专题03圆的基本概念（考点清单，19考点&16题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

清单03 圆的基本概念（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【清单02】点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 【清单03】定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 【清单04】三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【清单04】旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 【清单05】旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【清单06】旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【清单07】垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 【清单08】垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【清单09】圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 【清单10】圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 【清单11】圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 【清单12】圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 【清单13】圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 【清单14】圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【清单15】正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【清单16】正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 【清单17】正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 【清单18】弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【清单19】扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【考点题型一】圆的基本概念 【例1】下列图形为半圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．根据半圆的定义即可判断． 【详解】解：半圆是直径所对的弧，但是不含直径， 故选：C． 【变式1-1】下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 【答案】B 【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可． 此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念． 【详解】解：A、弦不一定是直径，原命题是假命题，不符合题意； B、直径是弦，是真命题，符合题意； C、弧不一定是半圆，原命题是假命题，不符合题意； D、半圆一定是弧，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握是：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 半径不是弦，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 【考点题型二】点与圆的位置关系 【例2】已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点P在外，则点O到点P的距离d大于半径，再结合的直径是10，即可作答． 【详解】解：∵点P在外， ∴点O到点P的距离d大于半径， ∵的直径是10， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】如图，已知中，，，，以点B为圆心，以4为半径作，则点C与的位置关系是（   ） A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点C在内， 故选：A． 【变式2-2】对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，两点间的距离公式，正确理解题目给出的定义是解答本题的关键．由题意得，只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，设点P的坐标为，求出点P到O点的距离，根据关联点的定义可知，，求解即可． 【详解】解：∵点P在直线上， ∴， ， ∵P为的关联点， ∴， ∴，同时平方得：， 整理得：， 当时，解得：，， 当时，解得：，， 如图： ∴P横坐标范围是或． 故答案为： 或． 【考点题型三】三角形的外接圆 【例3】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：连接，，，由图可知， ， ∴， ∴点在，，三边的垂直平分线上， ∴点是外心， 故选：C． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 【变式3-2】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 【考点题型四】旋转图形与旋转现象 【例4】如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义和旋转的性质进行判断． 【详解】解：A．由平移变换得到，故本选项不合题意； B．由轴对称变换得到，故本选项不合题意； C．由旋转变换得到，故本选项符合题意； D．由轴对称变换和旋转变换得到，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查平移的定义和旋转的性质，解答此题要明确平移和旋转的性质：（1）平移：①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．（2）旋转：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． 【变式4-1】在下图的四个图形中，不能由所给的图形经过旋转或平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，旋转或平移，分别判断、解答即可． 【详解】解：A、由图形逆时针旋转90°而得出，故本选项不符合题意； B、由图形顺时针旋转180°而得出，故本选项不符合题意； C、由图形顺时针旋转90°而得出，故本选项不符合题意； D、不能由如图图形经过旋转或平移得到，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平移、旋转的性质．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心． 【变式4-2】下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【答案】D 【分析】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键； 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 【考点题型五】找旋转中心、旋转角 【例5】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点， 连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心． 故选：C． 【变式5-1】如图，点，，，，都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（    ）    A．绕点逆时针旋转 B．绕点顺时针旋转 C．绕点逆时针旋转 D．绕点逆时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转性质根据图形所反映的特点，利用旋转的性质逐个判断即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知：， ∴图形是以为旋转中心，旋转后和重合，和重合，和重合， ∵可以由旋转得到， ∴正确的旋转方式是绕点逆时针旋转， 故选C． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，据此作图确定旋转中心，然后直接读出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，分别作线段、线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为旋转中心． 故答案为：． 【变式5-3】如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到了，则旋转中心可能是点 （填，，，之—） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，分别作两组对应点连线段的垂直平分线，它们的交点就是旋转中心． 【详解】解：如图，A、为一组对应点，线段的垂直平分线为直线，C、为一组对应点，线段的垂直平分线与直线交于， ∴旋转中心是． 故答案为：． 【考点题型六】求旋转后的点的坐标 【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，点A的坐标为， 第2次旋转结束时，点A的坐标为， 第3次旋转结束时，点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第101次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 【变式6-1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转后得到的，此时，点的坐标是 ，点的坐标是 (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，， (2)6 【分析】本题考查作图-旋转变换，求直角坐标系中点的坐标，求三角形的面积． （1）根据旋转的性质作图，再看图写出坐标即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：的面积为． 【变式6-2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系． (1)将沿y轴向下平移4个单位得到，画出； (2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出； (3)可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据逆时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可． （3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，解答即可． 本题考查了坐标的平移，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，向下平移4个单位后，得到新坐标为，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得，绕原点O逆时针旋转得到，新坐标分别为．画图如下： 则即为所求． （3）解：根据旋转作图，得绕逆时针旋转得到， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长均为单位1，在方格中作图： (1)将向右平移4个单位得． (2)将绕点顺时针旋转得． (3)如果建立直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟悉网格结构以及平面直角坐标系的特点，然后找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）分别找出点、、的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）先根据点、的坐标找出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，即为所求作的三角形； （3）解：点的坐标为． 故答案为： 【考点题型七】旋转的性质 【例7】如图，点是等腰直角内一点，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，设，，把绕点C顺时针旋转，得到，得到是等腰直角三角形，，，进而得到，在中求出，再由是等腰直角三角形得到，，最后计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵等腰直角内一点，， ∴， 把绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-1】如图，将菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形，当平分时，则与之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质及菱形的性质，根据菱形代入性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，根据平分，可得，即可得到答案，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题的关键． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， ∵菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据三角形内角和定理可得：， 即， 故选：D． 【变式7-2】如图，在中，，；将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，，，从而得到，再证明，即可得出结论； （2）由（1）知，，，证明是等腰三角形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴的度数为． 【考点题型八】利用垂径定理求值 【例8】如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，．，则的长为 ． 【答案】 【分析】作于，得到，由，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    【答案】 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式8-2】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 【变式8-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 【考点题型九】垂径定理的应用 【例9】往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过圆心O作交于点D，交于点C，连接，先利用垂径定理求出，进而在中利用勾股定理求出，再求出的长即可解答． 【详解】解：如图所示，过圆心O作交于点D，交于点C，连接， ， ， 的直径为， ， 在中，， ， ， 水的最大深度为． 故选：B． 【变式9-1】如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为 米． 【答案】 5 1 【分析】此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，关键是矩形判定定理的应用． 根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，设的半径为米，则米．由垂径定理得到米．由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；过点作于点，连，先求出，证明四边形为矩形，则．，求出．根据四边形为矩形即可得到答案． 【详解】解：垂直，点C是弧中点， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米． ， 即， 解得． 过点作于点，连接． 米， （米． ， 四边形为矩形， ，， （米． 米， 米． 米． 故答案为：5；1． 【变式9-2】一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理的应用．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）如图，设半径为，连接，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）过作，交于点，连接，由题得，，，在中根据勾股定理求出，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：设半径为，连接， ，为半径， ， ， ， 在中：， 解得：， 答：拱桥的半径为． （2）解：过作，交于点，连接， 由题得，， ， 在中：， ， 答：不能顺利通过这座拱桥． 【考点题型十】利用弦、弧、圆心角的关系求解 【例10】如图，在中，满足，若，则长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦之间的关系，取中点可得，据此判断即可． 【详解】解：取中点，连接交于，连接， ∵取中点，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴各个选项中长可能是4， 故选：D． 【变式10-1】已知是的直径，弦，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明 ，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，连接、， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时， ， ， ，故③错误， 若是的中点，连接，而   ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． 【变式10-2】如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 【变式10-3】如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ，， 即， ． （2）解：连接，如图所示： ，， ． 由勾股定理，得． 同理可得． ． 【考点题型十一】圆周角定理 【例11】如图， 在中， 若， 则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．据此求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴． 故选D． 【变式11-1】如图，为直径，弦与相交，连接，，，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由为直径，则，由直角三角形的性质得，最后由圆周角定理即可求解，熟练掌握圆周角的有关性质是解题的关键． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式11-2】如图，为的直径，为上一点，，交于点，连接，，若， 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，根据平行线的性质求出的度数，由等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后由圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式11-3】如图，中，，以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连结，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考了圆周角定理∶在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半∶半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了等腰三角形的性质． （1）根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形三线合一即可得到； （2）先利用勾股定理计算出，再由等腰三角形和圆周角定理证明，所以． 【详解】（1）证明：是的直径， ． 即， ， ． （2）解：在中， ，， ． ． ， ． ， ． ． 【考点题型十二】90°圆周角所对的弦是直径 【例12】如图，是的直径，点、、在上，若，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了圆周角定理，连接连接，可得，即得，再由圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-1】如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 【答案】的半径为， 【分析】本题考查了三角形外接圆、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意可得是的直径，，进而求得半径，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴是的直径， ∴ ∴的半径为 在中，． 【变式12-2】已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数． 【答案】 【分析】本题综合考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【考点题型十三】四边形的外接圆 【例13】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理与圆内接四边形对角互补，根据圆周角等于所对弧圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D． 【变式13-1】如图，是的内接四边形，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关定理．先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴的半径为： 故选：B． 【变式13-2】在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【答案】1 【分析】连接，则：，得到当三点共线时，P、C两点间的距离最小，根据菱形的性质，求出长，证明四点共圆，得到为的直径，即可得解． 【详解】解：连接， 则：， ∴当三点共线时，P、C两点间的距离最小， ∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵的外心为点P，三点共线， ∴为的直径， ∴， ∴P、C两点间的最小距离为1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明为的直径． 【变式13-3】已知四边形中，， ，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【详解】连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 【考点题型十四】正多边形与圆的综合 【例14】如图，正六边形，对角线、交于点，，则正六边形外接圆的半径为 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形和圆的综合是解题的关键．设正六边形外接圆的圆心为点，连接，，由点是正六边形外接圆的圆心可得，，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为点， 如图，连接，， 点是正六边形外接圆的圆心， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：． 【变式14-1】如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，连接，过点A作于点M，根据多边形的性质求得，勾股定理求得，进而即可得解，熟练掌握正多边形与圆，勾股定理的性质是解决此题的关键． 【详解】连接，过点A作于点M， 在正八边形中，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 的半径为2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 【变式14-2】如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心的长． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 【考点题型十五】求弧长或扇形半径 【例15】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键． 通过的长度算出，通过的长度算出，两者相减即可． 【详解】∵米，， ∴， ∴米， ∵米，， ∴， ∴米， ∴米． 故选：B． 【变式15-1】如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，以及弧长公式，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．先求出，再证明是等边三角形，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】如图，连接、、 由题意得：， 正六边形是的内接正六边形， 中心角，则 又， 是等边三角形， ， 则的长为， 故选：C． 【变式15-2】如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 【变式15-3】如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 （结果保留π）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．由圆周角定理得，根据弧长公式分别计算出与的长度，相减即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 又的半径为1， 的长度=， 又， ∴的长度=， ∴与的长度之和=， 故答案为：． 【考点题型十六】求扇形或不规则图形面积 【例】16如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．连接，根据勾股定理可求的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】解：连接， 在扇形中，正方形的顶点是的中点， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积 ． 故选：． 【变式16-1】图①是一款扫地机器人的实物图．其简易图如图②，为机身，点为机身上一定点，为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交于点C，D，已知点A，C，D在同一直线上，的半径，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】200 【分析】本题考查求不规则图形的面积，勾股定理的逆定理，连接，，，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵点A，C，D在同一直线上， ∴是的直径， ∴ ． ∵的半径， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴． 故答案为：200． 【变式16-2】如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图： 由网格可知，， ， ∵ ， 故答案为：． 【变式16-3】如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 1．下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 2．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 3．如图，四边形内接于，点是的中点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，先根据，得出，再由点D是的中点得出，故可得出，由三角形内角和定理得出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故选：C． 4．如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 5．如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与勾股定理，作垂线利用垂径定理是解题的关键． 过O分别作，垂足分别为F、E，连接；由垂径定理得F、E分别是的中点，得；设，由勾股定理求得；易得四边形为矩形，则，，由勾股定理得：，由半径相等可求得x的值，从而求得半径． 【详解】解：如图，过O分别作，垂足分别为F、E，连接； 由垂径定理知，F、E分别是的中点， ∵， ∴， ∴； 设，由勾股定理得； ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】将绕点顺时针旋转得到，证明，根据全等三角形的性质可知，设：，则，，在中，由勾股定理列式，解出即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，此时，    ∴，，，， ∴，，，共线， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设：，则，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，正方形的性质，根据题目意思正确作出辅助线是解答本题的关键． 8．如图，是的内接三角形，是直径，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数，继而求得的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 将绕点旋转一定角度后，得到， ，，，， ， ，故①正确， ，，， ∴ ，，， 平分，故③正确， ， ， ，故②正确， ， ， ∴， ∴的面积，故④错误； 故答案为：①②③． 10．如图，为的直径，C为上半圆的一个动点，于点E，的角平分线交于点D．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ． 【答案】 【分析】如图1，连接，由是的角平分线，可得，由，可得，则，，，由勾股定理得，；如图1，过点A作于点F，由，可得，由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图1，连接． ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，； 如图1，过点A作于点F， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 解得，， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 11．如图，是的直径，弦垂直平分，是上一点，则等于 ．    【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，由圆周角定理推出，．由线段垂直平分线的性质推出，得到是等边三角形，因此，由圆周角定理推出，，即可得到． 【详解】解：连接，   垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 是圆的直径， ， ． 故答案为：． 12．如图，内接于，是直径，，，平分，则弦长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质、圆心角、弧弦之间的关系，连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据弧、弦之间的关系得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，    ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故答案为：． 14．在小正方形边长为1的网格图中，画有，，，． (1)画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形． (2)若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系． (3)若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可； （2）利用点坐标建立平面直角坐标系； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图； （3）解：如图，点的坐标为． 故答案为：． 15．已知，如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，熟知圆心角、弧、弦之间的的关系是解题的关键．依据弦与相等，则这两条弦所对的劣弧和优弧分别相等，即可解． 【详解】证明：， ， ， 即， ． 16．如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)， ． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 17．如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，详见解析 (3)或8 【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 四边形是菱形； （3）解：，， ①如图1，当点在点左侧时， ， ， ， 在中，， ． ②如图2，当点在点右侧时， ， ， ， 在中，， ． 18．利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 圆的基本概念（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【清单02】点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 【清单03】定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 【清单04】三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【清单04】旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 【清单05】旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【清单06】旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【清单07】垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 【清单08】垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【清单09】圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 【清单10】圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 【清单11】圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 【清单12】圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 【清单13】圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 【清单14】圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【清单15】正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【清单16】正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 【清单17】正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 【清单18】弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【清单19】扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【考点题型一】圆的基本概念 【例1】下列图形为半圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 【变式1-2】下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【考点题型二】点与圆的位置关系 【例2】已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是 ． 【变式2-1】如图，已知中，，，，以点B为圆心，以4为半径作，则点C与的位置关系是（   ） A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．无法确定 【变式2-2】对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是 ． 【考点题型三】三角形的外接圆 【例3】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【变式3-2】如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【变式3-3】如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【考点题型四】旋转图形与旋转现象 【例4】如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在下图的四个图形中，不能由所给的图形经过旋转或平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【考点题型五】找旋转中心、旋转角 【例5】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式5-1】如图，点，，，，都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（    ）    A．绕点逆时针旋转 B．绕点顺时针旋转 C．绕点逆时针旋转 D．绕点逆时针旋转 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到 ． 【变式5-3】如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到了，则旋转中心可能是点 （填，，，之—） 【考点题型六】求旋转后的点的坐标 【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ． 【变式6-1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转后得到的，此时，点的坐标是 ，点的坐标是 (2)求的面积． 【变式6-2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系． (1)将沿y轴向下平移4个单位得到，画出； (2)将绕原点O逆时针旋转得到，画出； (3)可由绕着点P旋转得到，点P的坐标是______． 【变式6-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长均为单位1，在方格中作图： (1)将向右平移4个单位得． (2)将绕点顺时针旋转得． (3)如果建立直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【考点题型七】旋转的性质 【例7】如图，点是等腰直角内一点，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，将菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形，当平分时，则与之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，，；将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【考点题型八】利用垂径定理求值 【例8】如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，．，则的长为 ． 【变式8-1】如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    【变式8-2】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【变式8-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【考点题型九】垂径定理的应用 【例9】往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为 米． 【变式9-2】一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 【考点题型十】利用弦、弧、圆心角的关系求解 【例10】如图，在中，满足，若，则长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-1】已知是的直径，弦，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式10-2】如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【变式10-3】如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【考点题型十一】圆周角定理 【例11】如图， 在中， 若， 则（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，为直径，弦与相交，连接，，，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，为的直径，为上一点，，交于点，连接，，若， 【变式11-3】如图，中，，以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连结，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点题型十二】90°圆周角所对的弦是直径 【例12】如图，是的直径，点、、在上，若，则的度数为 ． 【变式12-1】如图， 在 中， ， ， ， 是 的外接圆． 求的半径和的长． 【变式12-2】已知的直径为，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．求的度数． 【考点题型十三】四边形的外接圆 【例13】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，是的内接四边形，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【变式13-2】在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【变式13-3】已知四边形中，， ，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【考点题型十四】正多边形与圆的综合 【例14】如图，正六边形，对角线、交于点，，则正六边形外接圆的半径为 【变式14-1】如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，，则（   ） A． B． C． D．2 【变式14-2】如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心的长． 【考点题型十五】求弧长或扇形半径 【例15】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式15-1】如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【变式15-3】如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 （结果保留π）． 【考点题型十六】求扇形或不规则图形面积 【例】16如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【变式16-1】图①是一款扫地机器人的实物图．其简易图如图②，为机身，点为机身上一定点，为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交于点C，D，已知点A，C，D在同一直线上，的半径，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式16-2】如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ． 【变式16-3】如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 1．下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 2．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．如图，四边形内接于，点是的中点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距为（    ） A．4 B． C． D． 5．如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 6．如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（   ）度． A．15 B．25 C．35 D．45 7．如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 8．如图，是的内接三角形，是直径，，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 10．如图，为的直径，C为上半圆的一个动点，于点E，的角平分线交于点D．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ． 11．如图，是的直径，弦垂直平分，是上一点，则等于 ．    12．如图，内接于，是直径，，，平分，则弦长为 ． 13．如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．    14．在小正方形边长为1的网格图中，画有，，，． (1)画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形． (2)若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系． (3)若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________． 15．已知，如图，．求证：． 16．如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 17．如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 18．利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$