6.5一次函数与二元一次方程教案2024-2025学年苏科版数学八年级上册

《一次函数与二元一次方程》教学设计 教学目标： 1. 理解一次函数与二元一次方程的关系。 2. 理解一次函数与二元一次方程组的关系，学会从一次函数图像中读出二元一次方程组的解。 3. 掌握一次函数与二元一次方程组3种特殊关系。 4. 体会平面直角坐标系在解决实际问题的作用，培养数学学习兴趣。 教学重点： 探索一次函数与二元一次方程（组）的关系 教学难点： 综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。 教学准备： 1. 布置学生预习 2. 准备PPT 板书设计： 一次函数与二元一次方程 1.方程与函数的联系 二元一次方程的解（点）组成的图像 相应的一次函数的图像（直线） 2.方程组与函数的联系 转化 二元一次方程组的解 直线交点坐标 唯一解 相交 无解 平行 无数解 重合 作业设计： 1. 完成课后习题和对应的《学业测评》 教学后记： 教学过程： 一、导入新课 简单回顾二元一次方程、二元一次方程组和一次函数的相关内容，引出二元一次方程与一次函数有密切的联系。 二、新知探究 活动1：方程 x+y=5的解有多少个？写出其中几个，并在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，你会有什么发现？ 答：解出，，，，， 等答案。 将点连起来发现是一条直线。 思考： （1）在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y=5-x图像上吗？是如何判断的？ 答：在。如果要判断一个点，在一次函数Y=5-X 这个图像上，那么就要判断这个点，它的横坐标和纵坐标是否满足Y =5-X，因为这些点都是由方程X +Y =5得来的，所以这些点满足X +Y=5，所以在图像Y=5-X上。 （2）在一次函数 y=5-x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5吗？ 答：因为我们很难精确的求出这一点的坐标，我们可以设这点坐标为（a,5-a），如果带入它满足X +Y =5的话，则说明它符合方程X +Y =5。 由此引导学生发现二元一次方程与一次函数的关系： 从代数的角度来看，X +Y =5这个表达式和Y =5-X 这个表达式所表示的关系是一样的，从几何的角度，方程的解的坐标对应的点和一次函数图像上的点就是一一对应的，把这些解对应的点全部画出来构成的图像是一条直线，这条直线和一次函数y=5-x的图像重合。 结论： 一般地，一次函数 y=kx+b 的图像上的点的坐标都是二元一次方程 kx-y+b=0 的解；以二元一次方程 kx-y+b=0 的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b 的图像上。 活动2：给你一个二元一次方程组，你能提出什么问题？或者有什么新的认识？ 引导学生分别从代数和几何的角度考虑问题，小组合作完成解方程和画一次函数图像，分享讨论结果。 答：解方程得到结果是X =2，Y =3，通过画图，我们发现直线Y =5-X 和直线Y =2X -1所对应的直线，它的交点也为（2,3）。 由此得出结论： 结论： 一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。 三、知识应用 例1：已知方程组，的解是，那么直线 y=3x-3 与 y=-x+3 的交点坐标是 。 目的是练习已知方程组的解求交点坐标——交点坐标就是方程的解。 拓展：如果没有给方程组的解——联立方程组求解。 例2：如图已知直线 y=mx 与y=kx+3 的交点坐标为P（1,2）。 1 试确定方程组的解。 2 试确定方程组的解。 练习已知交点坐标求方程组的解，分别用代数法和图像法求解。图像法：直接由交点左边得方程组的解为x=1,y=2。代数法：将P带入y=mk,y=k+3中，求出m=2，k=-1，带入方程组，再联立两个解析式求解。第二问视情况而定，可留作思考题。第二问也可用两种方法，在第一问的基础上平移，求交点得结果，或用代数法求解。 解：①由点P（1,2）可知，原方程的解是 ②原方程的解是 四、思考延伸（3种特殊情况） 1.方程组 解的情况如何？你是怎么考虑的？ 答：用消元法得到0=4，上式不成立，所以方程无解。画图可知，对应的两条直线平行。 引导学生：用两种方法：一种是从代数的角度，一种是从图像的角度，都得出这个方程组无解。由此得到方程组无解对应的直线平行。 2. 方程组解的情况如何？你是怎么考虑的？ 答：用消元法和图像法同时求解，得出0=0恒成立，所以有无数多个解，画出来的图像重合。 结论： 一般地，对于二元一次方程组的解而言： 如果只有唯一的解，则相应的直线之间的位置关系是相交； 如果方程组无解，相应的直线的位置关系是平行的。 如果方程组有无数解，相应的直线的位置关系是重合的。 五、课堂小结 通过将二元一次方程的解为坐标的点，画在了直角坐标系中，进而得到一次函数图像上的点与方程的解是一一对应的关系，进而研究了方程组的解与相应直线交点之间坐标的关系，我们要求一个方程组的解就是去求相应直线的交点坐标，反过来，要求交点坐标就是求方程组的解。这就是我们常说的数形结合的思想方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$