B． 17．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）将一次函数的图象绕原点O逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：在一次函数中， 令，则，令，则， ∴直线经过点，， 将一次函数的图象绕点O逆时针旋转， 则的对应点为，的对应点为， 设对应的函数解析式为：， 将点，代入得： ，解得， ∴旋转后对应的函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握旋转的性质是解题的关键． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，、、． (1)以点C为旋转中心，将逆时针旋转， 画出旋转后的图形； (2)直接写出两点的坐标为______，______； (3)为轴上一点，当最大时，的坐标是_______． 【答案】(1)见解析； (2)、； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查作图一旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. （1）分别作出的对应点即可； （2）依据图象直接写出的坐标即可； （3）直线交轴于，点即为所求作，求出直线的解析式，可得结论. 【详解】（1）如图, 即为所求作. （2）观察图象可知， 的坐标为的坐标为( 故答案为： （3）直线交轴于，点即为所求作. 设直线的解析式为代入得： 解得： ∴直线的解析式为 当时, 故答案为： 考点8、坐标与旋转规律问题 19．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与旋转规律问题、坐标与图形 【分析】本题考查了图形的旋转，借助格点，将旋转得到，再结合网格图即可作答． 【详解】解：如图所示，点的对应点的坐标是， 故选：B． 20．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查旋转的知识，点坐标规律问题，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 根据矩形的性质作出旋转后的图形，找到C点的坐标规律即可． 【详解】解：将矩形绕点A逆时针旋转，如图    可知：，，，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵， 即：第2026次旋转结束时，完成了506次循环，又旋转了2次， ∴当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是． 故答案为：． 21．（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题 【分析】（1）分别连接AA1，BB1，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O； （2）根据图形写出2条不同类型的结论； （3）与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于F，求出BD和PD，知道求出，得到和点D，算出OF，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，点即为所求． （2）如图； ①， ② （3）解：如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于， ∵点在上， ∴点到、的距离相等，都是， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， 由勾股定理得，， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换以及勾股定理的应用，解答本题的关键是找出旋转中心． 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小 B．平移和旋转都不改变图形的形状和大小 C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离 D．在平移和旋转图形的过程中，对应角相等，对应线段相等且平行 【答案】B 【知识点】旋转的性质及辨析、利用平移的性质求解 【详解】解：A. 平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故错误； B. 平移和旋转的共同点是改变图形的位置，而图形的形状大小没有变化，故正确； C. 图形可以向某方向平移一定距离，而旋转是围绕中心做圆周运动，故错误； D. 在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行，故错误. 故选B. 2．如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是(      )    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【知识点】利用旋转设计图案 【详解】解：A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到． B、不能作为“基本图案”． C、旋转180度，即可得到． D、旋转60度即可． 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的旋转变化，认真观察旋转得到的图案，找到旋转中心，即可判断． 3．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，现将绕点B按逆时针方向旋转90°，则旋转后点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】由题意直接利用网格特点和旋转的性质画出绕点B逆时针旋转90°后的图形，然后写出旋转后点A的坐标． 【详解】解：如图所示，绕点B按逆时针方向旋转90°得到，则旋转后点A的坐标是， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确画出旋转后的图形是解题的关键． 4．将绕点B按逆时针方向旋转到的位置，斜边和相交于点F，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质 【分析】由旋转的性质可得∠C=∠D，∠DBC=28°，由外角的性质可求解． 【详解】解：如图，设DE和BC的交点为H， ∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转28°到△EBD的位置， ∴∠C=∠D，∠DBC=28°， 又∵∠DHC=∠C+∠DFC=∠D+∠DBC， ∴∠DBC=∠DFC=28°， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 5．如图，将绕点顺时针旋转角，得到，此时点，点，点在一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A．79° B．80° C．78° D．81° 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质可知，用180°减去的度数再除以2即可求出旋转角的度数． 【详解】∵绕点顺时针旋转角，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练地掌握对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角是解题的关键． 6．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 7．如图，将点M绕点O顺时针旋转90°得到点N，则点N在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、判断点所在的象限 【分析】根据旋转的性质可得结论． 【详解】解：∵点M在第四象限， ∴将点M绕点O顺时针旋转得到点N，则点N在第三象限， 故选：C 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及坐标与位置，正确理解旋转的性质是解答本题的关键． 8．如图，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m为（ ） A．70° B．70°或120° C．120° D．80° 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB=DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，根据∠C=90°，DB2=DB=2CD可以判定∠CB2D=30°，由此即可解决问题． 【详解】①当点B落在AB边上时， ∵DB=DB1， ∴∠B=∠DB1B=55°， ∴m=∠BDB1=180°-2×55°=70°， ②当点B落在AC上时， 在RT△DCB2中，∵∠C=90°，DB2=DB=2CD， ∴∠CB2D=30°， ∴m=∠C+∠CB2D=120°， 故选B． 9．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接PQ，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、判断三边能否构成直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】根据旋转的性质和等边三角形的判定定理得出是等边三角形，即可得，再根据勾股定理的逆定理得出，继而得到的度数，根据三角形的面积公式判断和即可． 【详解】是等边三角形， ， 将绕点B顺时针旋转得到， ，旋转角为，故选项A正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， 是直角三角形， ， ， 由旋转得，故选项B正确； ，故选项D正确； 是等边三角形， ，故选项C错误； 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识点，解题的关键是熟知旋转的性质，综合运用定理进行推理． 10．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（   ） A．沿AE所在直线折叠后，△ACE和△ADE重合 B．沿AD所在直线折叠后，△ADB和△ADE重合 C．以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90°后与△ADB重合 D．以A为旋转中心，把△ACB逆时针旋转270°后与△DAC重合 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、根据旋转的性质求解、折叠问题、全等三角形综合问题 【详解】解：A、由于△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°， 则AD=AC，∠BAC=45°，于是∠EAD=135°，∠CAE=135°， 所以△ACE≌△ADE，所以A选项的结论正确； B、由于△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°， 则AB=AE，∠BAC=45°，于是∠BAD=135°，∠DAE=135°， 所以△ADB≌△ADE，所以B选项的结论正确； C、由A、B选项得到∠CAD=90°，∠BAE=90°，AB=AE，AD=AC， 所以以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90°后与△ADB重合， 所以C选项的结论正确； D、由于四边形ABCD是平行四边形，则△ACB与△DAC为全等的等腰直角三角形， △ACB与△DAC只能经过翻折和平移才能重合，所以D选项的结论错误． 故选D． 二、填空题 11．如图，把以点S为中心逆时针旋转得到，已知，，则 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】根据旋转的性质得到，结合已知依据三角形内角和可求解． 【详解】解：由旋转可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形内角和定理；解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 12．如图所示，把一个直角三角尺绕角的顶点顺时计旋转，使得点落在的延长线上的点处，则的度数为 ． 【答案】/15度 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BCD的度数． 【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD， 则△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°-∠DBE=180°-30°=150°， ∠BCD=（180°-∠CBD）=15°． 故答案为15°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题时根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可． 13．如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB绕点O旋转150°得到△OA′B′，则点A′的坐标为 【答案】(0，-4)或(，) 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标、含30度角的直角三角形 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AOB=60°，然后分①顺时针旋转，点A′在y轴负半轴，根据OA′的长度写出点A′的坐标即可；②逆时针旋转时，求出OA′与x轴负半轴夹角为30°，过点A′作A′C⊥x轴于C，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出A′C，再利用勾股定理列式求出OC，然后写出点A′的坐标即可． 【详解】解：∵∠ABO=90°，∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ①若是顺时针旋150°，如图，点A′在y轴负半轴， 则OA′=OA=4， 所以，点A′的坐标为（0，-4）； ②若是逆时针旋转150°，如图， ∵旋转角为150°， ∴OA′与x轴负半轴夹角为30°， 过点A′作A′C⊥x轴于C， 则A′C=OA′=×4=2， 由勾股定理得，OC， 所以，点A′的坐标为(，)， 综上所述，点A′的坐标为(0，-4)或(，)． 故答案为：(0，-4)或(，)． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化－旋转，主要利用了直角三角形两锐角互余，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理，难点在于分情况讨论． 14．线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，线段与轴的夹角为，现将线段绕点旋转，得到线段，则点的坐标为 ． 【答案】或/或 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、坐标与图形 【分析】当线段绕点O逆时针旋转时，得到线段，点在y轴上，，可得点的坐标为；当线段绕点O顺时针旋转30°时，得到线段，过点作轴于点B，此时，则，则点点的坐标为，进而可得答案． 【详解】解：当线段绕点O逆时针旋转时，得到线段， ∵线段与x轴的夹角为， ∴点在y轴上， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当线段绕点O顺时针旋转30°时，得到线段， 过点作轴于点B， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 15．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据旋转的性质可得，，然后根据得出，根据三角形外角的性质可得结果． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据旋转的性质得出相应的边和角相等是解本题的关键． 16．如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向作无滑动的连续反转，点P依次落在点、、…的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键．根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可． 【详解】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是 依此类推下去，、的横坐标是2023，纵坐标是0， 的坐标是， 故答案为：． 17．已知：如图，在平面上将绕点旋转到的位置时，，则为 度 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】此题结合旋转前后的两个图形全等的性质以及平行线的性质，进行计算． 【详解】解：∵AA′∥BC， ∴∠A′AB=∠ABC=70°． ∵BA′=AB， ∴∠BA′A=∠BAA′=70°， ∴∠ABA′=40°， 又∵∠A′BA+∠ABC'=∠CBC'+∠ABC'， ∴∠CBC′=∠ABA′， 即可得出∠CBC'=40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查旋转的性质以及平行线的性质． 18．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ． 【答案】25 【知识点】根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】过A作于D，根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解． 【详解】解：过A作于D，如图： 在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 故答案为：25． 【点睛】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 三、解答题 19．（1）化简： （2）如图，在中，，，，将绕着点B顺时针旋转90°至处，连结FC，求FC的长． 【答案】（1）（2） 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、用勾股定理解三角形、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）先将分式进行化简、二次根式进行平方运算，然后再合并同类项即可得解； （2）先利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出是一个等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出斜边长． 【详解】解：（1） （2）∵在中，，， ∴ ∵绕着点B顺时针旋转90°至处 ∴， ∴在中， 故答案是：（1）（2） 【点睛】本题考查了代数式的化简、勾股定理以及旋转变换的相关性质，难度都不大，属中等题目，认真审题即可． 20．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)作关于轴对称的； (3)_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)45 【知识点】根据旋转的性质求解、画旋转图形、画轴对称图形 【分析】本题主要考查旋转作图和轴对称作图： （1）根据旋转的性质得出对应点，然后再顺次连接即可得出； （2）分别作出点D，E，F三点关于轴对称的点再顺次连接即可作出； （3）由可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）由（1）（2）知， 又， ∴， ∴， 故答案为：45 21．如图，在和中，．    (1)当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； (2)将图①中的绕点A顺时针旋转，如图②，线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)，，证明见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）延长与交于点F，证出，可得，且，即可解答； （2）延长交于点F，交于点H，可以证明，可得，利用三角形的内角和为，即可得到最终结果； 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中准确作出辅助线求证三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图①，延长与交于点F    在和中， ，，， ， ，， ， ， ， ， ； （2）， 理由如下： ， ， 即 ， 在和中， ，，， ， ，． 如图②，延长交于点F，交于点H．    在和中， ，， ， ． 22．在中，，． (1)如图1，点在边上，且．求的值； (2)如图2，点在的外部，且．求证：； (3)若是平面内一点，且，，请直接写出的值为______． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由角的数量关系可求，，由直角三角形的性质可得，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转，得到，过点作于，由等腰三角形的性质可求，由“”可证，可得，，由角的数量关系可证，可证； （3）分两种情况讨论，由旋转的性质可得，，，，，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，过点作于， ，， ， ， ，，， ， ， ， 又，， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，当点在内时，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，， ， 将绕点顺时针旋转，得到， ，，，，， ，， ，， ，， ， ； 如图4，当点在外时，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，， ， 将绕点顺时针旋转，得到， ，，，，， ，， ，， ， ， ， 综上所述：或， 故答案为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加辅助线． 23．已知，在四边形中，，连接． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，若，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若点P是射线上一动点，连接．将线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，若，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值是 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短， （1）过点C作于点M，则，根据得，在中，，根据勾股定理得，，计算得，即可得； （2）延长得到E，使，连接，根据，平分得，则是等边三角形，，，即可得，根据，得，利用可证明，则，根据，即可得； （3）由（2）知，，根据线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为的，根据点P是射线上一动点得时，最小，根据得，则，即可得； 掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点M， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴，， ∴； （2）证明：如图所示，延长得到E，使，连接，    ∵，平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知，， ∵线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为， ∴， ∵点P是射线上一动点， ∴时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 24．综合与实践 (1)观察理解：如图，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（    ）；（请填写全等判定的方法） (2)理解应用：如图，且，且，利用（）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积　 　； (3)类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积； (4)拓展提升：如图，点，在的边，上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角，已知，，求证：． 【答案】(1)； (2)． (3)； (4)见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是构造全等三角形解决问题． （1）根据证明即可； （2）利用（1）中的结论，，利用面积差求的值； （3）如图3，过作于，构造全等三角形即可求解； （4）根据证明三角形全等，即可解答； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， 在和中， ， 故答案为∶； （2）解：过点、、分别作，，垂足为、、， 由（）得∶ 故答案为：． （3）解：如图，过作于， 由旋转得∶， 由（）可知， ； （4）解：如图， 在和中， ， 25．（一）问题探究 已知：在锐角中，，把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接． （1）如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）； （2）如图②，当时， ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长； （二）解决问题 如图③，在四边形中，，，，请直接写出线段的长．（不说理由） 【答案】（1）；（2）①，理由见详解；②；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，，从而证明，即得答案； （2）①类似（1）的证明，即可证得答案；②根据勾股定理可求得的长，根据①中的全等三角形及等腰三角形的性质，可得，最后由勾股定理即可求得答案； （3）过点作，交的延长线于点，先根据等腰三角形的判定与性质，分别求出与的长，再证明，即得的长． 【详解】解：（1）∵把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①，理由如下： ∵把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 【答案】问题探究：见详解 类比探究：秒或秒或秒 问题拓展：不变， 【知识点】根据旋转的性质求解、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角分线的定义、旋转的性质、角度的加减等知识，由图和正确分类讨论是解题的关键． 问题探究：利用已知条件，旋转的性质和角平分线定义即可得出答案； 类比探究：由分类讨论和旋转的性质，结合题意即可得出答案； 问题拓展：通过设未知数，并根据角的和与差的运算消去未知数即可得出答案． 【详解】解： 问题探究：由题意可知， 、、组成的图形为“角分图形”； 类比探究： 当射线在中间时 此时位于上方，且 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 综上所述，秒或秒或秒； 问题拓展： 不变，差值为 设， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$