八省联考考后提升仿真卷01（数学）-2025年1月“八省联考”数学真题完全解读与考后提升

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年1月“八省联考”考后提升卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年1月“八省联考”考后提升卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 2.下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 3.已知复数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 4.已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知分别为双曲线的左､右焦点，为上的一点，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7.的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（　） A． B．1 C． D．2 8.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于 10.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数 B．函数是圆的一个太极函数 C．存在圆，使得是圆的太极函数 D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数 11.如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则的最小值为 ． 13.甲､乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为 . 14.若直线与抛物线相切，且切点在第一象限，则与坐标轴围成三角形面积的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15. （13分）为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方､北方会员共200人，调查数据如下. 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 80 40 北方会员 40 40 (1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)（i）判断是否有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ （ii）已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积. 附：. 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 16. （15分）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 17. （15分）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 18. （17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作直线与椭圆交于两点， （i）若，求面积的取值范围； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 19. （17分）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月“八省联考”考后提升卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为全集，，， 所以， 故. 故选：C. 2.下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 3.已知复数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】由，得， 所以， 故选：C. 4.已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，则，， 所以，所以，， 故. 故选：B. 5.已知分别为双曲线的左､右焦点，为上的一点，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以渐近线方程为， 故选：C. 6.已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：D. 7.的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由余弦定理得，则， 则，则的面积为 故选：B. 8.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 （1）若，当时，在上单调递减，符合题意； （2）若，则在上单调递减，在上单调递增， 若在上是单调函数，，则； （3）若，则在上单调递减，在上单调递增， 若在上是单调函数，则，所以. 即综上，的取值范围是. 故选：A 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。 9.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于 【答案】BCD 【解析】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为， 即，故A错误； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即， 代入可得， 由图象的对称性，可得、，故，即B正确； 对于C， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由可得，且方程即为， 解得，，此时，切点坐标为， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由可得，此时方程即为， 解得，，此时，切点坐标为， 两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线垂直， 故当、时，取最大值， 且其最大值为，C对； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 所以，抛物线在点处的切线方程为，即， 该切线交轴于点， 所以，半个花瓣的面积必小于， 故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确. 故选：BCD. 10.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 【答案】BD 【解析】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足， 显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误； 对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象， 即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称， 因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确； 对于C，的定义域为，且， 即为奇函数，图象关于对称， 若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上， 因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误； 对于D，直线，即， 由，解得，则直线恒过定点， 显然直线经过圆的圆心， 该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确， 故选：BD 11.如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 12.已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】令，，则，， ， 令，，则，当且仅当，即时等号成立， ，即. 故答案为： . 13.甲､乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为 . 【答案】 【解析】设事件“甲乙两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张”， 事件“两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，甲比乙选的数字之和大”， 则， 乙选时，甲获胜有种选法； 乙选时，甲获胜只有种选法； 乙选时，甲不可能获胜， 所以， 所以. 故答案为：. 14.若直线与抛物线相切，且切点在第一象限，则与坐标轴围成三角形面积的最小值为 . 【答案】4 【解析】设切点为， 因为，所以切线斜率为， 得切线l的方程为 与坐标轴的交点分别为， 令，解得， 因为切点在第一象限，所以， 所以与坐标轴围成三角形面积 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值 所以 故答案为：4 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （13分） 为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方､北方会员共200人，调查数据如下. 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 80 40 北方会员 40 40 (1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)（i）判断是否有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ （ii）已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积. 附：. 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 【答案】(1) (2) （i）有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关； （ii）农场可以种植50亩左右的有机水果 【解析】（1）由题得南方会员中喜欢有机水果的概率；...................................(2分) 北方会员中喜欢有机水果的概率为，..................................(4分) 所以南方､北方会员中喜欢有机水果的概率分别为....................................(5分) （2）（i），...................................(8分) 所以有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关....................................(9分) （ii）由题可估计农场的会员中喜欢有机水果的人数为，...................................(12分) 所以农场可以种植50亩左右的有机水果....................................(13分) 16. （15分） “绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】(1) (2)是等比数列，理由见解析 (3)至少经过年 【解析】（1）由题意时， ，...................................(2分) 所以，....................................(4分) （2）数列是等比数列．理由如下：...................................(5分) 由（1）得，...................................(6分) 设，可得，所以，，可得，...................................(7分) 所以，，且，...................................(8分) 因此，数列是首项为，公比为的等比数列．...................................(9分) （3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，...................................(10分) 所以，，即．...................................(11分) 令，得， 两边取常用对数，得，...................................(12分) 所以，...................................(13分) ，所以，，...................................(14分) 所以，至少经过年，绿洲面积可超过．...................................(15分) 17. （15分） 已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1），...................................(2分) 则，...................................(3分) 所以曲线在处的切线方程为；...................................(4分) （2），...................................(5分) 令，则，...................................(6分) 当时，，...................................(7分) 则在上单调递增，没有极小值点，与题意矛盾； 当，即时，...................................(8分) 当或时，，当时，，...................................(9分) 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极小值点，符合题意；...................................(10分) 当，即时，...................................(11分) 当或时，，当时，，...................................(12分) 所以函数在上单调递增，在上单调递减，....................................(13分) 所以为函数的极大值点，不符合题意....................................(14分) 综上所述，实数的取值范围为．...................................(15分) 18. （17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作直线与椭圆交于两点， （i）若，求面积的取值范围； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）;（ii）不存在，理由见解析 【解析】（1）由已知，...................................(1分) 而直线即，...................................(2分) 该直线与圆与相切，则，解得，...................................(3分) 故椭圆的标准方程为....................................(4分) （2）（i）由已知，直线的斜率存在且不为 设l方程为：， 由得， 设，则. ...................................(5分) 故，...................................(6分) 而到直线距离， 所以....................................(7分) 由，知，所以， 所以，所以，...................................(8分) 因为在上为增函数，故， 所以，故， 设，则，故，...................................(9分) 因为在上为增函数，，故....................................(10分) （ii）由题设可设方程为，...................................(11分) 由，...................................(12分) 因为在椭圆内部，故恒成立， 设，的中点为，则为的垂直平分线， 而， 故，故，...................................(13分) 故的直线方程为：，...................................(14分) 令，则，故，，...................................(15分) 而在椭圆上，故，...................................(16分) 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点....................................(17分) 19. （17分） 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【解析】（1）连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，，...................................(1分) 由余弦定理得， 所以，由， 则，故....................................(2分) 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以....................................(3分) 下面证明当时，平面平面 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面，...................................(4分) 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面；...................................(5分) （2）由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则....................................(6分) 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，...................................(7分) 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，...................................(8分) 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， ...................................(9分) 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；.................................(10分) （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， ...................................(11分) 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面，...................................(12分) 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ，...................................(13分) ，...................................(14分) 在中，，取中点， 则，且， 所以，...................................(15分) 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故，...................................(16分) 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为..........................(17分) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月“八省联考”考后提升卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 2.下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 3.已知复数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 4.已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知分别为双曲线的左､右焦点，为上的一点，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7.的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 8.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。 9.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于 10.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 11.如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分 12.已知，则的最小值为 ． 13.甲､乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为 . 14.若直线与抛物线相切，且切点在第一象限，则与坐标轴围成三角形面积的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （13分） 为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积.农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方､北方会员共200人，调查数据如下. 喜欢有机水果 不喜欢有机水果 南方会员 80 40 北方会员 40 40 (1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果的概率； (2)（i）判断是否有的把握认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关？ （ii）已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果的种植面积. 附：. 0.05 0.025 0.005 3.841 5.024 7.879 16. （15分） “绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 17. （15分） 已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 18. （17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作直线与椭圆交于两点， （i）若，求面积的取值范围； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 19. （17分） 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 2025年1月“八省联考”考后提升卷 数学·参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 6 7 2 3 8 C C C B D D ?2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 2 10 11 BCD BD BD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 3log2 14.4 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (2)(i)有97.5%的把握认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关; ()农场可以种植50亩左右的有机水果A 80+40....... 北方会员中喜欢有机水果A的概率为P=- 40 所以南方,北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为 (2)(i)k22 200x(80x40-40x40)250 120x80x120x80 所以有...7...把握认为是否喜欢有机水..与.会员的区-有...............分) (iì)由题可估计农场的CSA会员中喜欢有机水果A的人数为 3 所以.农.可.以.植.....左...机水................分) (2)是等比数列,理由见解析 1/7 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 (3)至少经过6年 【解析】(1)由题意n>2时, 4 -(n 2..........数.... 是等比.....如............5分) 4 4 可得x=- -43-. ..............1... 所以,-4---()#即()# ................... 令-74)”43 得#(4~# lg2-lg5 lg2-(1-lg2) 2lg2-12x0.301-1 --0.398 4.1,.......5.............难.1分). -0.097 所以,至..经.过...绿洲积.可.超.过6.........15分) (2(0,2) 【解析】.../'......-....-.........分) 2........ 2/7 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 (2) f<...$.-. .............《每5分) 令/x)=0,则x= 2 则f(x)在(0.+x)上单调递增,没有极小值点,与题意矛盾; 2 所以函数(x)在(0.”)(1+2)上单调通增 #在(,1)上单。 所以x=1为函数f(x)的极小值点,符合题意; .............1.... 所以数()(01)(0) #在1_)单满 上单调递增, .......... 所以x三.1为为......大....不...意了..........14分) 综上所...实.....范为.................105分) 2)( 【解析】(1)由己知-. 而直线-....-...-...-..-.-.些......(-2分) b #bcb ,解得。...2......... 分)) b2+c{} d 2 2,2 故圆C的标准方程为 43 -三= 1......... (2)(i)由已知,直线/的斜率存在且不为0.F,1.0 设1方程为:x=my+1, 3/7 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 [ x=my+1 由 3+}+4y2=12 得3m{}+4)y②}+6my-9=0,A=144(m{}+1)0 6nt 设M(x,),N(x.,y),则y+y=- -9 3m^}4'y 3m^{}+4 ................... 故{MN-1+|×-1^ 244112(m1) . .............分分... 3m+4 3m{}+4 6vm+1 所以SMov= 3m+4 .................. 7= y y R 3m+4 3m}+4 2 -在(1.2)上为增函数,故2<入+- +#~2) 所以0- 6 则n-f-1,故 S.oy= 因为y$=3(1) ........... V (iì)由题..可可..方.为三长..............11分) (y=k(x-1) 由 →(3+4 -..-..-..-1.........-2分) 3r2+4y2=12 因为(10) 在圆内部,故A>0恒成立 设M x.y).Nx..y),MN的中点为S,则SP为MN的垂直平分线 82} 4-12 而x+x.= 43 4+3 4/7 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 4k} 故x$= ,故y$= -3k 4k{+3' 4+3 ........分) 故SP的直线方程为: .........分) #2} 7h2 令y,则x。= 故x。= .y= -6 4+3 4k+3 4............分) 49k 36k{} 而0在上,故 1=1..1... 4(42+3){} 3(42+3){} 整理得5..+16+.说.-,该程无解,以不存在满足条件.点P.x.............17分) 19.【答案】(1)4 (2)存在,-2 1 ③ 5-V15 10 【解析】(1)连接BE,由题意得,AD=DE=2.乙ADE=60{*}. 则 ADE为等边三角形,AF=AD-2, 在△BC... .FC三.$..C.. v <=1 1.80.-6. 11 0.,...............(1分) 由余弦定理得BF-BC*+EC'-2BC.ECoSs2BCE=4+4-2x2X(-1)-12. 所以BE=23,由BE=23.AE-2.AB=4. 则AE?+......故. . ...............分) 若平面ADE1平面ABCE, 由平面ADED平面ABCE=AE,BEC平面ABCE,BE1AE, 则BE1平面ADE,DEc平面ADE,则BE1DE, 下面证明当BD=4时,平面ADE1平面ABCE 证明:由BE=23.DE=2.BD=4.则BE*+DE-BD 所以BE1DE,又BE1AE,AECDE=E,AE,DEC平面ADE, 所以B...平............................分) 又BEc平面ABCE,所以平面ADE1平面ABCE, 故当BD4.. .平.....平.4 ........(.5分) 5/7 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 (2)由(1)知,BE1DE,则平面ADE1平面ABCE 在平面ADE内过E作EG1AE, 由平面ADEO平面ABCE=AE,EG一平面ABCE, 则EGI 平.BCE . 平.E, 则E.. . E..........分) 如图,以点E为坐标原点,以EA.EB,EG所在直线分别为X,y,2轴,过E垂直于平面ABCE的直线为2轴, 建立如图所示的空间直角坐标系E一xy2. 则E(0,0.0),A(2.0.0).B0.23.0).C(-1,3.0).D(1.0.3) 故4B=(-2.23.0),BD=1.-23.3) ........ 由BF-BD(021). $=AB+BF=AB+BD=-2.23.0]+(1,-23.)=-2+23(1-)3). 因为2垂真平面.BC..故.可取平面.ABC.一.一个.个法.量为..............(分) 设直线AF与平面ABCE所成角为9. i:Af /32 所以sine=eos(i.AF7-{ 30 A #1-2+)}2vV(1-)}#(2)}0# 或=4(舍去), ................ 30 使直线AF与平面ABCF所成角的正弦值为 3 一:........1.. 2 G (3)设点D到平面ABCE的距离为h. 由V$-cpr=Vp-8cr= ......... 则要使三校锥D-BCE的体积最大时,则点D到平面BCE的距离取最大. 取AE中点H,连接DH,则DH1AE, 当DH1平面BCE时,点D到平面BCE的距离最大 此时,.由D.D.平..,则平. ...平.A.BYE............1.分) 6/7 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 由(1)知,BE1DE,ABED为直角三角形, BD=4 -BE DE-23×2=2V3. 则SsEo= 。 .................) 2 1 在△ABD中,AB=4.AD=2.BD-4,取AD中点M, 则BM1AD,且BM=4-1=15 - AD$ BM=x2v1515 所以So= ................ 设内切球球心为/,内切球半径为r,由等体积法知 3Vp-A8 2x3 5-5 10 .................... S.Aso+Sa+So+S 8oE 23+3+23+15 53- 故当三校锥B-CDE的体积最大时,三校锥D-ABE的内切球的半径为 10 .........1..... 7/7