6.5 一次函数与二元一次方程-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

6)d=(10+8+10)-2×6,解得d= 1.当点Q 在DC上时,2x+x=(10+ 8+10)-25,解得x=1.当点Q 出发 17s时,点P 到达点D,停止运动,点 Q 还需运动2s,即共运动19s时,可 使P、Q 这两点在运动路线上相距的 路程为25cm.综上所述,x 的值为 1或19. 6.5　一次函数与二元 一次方程 1. A 2. A 3. y=-2x 4. x=2, y=4 5. (1) 设直线l1 对应的函数表达式 为y=kx+b. ∵ 直线l1经过点(0,3)、(1,0), ∴ b=3, k+b=0, 解得 k=-3 , b=3. ∴ 直线l1 对应的函数表达式 为 y=-3x+3. 同理,可得直线l2对应的函数表达式 为y=x-2. (2) 点P 的坐标可看成是二元一次方 程组 y=-3x+3, y=x-2 的解. (3) 由题意,得A(0,3)、B(0,-2), ∴ AB=5. 联立 y=-3x+3, y=x-2, 解得 x=54 , y=- 3 4. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ P 54 ,-34 . ∴ S△APB= 1 2AB ·|xP|= 1 2×5× 5 4= 25 8. 6. B 7. C [解析] 由y= 2 3x+2 ,可得 B(-3,0)、C(0,2),∴ BO=3,OC= 2.∵ 3S△ABO=S△BOC,∴ 3×12×3× |yA|= 1 2×3×2 ,解得yA=± 2 3. 又 ∵ 点A 在第二象限,∴ yA= 2 3. 当 y= 2 3 时,2 3= 2 3x+2 ,解得x= -2.∴ 方程组 kx-y=0, 2x-3y=-6 的解为 x=-2, y= 2 3. 8. (-1,5) 9. -5 [解 析] 解 方 程 组 y=x-2, y=-x+4, 得 x=3, y=1. ∴ 直线y= x-2与y=-x+4的交点坐标为 (3,1).把(3,1)代入y=2x+b,得 2×3+b=1,解得b=-5. 10. 6 [解析] 把x=2代入kx-2= 2x+k,可得2k-2=4+k,解得 k=6. 11. (1) 把P(1,b)代入y=x+1,得 b=1+1=2. (2) 由(1),得P(1,2), ∴ 方程组 y=x+1, y=mx+n 的解为 x=1, y=2. (3) 直线l3:y=nx+m 也经过点P. 理由:∵ 直线y=mx+n 经过点 P(1,2), ∴ m+n=2. 在y=nx+m 中,当x=1时,y=n+ m=2. ∴ 直线l3:y=nx+m 也经过点P. 12. (1) ∵ 点P(1,b)在直线l1:y= 2x+1上, ∴ b=2×1+1=3. ∴ 点P 的坐标为(1,3). ∵ 点P(1,3)在直线l2:y=mx+ 4上, ∴ m+4=3. ∴ m=-1. (2) 当x=a 时,yC=2a+1,yD= -a+4. ∵ CD=2, ∴ |2a+1-(-a+4)|=2, 解得a=13 或a=53. ∴ a的值为13 或5 3. 13. (1) 将x=-2代入y=-x,得 y=2, ∴ 点A 的坐标为(-2,2). 将A(-2,2)代入y=2x+m,得2× (-2)+m=2, ∴ m=6. ∴ 一次函数的表达式为y=2x+6. (2) ∵ 正比例函数y=-x的图像与 一次函数y=2x+m 的图像交于点 A(-2,2), ∴ 方 程 组 x+y=0, -2x+y=m 的 解 是 x=-2, y=2. (3) 存在. 设直线y=2x+6与y 轴的交点 为C,与x 轴的交点为D,则易得 C(0,6)、D(-3,0). ∵ A(-2,2), ∴ S△AOC= 1 2×6×2=6 ,S△AOD= 1 2×3×2=3. 当点B 在第三象限时, S△AOB =S△AOD +S△BOD =9,则 S△BOD=6. 设点B 的纵坐标为n. ∴ S△BOD= 1 2×3× (-n)=6. ∴ n=-4,即点B 的纵坐标是-4. 把y= -4 代 入 y=2x+6,得 x=-5, ∴ B(-5,-4). 当点B 在第一象限时, S△AOB =S△AOC +S△BOC =9,则 S△BOC=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75 设点B 的横坐标为a. ∴ S△BOC= 1 2×6×a=3. ∴ a=1,即点B 的横坐标是1. 把x=1代入y=2x+6,得y=8, ∴ B(1,8). 综上所述,点B 的坐标为(1,8)或 (-5,-4). 6.6　一次函数、一元一次 方程和一元一次不等式 1. A 2. C 3. x<-1 4. x<-2 5. 如图所示. (1) 由图像,知当x=-3时,y=0, ∴ 方程2x+6=0的解为x=-3. (2) 由图像,知当x>-1时,y>4, ∴ 不 等 式 2x+6>4 的 解 集 为 x>-1. (3) 由图像,知当-2≤y≤2时,x 的 取值范围是-4≤x≤-2. (第5题) 6. A 7. A [解析] ∵ 一次函数y1=kx+ b 的 图 像 位 于 第 一、二、四 象 限, ∴ k<0,b>0.∴ ①③正确.∵ 一次 函数y2=x+a的图像与y轴的交点 在x 轴下方,∴ a<0.∴ ②错误. ∵ 一次函数y1=kx+b与y2=x+a 的图像的交点的横坐标为3,∴ 当 x=3时,kx+b=x+a.∴ ④正确. 综上所述,错误的有1个. 8. D [解析] ∵ 关于x的方程kx+ b=3的解为x=7,∴ 当x=7时, y=kx+b=3.∴ 直线y=kx+b一 定过点(7,3). 9. 2<x<3 10. x>2 [解析] ∵ 函数y=-4x 与y=kx+b 的 图 像 相 交 于 点 A(m,-8),∴ -4m=-8,解得m= 2.∴ 点A 的坐标为(2,-8).∵ 不等 式(k+4)x+b>0可化为kx+b> -4x,∴ 结合题图,知关于x 的不等 式(k+4)x+b>0的解集为x>2. 11. x<-1 [解析] 将直线y= kx+b沿x轴向左平移2个单位长度 得到直线y=k(x+2)+b,则点 A(1,0)沿x 轴向左平移2个单位长 度后得到的点的坐标为(-1,0). ∴ 关于x 的不等式k(x+2)+b> 0的解集为x<-1. 12. (1) 由题意,得 -6k+b=0, -k+b=5, 解 得 k=1, b=6. ∴ 直线AB 对应的函数表达式为y= x+6. (2) 联立 y=x+6, y=-2x-3, 解得 x=-3, y=3. ∴ 点M 的坐标为(-3,3). (3) 把y=0代入y=-2x-3,得 -2x-3=0,解得x=-1.5. 观察图像,关于x 的不等式组kx+ b>-2x-3≥0的解集为-3< x≤-1.5. (4) ∵ △ADP 与△ADM 有共同底 边AD,△ADP 的面积是△ADM 面 积的2倍, ∴ 易得点P 的纵坐标的绝对值为6. ∴ 点P 的纵坐标是±6. 当y=6时,则x+6=6,解得x=0; 当y=-6时,则x+6=-6,解得 x=-12. ∴ 点P的坐标为(0,6)或(-12,-6). 13. B [解析] 当x=1时,y2= -1+2=1.把(1,1)代入y1=kx-1, 得k-1=1,解得k=2.由题图,可知 满足条件的k 的取值范围是-1≤ k≤2且k≠0. 14. (1) 把(-1,3)代入y1=ax-a+ 1,得-a-a+1=3,解得a=-1. (2) 当a>0时,y1 随x 的增大而 增大, ∴ 当x=2时,y1取最大值5. ∴ 2a-a+1=5,解得a=4. ∴ 此时一次函数的表达式为y1= 4x-3. (3) ∵ 对任意实数x,y1>y2 都 成立, ∴ 直线y1 与y2 平行,且直线y1 在 y2的上方. ∴ a=k. ∴ y1=kx-k+1. ∴ kx+2k-4<kx-k+1. ∴ 2k-4<-k+1,解得k<53. ∴ k的取值范围是k<53 且k≠0. 第6章复习 ［知识体系构建］ 列表法 图像法 表达式法 待定系 数 交点坐标 ［高频考点突破］ 典例1 B [跟踪训练] 1. 37.2 [解析] 由题 图可得,去学校时,上坡路的路程为 3600m,所用时间为18min,∴ 上坡 速度=3600÷18=200(m/min).下 坡路 的 路 程 是 9600-3600= 6000(m),所 用 时 间 为 30-18= 12(min),∴ 下坡速度=6000÷12= 500(m/min).∵ 去学校时的上坡回 家时变为下坡,去学校时的下坡回家 时变为上坡,∴ 小亮从学校骑车回家 用的时间是6000÷200+3600÷ 500=30+7.2=37.2(min). 典例2 (1) ∵ y+a 与x-b成正 比例, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 85 116 6.5　一次函数与二元一次方程 ▶ “答案与解析”见P57 1. 已知直线y=2x 与y=-x+b的交点坐标 为(1,2),则 关 于 x、y 的 方 程 组 2x-y=0, x+y-b=0 的解是 ( ) A. x=1, y=2 B. x=2, y=1 C. x=2, y=3 D. x=1, y=3 2. 一次函数y=2x 和y=ax+4的图像相交 于点 A(m,3),则 关 于 x、y 的 方 程 组 y=2x, y=ax+4 的解为 ( ) A. x=32 , y=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 B. x=3, y= 3 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 C. x=3, y=2 D. x=2, y=3 3. (易错题)如图,正比例函数的图像与一次函 数y=-x+1的图像相交于点P,点P 到 x轴的距离是2,则这个正比例函数的表达式 为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,一次函数y=kx+b与y=x+2的图 像相交于点P(m,4),则方程组 y=x+2, y=kx+b 的 解是 . 5. 如图,直线l1、l2分别表示两个一次函数的图 像,它们相交于点P,直线l1交y轴于点A, 直线l2交y轴于点B. (1) 求直线l1、l2对应的函数表达式. (2) 点P 的坐标可看成是哪个二元一次方程 组的解? (3) 求△APB 的面积. (第5题) 6. 如图,直线y=2x 与直线y=kx+b相交于 点P(m,2),则关于x 的方程kx+b=2x 的 解是 ( ) A. x=12 B. x=1 C. x=2 D. x=4 (第6题) (第7题) 7. 如图,直线y=kx(k≠0)与y= 2 3x+2 在第 二象限交于点A,直线y= 2 3x+2 分别交 x轴、y轴于B、C 两点.若3S△ABO=S△BOC, 则方程组 kx-y=0, 2x-3y=-6 的解为 ( ) A. x=-1, y= 4 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 B. x=-32 , y=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 C. x=-2, y= 2 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 D. x=-34 , y= 3 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 117 8. (2023·聊城阳谷二模)已知关于x、y 的方 程组 x+y-b=0, 3x+y-2=0 的解是 x=-1 , y=m, 则直线 y=-x+b与直线y=-3x+2的交点坐标 是 . 9. 若直线y=2x+b 经过直线y=x-2与 y=-x+4的交点,则b的值为 . 10. 若直线y=kx-2和y=2x+k的交点的横 坐标为2,则k= . 11. 如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y= mx+n相交于点P(1,b). (1) 求b的值. (2) 不解关于x、y 的方程组 y=x+1, y=mx+n, 请你直接写出它的解. (3) 直线l3:y=nx+m 是否也经过点P? 请说明理由. (第11题) 12. 如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y= mx+4相交于点P(1,b). (1) 求b、m 的值. (2) 若垂直于x 轴的直线x=a与直线l1、 l2分别交于点C、D,且线段CD 的长为2, 求a的值. (第12题) 答案讲解 13. 若正比例函数y=-x的图像与一 次函数y=2x+m 的图像交于点 A,且点A 的横坐标为-2. (1) 求一次函数的表达式. (2) 直接写出方程组 x+y=0, -2x+y=m 的解. (3) 在一次函数y=2x+m 的图像上是否 存在点B,使得△AOB 的面积为9? 若存 在,求出点B 的坐标;若不存在,请说明 理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　一次函数