专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 正切、正弦、余弦概念辨析 题型二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值 题型三 根据三角函数的定义求边长 题型四 特殊三角形的三角函数 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型八 已知角度比较三角函数值的大小 题型九 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十 利用同角三角函数关系求值 题型十一 求证同角三角函数关系式 题型十二 互余两角三角函数的关系 题型十三 三角函数综合 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点2：正弦与余弦a c A B C b 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 知识点3：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 正切、正弦、余弦概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2023九年级下·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【经典例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值】 【例2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是(　　) A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）在中，，垂足为点，将沿直线翻折，点落在边延长线上的点处，已知，，，那么的余弦值等于 ． 3．（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）    【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 【经典例题三 根据三角函数的定义求边长】 【例3】（2024·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，点为的中点，若点绕上的点旋转后可以与点重合，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若中点刚好落在矩形纸片的边上，已知矩形纸片的边长为，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，于点D，． (1)求的长； (2)求的面积． 【经典例题四 特殊三角形的三角函数】 【例4】（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．2 D． 1．（2024·广东中山·模拟预测）如图，在中，，点D是边上一点，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上，若点E为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，．求的值． 【经典例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例5】（2024九年级下·全国·专题练习）下列选项中是有理数的是（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 1．（23-24九年级下·浙江·自主招生）的值是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）计算： ． 3、（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）计算：； （2）在中，若，求的度数． 【经典例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例6】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 1．（21-22九年级上·河南新乡·期中）若，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）在中，若，，，都是锐角，则是 三角形． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）中，． (1)如图， 求证： ； (2)如图， 点位置如图所示，，连接，求证：； (3)如图，在（）的条件下，点 在 上，连接，， 若 ，， 求的长． 【经典例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例7】（24-25九年级上·河北张家口·期末）若α为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）在中，若，则 度； 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 【经典例题八 已知角度比较三角函数值的大小】 【例8】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 1．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小（用连接），，， ． 3．（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【经典例题九 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例9】设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 1．已知在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是(　　)． A．0＜n＜ B．0＜n＜ C．0＜n＜ D．0＜n＜ 2．已知，则锐角的取值范围是 ． 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【经典例题十 利用同角三角函数关系求值】 【例10】已知的三边长分别为，其中，则的外接圆半径和内切圆半径的和（　　） A． B． C． D． 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 3．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【经典例题十一 求证同角三角函数关系式】 【例11】在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 1 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 2．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 3．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【经典例题十二 互余两角三角函数的关系】 【例12】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 1．如果，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 3．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【经典例题十三 三角函数综合】 【例13】如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 3．如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）赵爽弦图是我国古代数学家赵爽创制的一种几何图形，用于证明勾股定理．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（   ） A． B． C．4 D． 4．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，直线m，n，l分别经过正方形的顶点A、B、C，且，直线n与交于点E，若m与n之间的距离是3，n与l之间的距离是4，则的值为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为 ． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知点P在格点的外接圆上，连接，则的正弦值为 ． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点E是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点G、H都在边上，若，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则 ． 10．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，，则 ． 11．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 13．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，于点，，求的值． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积； (3)当取最小值时，求此时点的坐标及的最小值． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在边长为4的正方形中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒． (1)点F在边上． ①如图1，连接，，若，求t的值； ②如图2，连结，，当与相似时，求的值； (2)如图3，若点G是边的中点，，相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 正切、正弦、余弦概念辨析 题型二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值 题型三 根据三角函数的定义求边长 题型四 特殊三角形的三角函数 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型八 已知角度比较三角函数值的大小 题型九 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十 利用同角三角函数关系求值 题型十一 求证同角三角函数关系式 题型十二 互余两角三角函数的关系 题型十三 三角函数综合 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 知识点3：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 正切、正弦、余弦概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    1．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确、④错误； ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有个． 故选：B．    2．（2023九年级下·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 大正方形的面积是25，小正方形面积是4， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】(1)；1； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ， ∴． 【经典例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值】 【例2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义；根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解． 【详解】解：，， 平分， ，， ， 过点作， 平分， ， ，即：，解得：， ， 故选D． 1．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出的长度，再由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出的长，根据三角函数的定义可求出结论． 【详解】解：设与相交于， ∵四边形是菱形，， ∴， 由勾股定理得到：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ， 即， 解得：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形面积的计算，角的正弦；根据菱形的面积求得的长度是解决问题的关键． 2．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）在中，，垂足为点，将沿直线翻折，点落在边延长线上的点处，已知，，，那么的余弦值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，求余弦值，是基础题；画好图形，由折叠的性质得，则可得，由勾股定理得，最后由余弦函数定义即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴； ∵， ∴由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）    【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 【答案】教材呈现：见解析；基础应用：；推广证明：见解析；拓展应用： 【分析】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数．添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 教材呈现：分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 基础应用：利用三角形内角和定理求得，利用公式，代入数据求解即可； 推广证明：作直径，连接，利用圆周角定理求得，，推出，即，同理，，据此即可证明结论成立； 拓展应用：连接，作于点，证得四边形是矩形，利用勾股定理求得和，证明，利用三角函数的定义求得，再根据，据此即可求解． 【详解】解：教材呈现：如图，分别作，垂足分别为，   在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 基础应用：∵中，，， ∴， 由题意得， ∴， 解得； 推广证明：作直径，连接，    ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴； 拓展应用：连接，作于点，     ∵， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【经典例题三 根据三角函数的定义求边长】 【例3】（2024·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，点为的中点，若点绕上的点旋转后可以与点重合，则的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据点绕上的点旋转后可以与点重合，得到，作于点，则，根据矩形中，，，点为的中点， 求得，得到，得到，解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转性质，正弦函数的应用，熟练掌握勾股定理，正弦函数是解题的关键． 【详解】根据点绕上的点旋转后可以与点重合， ∴， 作于点， ∴， ∵矩形中，，，点为的中点， ∴，，， ， ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选B． ． 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，也考查了相似三角形的判定与性质．作轴于，轴于，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定的值． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， 在中，， ， ， ， ， ∴， ， ∵，， ， 而， ． 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若中点刚好落在矩形纸片的边上，已知矩形纸片的边长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作于点，则，根据求得，勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形，且是的中点， ， 即， 解得：， 在中， ， ， 故答案为： 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，于点D，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)432 【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键． （1）根据正切的定义求解即可得； （2）先利用勾股定理可求出的长，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【经典例题四 特殊三角形的三角函数】 【例4】（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】取的中点，的中点，得到，，当为与之间的距离时，最小，求出到的距离,即可求解， 本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线，得到最小值． 【详解】解：取的中点，的中点，    连接，，则，， 当为与之间的距离时，最小， 过点作， ∵，， ∴， 在中，，， 故选：D． 1．（2024·广东中山·模拟预测）如图，在中，，点D是边上一点，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上，若点E为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，，然后证明出，求出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数，折叠的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是求出． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 证明是等边三角形，得出，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、特殊角的三角函数，先由勾股定理可得，再求出，，代入计算即可得解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， ∴，． ∴． 【经典例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例5】（2024九年级下·全国·专题练习）下列选项中是有理数的是（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，同角三角函数的关系，实数的运算等分别计算即可． 【详解】解：① ，是有理数，故①符合题意； ②，是无理数，故②不符合题意； ③，是无理数，故③不符合题意； ④，是有理数，故④符合题意； ⑤，是无理数，故⑤不符合题意， 综上所述，有理数有①④， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，同角的三角函数的关系，零指数幂，有理数和无理数，熟练掌握这些知识是解题的关键． 1．（23-24九年级下·浙江·自主招生）的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂运算法则与特殊角的三角函数值是解题的关键． 先把特殊角三角函数值代入，并根据零指数幂运算法则计算，去绝对符号，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：3． 3、（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）计算：； （2）在中，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角函数的混合运算，特殊的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和定理，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）优先化简三角函数值，再运算即可； （2）根据绝对值和平方的非负性得到，，可求出和的度数，即可运算求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例6】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 【答案】A 【分析】根据非负数的性质，求出和的度数，然后可判定的形状． 【详解】解：由题意得：，， 即，， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 1．（21-22九年级上·河南新乡·期中）若，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据非负数的性质得到，再由特殊角的三角函数值求出的度数，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 由特殊角的三角函数值可知此时， 此时， 则的形状是钝角三角形， 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）在中，若，，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案． 【详解】解：在中， ，， 且，都是锐角， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）中，． (1)如图， 求证： ； (2)如图， 点位置如图所示，，连接，求证：； (3)如图，在（）的条件下，点 在 上，连接，， 若 ，， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）过点作于，得到为等腰直角三角形，进而得到，，结合，得到，为等腰直角三角形，即可求证， （2）在上取，由，，得到为等腰直角三角形，进而得到，，，，进而得到，，结合，即可求证， （3）在上取，连接，作，由，结合，得到， 结合，，，得到，，设，，结合，得到，由，，得到，，，代入解得：，，，，，结合即可求解， 本题考查了，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）证明：如图，过点作于，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取，连接，作于， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 设， 在中，， ∵，由（2）得， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，即：，即：， 整理得：，即：， ∴，解得：，或（舍）， ∴，，， ∴，， ∴． 【经典例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例7】（24-25九年级上·河北张家口·期末）若α为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据α为锐角，且，得到，求即可. 本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 【详解】解：∵α为锐角，且， ∴， ∴， 故选：C. 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 锐角等于， 则锐角的余角等于， 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）在中，若，则 度； 【答案】75 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性及特殊角度的三角函数值，熟练掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0和特殊角度的三角函数值是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值的非负性求出、的值，进而求得，的度数，根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：75． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了非负数的性质，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质求出的值，再根据均为锐角及特殊角的三 角函数值、三角形内角和定理即可求出三角形各角的度数，进而判断出其形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 【经典例题八 已知角度比较三角函数值的大小】 【例8】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 1．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 2．比较大小（用连接），，， ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 3．（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 【经典例题九 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例9】设点与点为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标是关于x的方程的两个实数根．点C在y轴正半轴上，设，，若都是锐角，则两角的大小关系为（    ） A． B． C． D．与k的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、正切等知识，正确判断出是解题关键．设点的坐标为，先判断出，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后根据正切的定义可得，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，，且都是锐角，，，， ， ∵是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故选：B． 1．已知在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是(　　)． A．0＜n＜ B．0＜n＜ C．0＜n＜ D．0＜n＜ 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于45°．再根据sin45°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：根据题意，知 0°＜∠B＜45°． 又sin45°=， ∴0＜n＜． 故选A． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律． 2．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【经典例题十 利用同角三角函数关系求值】 【例10】已知的三边长分别为，其中，则的外接圆半径和内切圆半径的和（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数，以及切线长定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．先由勾股定理的逆定理得为直角三角形，再过内切圆圆心点作，垂足分别为点，进而利用切线长定理即可求解． 【详解】解：， 为直角三角形，如图，过内切圆圆心点作，垂足分别为点，则由切线长定理可知，，， ，， ． 故选：A． 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线，交于点，先证明出，计算出的长度，根据同角的三角函数相等，可求得，利用线段关系得到的值，最后通过勾股定理即可求解 【详解】过点作的垂线，交于点 是矩形 在与中， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理以及三角函数，解题的关键在于画出辅助线 3．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 【经典例题十一 求证同角三角函数关系式】 【例11】在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 1 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D 【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得 A.tanA•cotA= =1，关系式成立； B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立； C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立； D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立． 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明． 2．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 3．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 【经典例题十二 互余两角三角函数的关系】 【例12】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 1．如果，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各项分别计算然后判断. 【详解】解：A.     ，故此选项错误； B. ，故此选项正确； C. ，故本选项错误；     D. 当，，∴，故本选项错误 故选：B. 【点睛】本题考查锐角三角函数及其增减性，熟练掌握特殊角三角函数值是本题的解题关键. 2．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 3．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【经典例题十三 三角函数综合】 【例13】如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用弧长公式进行计算，即可解答． 本题考查了切线的性质，弧长的计算，锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，P为切点， ，即， ， ， 在中，，， ． ， ， ， ， 的长． 故选：C． 1．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，锐角三角函数等知识，由题意得绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环，第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，利用旋转的性质和解直角三角形即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，如图所示： 由旋转可得：， ， 故选：C． 2．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 3．如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由点为弧的中点，可得，推出，进 而 得 到，推出，可得，即 可 证 明 ； （2）连接，得到，由可得，再 根 据 勾 股 定 理 求 出 ，得 到 ，证明，得 到 ，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点为弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：（不合题意，舍去），， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关的知识． 1．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 连接交于点，由正方形的性质得，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是正方形， ， ， 根据题意，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的计算、余弦的定义等知识点，掌握余弦的定义是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长，再根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴, ∴. 故选C． 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）赵爽弦图是我国古代数学家赵爽创制的一种几何图形，用于证明勾股定理．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键． 先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得，则，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函数的定义计算求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1， ∴大正方形的边长，小正方形的边长， 由题意得：，， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴． 故选：A． 4．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，直线m，n，l分别经过正方形的顶点A、B、C，且，直线n与交于点E，若m与n之间的距离是3，n与l之间的距离是4，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作直线m于Q，的延长线交直线l于F，则直线n，直线l，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点B作直线m于Q，的延长线交直线l于F，如图所示：    ∵， ∴直线n，直线l， ∴， ∴， ∵若m与n之间的距离是3，n与l之间的距离是4， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解平行线间的距离，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 6．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，正弦三角函数；当时，由勾股定理及正弦三角函数定义即可求解，当时，同理可求；理解新定义，掌握勾股定理，正弦三角函数，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当时，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 故答案：或． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知点P在格点的外接圆上，连接，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，由，得，再由勾股定理求出的长即可推出结果． 【详解】解：如图， ∵点P在格点的外接圆上，， ∴， ∴， 设每个小正方形的边长为1，则，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点E是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点G、H都在边上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求的正切值转化为求的正切值是解题的关键．根据题意得知，，由平行线的性质得到，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 设，则， ， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值；过点，作轴，轴，分别于，．得出，根据则，设，则，根据点在反比例函数的图象上，得出，进而根据的坐标，求得的值，即可求解． 【详解】解：过点，作轴，轴，分别于，． 设点的坐标是，，则，． ， ． ， ． ， ． ，， ， ， 设，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， ； 故答案为． 10．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数．过点C作于点G，连接交于点H，先求得，证明，由三角函数的定义设，则，由勾股定理可得，得到，利用面积法可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G，连接交于点H， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）化简二次根式，将特殊角的三角函数值代入，计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 12．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质可得：，然后利用同弧所对的圆周角相等可得：，从而可得； （2）利用直径所对的圆周角是直角可得，在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理可得，进而可得，再利用勾股定理列出方程进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∵，     ∴． ∵， ∴． （2）解：∵是的直径， ∴， ∵在中，， ∴设，则， ∴ 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及勾股定理是解题的关键． 13．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，于点，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形是性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理等；过作交的延长线于，由平行四边形的性质得 ，，由平行线之间的距离处处相等得，由余弦函数得，由勾股定理得， 由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解； 平行四边形是性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理，并能熟练利用勾股定理及三角函数求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积； (3)当取最小值时，求此时点的坐标及的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点的坐标为 (2)的最大值为，的面积为； (3)，的最小值为 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、面积的计算，解题的关键是掌握相关知识． （1）由待定系数法即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的表达式为，设点，则点，得到，即可求解； （3）过点作直线使直线和轴正半轴的夹角为，过点作交于点，交轴于点，则，此时为最小，则为最小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为； （2）设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 故的最大值为， 此时的面积； （3）过点作直线使直线和轴正半轴的夹角为，过点作交于点，交轴于点， 则， 此时，为最小，则为最小， 在中，，， 则， ， ，， 则的最小值为：． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在边长为4的正方形中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒． (1)点F在边上． ①如图1，连接，，若，求t的值； ②如图2，连结，，当与相似时，求的值； (2)如图3，若点G是边的中点，，相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①利用正方形的性质及条件，得出，由列式计算即可求解； ②利用，得出，列出方程求出t的值，然后证明出，即可得到； （2）①时如图3，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，先求出所在的直线和所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出，运用，求出点的坐标，把的坐标代入所在的直线函数关系式求解；②当时如图4，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，先求出所在的直线和所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出，运用，求出点的坐标，把的坐标代入所在的直线函数关系式求解． 【详解】（1）解：①如图1， 又∵四边形是正方形， ， 在和中， ， 解得：． ②如图所示，连接 ∵四边形是正方形， ， ， 当时， 解得，，（舍去），故． 当时， ∴，方程没有实数根， 所以当时，与相似； ，方程没有实数根， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：①当时，如图3，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，的坐标，的坐标，点的坐标，的坐标， 由待定系数法得，所在的直线函数关系式是， 所在的直线函数关系式是：， ， ， ，， 设的坐标为， ， 解得：， ∴的坐标为， 把的坐标为代入，得 解得，（舍去），， ②当时，如图4，以点为原点为轴，为轴建立坐标系，的坐标，的坐标，点的坐标，的坐标， 由待定系数法得，所在的直线函数关系式是：， 所在的直线函数关系式是：， ∵， ∵， ∴，， 设的坐标为， ， 解得， ∴的坐标为， 把的坐标为代入，得， 解得：． 综上所述，存在或，使得． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，求角的正弦值，解一元二次方程，勾股定理，一次函数和几何综合题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$