1.3.2函数的极值与导数（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

1.3导数在研究函数中的应用 1.3.2函数的极值与导数 湘教版选择性必修第二册 第1章导数及其应用 学习目标 目标 1 重点 2 难点 3 借助函数的图象,理解函数极值点和极值的概念； 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 能利用导数求某些函数的极大值、极小值; 体会导数与单调性、极值的关系. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值; 体会导数与单调性、极值的关系； 能利用导数求某些函数的极大值、极小值; 体会导数与单调性、极值的关系； 两函数之和差的求导法则： 两函数乘积的求导法则： 函数常数倍的求导法则： 两函数之商的求导法则： 温故知新 3 新课导入 题西林壁 苏轼 横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。 绵延不绝的各个山峰，虽然高低不同，但站在每个山顶，我们都可以俯瞰周围的美丽风光。 新课讲授 群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，所以绵延起伏的山脉形成好多的峰点和谷点 对于函数而言，一个函数由增到减或者由减到增的转折点，也很重要 观察下面函数的图象回答问题 图 1 图 2 【问题1】函数 y =f (x)在x0点函数值与它两侧附近的函数值之间有什么关系？ 新课讲授 设函数 y = f (x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点， (1)若点x0附近的函数值都小于或等于 f (x0)（即 f (x)≤ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极大值，此时x0称为 f (x)的一个极大值点． (2)若点x0 附近的函数值都大于或等于 f (x0)（即 f (x) ≥ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极小值，此时x0称为 f (x)的一个极小值点． 新课讲授 极值的定义 极大值、极小值统称为极值 极大值点、极小值点统称为极值点 新课讲授 a b 问题2:观察下面图像回答问题 1.函数f(x)的极值和极值点有哪些？ 2.f(a)、f(b)是函数的极值吗？ 3.函数f(x)的极值一定是最值吗？ 4.极大值一定比极小值大吗？ 5.每个函数都有极值吗？ 区间端点不能是极值点 函数的极值是局部开区间上的最值 函数的极大值不一定大于极小值 不是每个函数都有极值，单调函数没有极值 问题3：再观察下面图像回答下列问题： 1.函数f (x)在极大值点x1，x3，x5处的导数值为多少？ 2.此点两侧附近导数的符号有什么变化规律？ 新课讲授 观察图，我们可以看到，如果函数在某个区间内有极大值，将一条平行于x轴的直线从曲线的上方渐渐向下平移，直到碰上曲线（在这个区间上的一段）就停下来．这样，直线停下来时的高度，也就是曲线在这个区间内所达到的最高点，这时这条直线就是曲线在这个局部最高点处的切线 学以致用 如果函数曲线在极值点处有切线，则该切线应和 x 轴平行（或重合）换句话说，函数在极值点的导数为0． 即：若x0一定是f(x0)的极值点， f'(x0)=0 问题4：反之若f'(x0)=0,则x0一定是f(x0)的极值点吗？ 10 反过来，导函数的零点不一定是函数的极值点. 例如，函数f (x) = x3的导函数 f′ (x)=3x2 有零点，但f (x) = x3是增函数，没有极值点，如图可见，导函数的零点可能不是函数的极值点． 也就是说，若 f ′ (c)存在，则 f ′ (c)=0是f (x)在x = c处取到极值的必要条件，但不是充分条件． 新课讲授 x y O f (x)x3 11 若f ′ (c)=0，则x = c叫作函数f (x)的驻点． 也就是说，对可导函数而言，极值点一定是为驻点，而驻点不一定 是极值点． 那么在什么条件下，驻点才是函数的极值点呢？ 如果一个函数在驻点的两侧单调性互异，即函数的导数在驻点的两 侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点． 新课讲授 12 因此，如果函数 y = f (x)在某个区间内可导，就可按下列步骤求它的极值： （1）求导数 f ′ (x)． （2）求f (x)的驻点，即求方程f ′ (x)=0的解． （3）对于方程f ′ (x)=0的每一个解x0，分析f ′ (x)在x0左右两侧的符号（即 讨论f (x)的单调性），确定极值点： ①若f (x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f (x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点． （4）求出各极值点的函数值，就得到函数 y = f (x)的全部极值． 新课讲授 13 例4试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． （1）f (x) =x4； （2）f (x) =x5 典例分析 14 例4试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． （1）f (x) =x4； （2）f (x) =x5 典例分析 15 例5求函数 g (x) = x2 (3－x) 的极大值和极小值． x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) g′ (x) g (x) － 0 ＋ 0 － 递减↘ 0 递增↗ 4 递减↘ 典例分析 16 上述结论也可从 g (x) = x2 (3－x) 的图象（图1.3-9）得到直观验证． 典例分析 17 练习1试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． 学以致用 18 练习1试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． 学以致用 19 练习2 已知函数y=f（x）的定义域为（a，b），且其导函数f'（x）的图象如图所示，试找出函数y=f（x）在区间（a，b）内的极大值点和极小值点． 学以致用 20 课堂小结 一个概念：极值的概念． 一类思想：数形结合 一种方法：利用导数求函数的极值． 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 Lavf59.14.100 $$