28 综合与实践(4) 探究纸伞中的数学问题&核心素养与跨学科融合专练-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

综合与实践（四）探究纸伞中的数学问题 根据以下素材，探索完成任务 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管 B 素材1 是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB=AC,且 AE=专ABAF=}AC.D点为伞图，DE=DF 图1 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢 A 时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D'的位置， E 素材2 且A、E、D'三点共线，测得AD'=50cm,AE=20 D' cm,伞完全张开时∠BAC=120°，如图1所示 p (参考值：√600≈24.5) 图2 E 项目学习小组同学经过研究发现：雨往往是 斜打的，且都是平行的.如图3，某一天，雨线BM 素材3 与地面夹角为60°，小明同学站在伞圈D点的正 下方G处，记为GH,此时，发现身上被雨淋湿，测 得BN=150cm. 602 图3 问题解决 任务 判断AP位置 (I)求证：AP是∠BAC的角平分线 任务二 探究伞圈移动距离 (2)当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离； (3)求伞至少向下移动多少厘米时，使得人站在G处身上不被雨淋 任务三 拟定撑伞 湿.（直接写出答案） 73 九年级数学·下册 第二十八章核心素养与跨学科融合专练 核心素养专练 01运算能力—利用特殊角的三角函数值求值 03应用意识 【素养解读】在学习数学的过程中，通常要应用运算法 【素养解读】在学习锐角三角函数的过程中，我们利用 则进行计算，本章常考查利用特殊角的三角函数值计 锐角三角函数知识解决生活中的实际问题，养成理论联 算，有时也涉及到实数的运算 系实际的习惯，提升实践能力，培养字生的“应用意识”： 1.(2024·通辽)计算：W3-2十2sin60°-(-π)°. 3.(2024·内蒙古)综合实践活动中，数学兴趣 小组利用无人机测量大楼的高度.如图，无人 机在离地面40m的D处，测得操控者A的 俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为 45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼 BC之间的水平距离是80m,则楼BC的高 02几何直观—通过函数图象解决三角函数问题 度约是 m.（点A,B,C,D都在同一平 【素养解读】通过画函数图象，借助几何图形了解图形 面内，参考数据：√3≈1.7) 中的位置关系和数量关系，建立数与形的联系，构建 300 450 直角三角形的几何模型，计算锐角三角函数值 2.在平面直角坐标系中，直线y=2x与x轴的 夹角（锐角）为&，则sina= 跨学科融合专练 4.(2024·贵州)综合与实践：小星学习解直角 【问题解决】 三角形知识后，结合光的折射规律进行了如 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： 下综合性学习. (1)则BC的长是 cm; 【实验操作】 (2)求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm) 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上， (参考数据：sin32°≈0.52，c0s32°≈0.84， 一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处， tan32°≈0.62) 入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A; 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点 E处时，停止注水.（直线NN'为法线，AO为 入射光线，OD为折射光线.) 【测量数据】 如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平 面内，测得AC=20cm,∠A=45°，折射角 ∠DON=32°. 助学助教优质高敦 74m..DC=FD+CF=68.08十18.00=86.08≈86.1m.答：从A处的九孔桥到C处的二 龙源瀑布上升的高度DC约为861m8解：1)：斜坡的坡度为1：3铝-子.： BD=CD-CB=3.2-1=2.2(m),.在Rt△ABD中，AB=3BD=6.6m.故AD= √/BD+AB=J10BD≈3.2×2.2=7.04.答：斜面AD的长度应约为7.04米.(2)过点 C作CELAD.垂足为E,在R△ABD中，m∠ADB是RD音0，在 R△CDE中.sin∠CDE-8器CE=CD·sm∠CDE=3.2X高而≈3(m.:3>2 8,.货车能进入地下停车场. 模型构建专题（三）构造基本图形解直角三角形 1.1402.743.解：过点D作DE⊥BC,垂足为E,由题意，得AF BC,DE=AF,斜 AB的坡度i=3:4,F=号.·设AF=3xm,则BF=4rm,在Rt△ABF中，A /AF+BF=/(3x)2十(4.x)2=5x(m).在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20m,.∴.DE CD·sin18≈20X0.31=6,2(m.“AF=DE=6,2m,3x=6.2,解得：x.AB =5x≈10.3(m).答：斜坡AB的长约为10.3m.4.A5.解：(1)过点A作AH⊥PO于 点H,由题意，得AP-26m:斜坡AP的按度为1：24立-言设AH 5a,则PH=12a,AP=13a=26m.∴.a=2m,∴.AH=5a=10m.答：坡顶A到地面PO的 距离为10m.(2)延长BC交PO于点D,由题意得，CD=AH=10m,AC=DH,∠BPD= 45°，∠BAC=76°，设BC=xm,则BD=(x+10)m,在Rt△BPD中，∠BPD=45°，.BD =PD=(x+10)m,,PH=24m,∴.DH=AC=(x+10)-24=(x-14)m.在Rt△ABC x 中，tan76C=≈4.01，解得x之18,7，经橙验.x18.7是原方程的解且符合题 意.答：网络信号塔BC的高度约为18.7m.6.解：过点E作EF⊥CD,交CD的延长线 于点F,在R△DFE中，∠EDF=e=53an53-票≈专设EF=,则DF=8 .CF=CD+DF=(15+3x),由题意，得∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF,· △CFE0△CBA.能-器号53解得：=5，经检验：=5是原方程的解 4 .EF=4.x=20(m). 综合与实践（四）探究纸伞中的数学问题 任务一：证明：“AB=AC.AE=号AB,AF=号AC.AE=AK.又：AD=AD,DE= DF,∴.△ADE≌△ADF.∠BAD=∠CAD..AP是∠BAC的角平分线；任务二：解： AD'=50cm,AE=20cm,.DE=D'E=30cm.,∠BAC=120°，.∠EAD=60°.过点E 作EG⊥AD于点G,连接ED.在Rt△AEG中，AG=AE·cos∠EAG=20·cos60°=10 (cm).EG=AE·sin∠EAG=20·sin60°=10√/3(cm).在Rt△DEG中，由勾股定理，得 DG=√DE-EG=√600≈24.5(cm).∴.AD=AG+DG=34.5(cm).∴.DD'=AD'- AD=50一34.5=15.5(cm).答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5 cm;任务三：60cm. 第二十八章核心素养与跨学科融合专练 1.解：原式=2-+2×号-1=1.2.号53.284(1)20解：(2)由题可知0N =AC=10cm,NB=ON=10cm.又：∠DON=32..DN=ON·tan∠D0N= EC=21 10·tan32≈10X0.62=6.2cm..BD=BV-DN=10-6.2=3.8cm.答：B,D之间的 距离约是3.8cm. 第二十八章大单元整合与素养提升 1.C2.B3.14.D5.N61)解：原式=5×5+3×号-（号）=4.(2)解：原 式=3√2-1+1-√2=2√2.7.解：过点A作AD⊥BC于D.则∠ADB=∠ADC=90. 在R△ABD中.asB-0:BD=AB·os60=4X号=2.AD=V个-F-25 ERt△ADC中，tanC-号=tan45°=1.AD=CD=23.BC=BD+CD=2+2B 8.C9.5110.(150+150√/3)11.A12.15°或75°13.4+√7或4-√/714.C 15.解：过点E作EH⊥AD于点H,由题意可知，∠CEB=a=36.9°，EH=1.20m,四边 形CEHD是矩形，CE=DH.CE-Tan SG.≈。：君1.60(m,AH=AD-CE- —166