专题突破1数列通项公式的求法(人教A选必二）-2024-2025学年寒假高二数学同步练习（全国通用）

专题突破1数列通项公式的求法 1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100＝(　　) A．9 900　　　　　　　　 B．9 902 C．9 904 D．11 000 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＝log2，则数列{bn}的通项公式bn＝(　　) A.n B．n－1 C．n D．2n 3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项an＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 4．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 023＝(　　) A. B．1 C．－1 D．2 5．在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－3 B．an＝2n－7 C．an＝(2n－3)(2n－7) D．an＝2n－5 6．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn＝(　　) A. B. C. D. 7．一个正整数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 第1行 1 第2行 2　　　3 第3行 4　　　5　　　6　　　7 … … 则第8行中的第5个数是(　　) A．68 B．132 C．133 D．260 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋3，则其通项an＝________． 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为________． 10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________． 11．设数列{an}的前n项和为Sn，若其满足Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，且a1＝1，则an＝________. 12．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(， )在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为________． 13．已知数列{an}的首项为3，且满足an＋1＋an＝3·2n. (1)求证：{an－2n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等比数列． 14．设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)请证明是等比数列，并求通项公式an. 15．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设bn＝an＋1－an，证明数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业(十四) 1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100＝(　　) A．9 900　　　　　　　　 B．9 902 C．9 904 D．11 000 答案　B 解析　a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2×＋2＝9 902. 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＝log2，则数列{bn}的通项公式bn＝(　　) A.n B．n－1 C．n D．2n 答案　C 解析　由题知an≠0，则＝＝＋1，得＋1＝2，又＋1＝2≠0， ∴＝2，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴＋1＝2n⇒log2＝n，即bn＝n. 3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项an＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 答案　C 解析　∵an＋1＝2nan，∴＝2n， 当n≥2时，an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2×2＝2， 当n＝1时，a1＝2也符合上述通项公式，∴an＝2.故选C. 4．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 023＝(　　) A. B．1 C．－1 D．2 答案　A 解析　由a2＝1－＝1－2＝－1，a3＝1－＝1＋1＝2，a4＝1－＝1－＝，…，可得数列{an}是以3为周期的周期数列，∴a2 023＝a3×674＋1＝a1＝.故选A. 5．在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－3 B．an＝2n－7 C．an＝(2n－3)(2n－7) D．an＝2n－5 答案　C 解析　由题易得是首项为＝－1，公差为2的等差数列， ∴＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，∴an＝(2n－3)(2n－7)． 6．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题知数列是等差数列，且首项为1，公差为， ∴＝1＋(n－1)＝，∴xn＝. 7．一个正整数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 第1行 1 第2行 2　　　3 第3行 4　　　5　　　6　　　7 … … 则第8行中的第5个数是(　　) A．68 B．132 C．133 D．260 答案　B 解析　前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132. 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋3，则其通项an＝________． 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2＋3＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n－1－3＝2n－1. 又a1＝5不满足该式， 故an＝ 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为________． 答案　6 解析　由Sn＝an＋1－3，① 得Sn－1＝an－3(n≥2)，② ①－②得an＋1＝2an(n≥2)， 又a1＝1，a2＝4≠0，∴an≠0， ∴＝2(n≥2)， ∴数列{an}从第二项开始是以首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＝ ∵Sk＝1＋＝2k＋1－3≥125，∴k≥6. 10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________． 答案　n 解析　当n≥2时，an＝××…×××a1＝××…×××1＝n. 当n＝1时，a1＝1也符合上式，∴an＝n. 11．设数列{an}的前n项和为Sn，若其满足Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，且a1＝1，则an＝________. 答案　 解析　易知Sn≠0.由Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1， 得－＝1(n∈N*)， ∴是以＝＝1为首项，1为公差的等差数列， ∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，又a1＝1不满足该式， ∴an＝ 12．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(， )在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为________． 答案　an＝4n－2 解析　由题知－－＝0，即－＝(n≥2)， ∴数列是首项为，公差为的等差数列． ∴＝＋(n－1)＝n， ∴Sn＝2n2，又Sn－1＝2(n－1)2(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝4n－2(n≥2)，当n＝1时上式也成立，∴an＝4n－2(n∈N*)． 13．已知数列{an}的首项为3，且满足an＋1＋an＝3·2n. (1)求证：{an－2n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等比数列． 解析　(1)证明：由an＋1＋an＝3·2n， 得an＋1－2n＋1＝3·2n－an－2n＋1＝－(an－2n)，又a1－2＝1≠0，∴an－2n≠0. 所以{an－2n}是以1为首项，－1为公比的等比数列． (2)由(1)得an－2n＝1×(－1)n－1，an＝2n＋(－1)n－1， 所以a1＝3，a2＝3，a3＝9，a22≠a1a3， 所以数列{an}不是等比数列． 14．设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)请证明是等比数列，并求通项公式an. 解析　(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*中， 令n＝2，得2S2＝a3－23＋1，即2a1＋2a2＝a3－7，① 又2(a2＋5)＝a1＋a3，② 则由①②解得a1＝1. (2)证明：当n≥2时，由⇒2an＝an＋1－an－2n， ∴an＋1＝3an＋2n，∴＝·＋， ∴＋1＝(*)，易知a2＝5，则＋1＝×，满足(*)式，∴是以为首项，为公比的等比数列，从而＋1＝，∴an＝3n－2n， 即数列{an}的通项公式an＝3n－2n. 15．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设bn＝an＋1－an，证明数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1－bn＝2. 又b1＝a2－a1＝1，故数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即an＋1－an＝2n－1. 于是当n≥2时， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝[2(n－1)－1]＋[2(n－2)－1]＋…＋(2×1－1)＋1 ＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)＋1 ＝2×－n＋2 ＝n2－2n＋2， 当n＝1时，显然a1＝1也符合上式． 综上，数列{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$