专题03圆（考点串讲，12大考点+13大题型+5大易错）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

九年级浙教版（2012）数学上册期末考点大串讲 串讲03 圆 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 十二大常考点：知识梳理 十三大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 考点一：圆的定义 1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 考点透视 考点二：点与圆的位置关系 考点透视 考点三：三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 考点透视 考点四：旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 考点透视 考点五：旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 考点透视 考点六：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论： 定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 考点透视 考点七：圆心角定理 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). 考点透视 考点八：圆周角定理 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部． 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 考点透视 考点九：圆内接四边形性质 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 考点透视 考点十：正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 考点透视 考点十一：弧长公式 考点透视 考点十二：扇形面积公式 题型剖析 题型一：点与圆的位置关系 题型剖析 题型二：三角形外接圆 题型剖析 题型三：旋转图形与旋转现象 题型剖析 题型四：旋转中心、旋转角 题型剖析 题型四：旋转中心、旋转角 题型剖析 题型五：旋转的性质 题型剖析 题型五：旋转的性质 题型剖析 题型六：垂径定理 题型剖析 题型六：垂径定理 题型剖析 题型七：弧、弦、圆心角的关系 A 78° 题型剖析 题型七：弧、弦、圆心角的关系 题型剖析 题型八：圆周角定理 C D 题型剖析 题型八：圆周角定理 题型剖析 题型九：同弧或等弧所对的圆周角相等 C C 题型剖析 题型九：同弧或等弧所对的圆周角相等 题型剖析 题型十：圆的内接四边形 C A 题型剖析 题型十一：正多边形 C 8 8 题型剖析 题型十二：求弧长与扇形半径 15 B 题型剖析 题型十二：求弧长与扇形半径 题型剖析 题型十三：扇形面积问题 D 易错易混 题型1：三角形的外心 C (0,3) 易错易混 题型1：三角形的外心 易错易混 题型2：旋转的坐标问题 C 易错易混 题型3：90°圆周角所对的弦是直径 易错易混 题型4：求不规则图形面积 D A B 易错易混 题型5：圆的综合题 易错易混 题型5：圆的综合题 易错易混 题型5：圆的综合题 押题预测 B A A 押题预测 144° 押题预测 $$