7.1同底数幂的乘法 导学案2024－2025学年苏科版数学七年级下册

同底数幂的乘法 目标导航 课程标准 课标解读 1.了解整数指数幂的意义和基本性质; 2.能进行简单的整式乘法运算。 1.理解同底数幂的乘法的意义; 2.掌握同底数幂的乘法的运算公式; 知识精讲 1.对于任意的底数a,当m、n是正整数时, 法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 2.符号表示:(都是正整数) 【微点拨】当3个或3个以上同底数幂相乘时,也同样适用这一法则;法则可以逆运用,即; 【即学即练1】已知,,求下列各式的值: (1) (2) (3). 【即学即练2】我们知道,根据乘方的意义:,. (1)计算:_,_; (2)通过以上计算你能否发现规律,得到的结果; (3)计算:. 小文总结: (1)同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. am•an=a m+n(m,n是正整数) (2)推广:am•an•ap=a m+n+p(m,n,p都是正整数) 在应用同底数幂的乘法法则时,应注意:①底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x﹣y)2与(x﹣y)3等;②a可以是单项式,也可以是多项式;③按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加. (3)概括整合:同底数幂的乘法,是学习整式乘除运算的基础,是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数”这一关键点,同时注意,有的底数可能并不相同,这时可以适当变形为同底数幂. 练兵场:杀!!! 一、选择 1.计算x3•x3的结果是( ) A.2x3 B.x6 C.2x6 D.x9 2.计算:(﹣a)2•a4的结果是( ) A.a8 B.a6 C.﹣a8 D.﹣a6 3.已知x+y﹣3=0,则2y•2x的值是( ) A.6 B.﹣6 C. D.8 4.若am=2,an=5,则am+n等于( ) A.7 B.10 C.25 D.32 5.计算a•a•ax=a12,则x等于( ) A.10 B.4 C.8 D.9 6.下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是( ) A.(x﹣y)2(x+y)3 B.(﹣x﹣y)(x+y)2 C.(x+y)2+(x+y)2 D.﹣(x﹣y)2(﹣x﹣y)3 7.已知162 43 26=23x﹣1,则x的值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 8.已知2x=8,2y=5,2z=40,那么下列关于x,y,z之间满足的等量关系正确的是( ) A.x+y=z B.xy=z C.2x+y=z D.2xy=z 9.已知2x=6,则2x+3的值是( ) A.8 B.15 C.48 D.125 10.计算﹣m4•(﹣m)2的结果是( ) A.m6 B.﹣m8 C.m8 D.﹣m6 11.计算(b﹣a)2(a﹣b)3(b﹣a)5,结果为( ) A.﹣(b﹣a)10 B.(b﹣a)30 C.(b﹣a)10 D.﹣(b﹣a)30 12.若x=2n+2n+2,y=2n﹣1+2n﹣3,其中n是整数,则x与y的数量关系是( ) A.x=8y B.y=8x C.x=4 y D.y=4 x 13.计算(﹣2 104)•(﹣3 105)的正确结果是( ) A.6 1020 B.6 109 C.5 109 D.﹣6 109 14.已知3x+2=m,用含m的代数式表示3x正确的是( ) A. B. C.m﹣9 D.m﹣6 二、填空 15.已知10a=20,10b=50,则a+b的值是 . 16.若22n+3+4n+1=192,则n的值为 . 17.已知2 8x 16=223,则x的值为 . 18.已知(﹣0.5am)3=﹣64,2a2n=18,则am+2n= . 19.已知2m+5n+3=0,则4m 32n的值为 . 20.已知2x+3y﹣5=0,则9x•27y的值为 . 21.(2 105)•(7 103)•(3 102)= (用科学记数法表示). 22.若(a+b)•(a+b)2•(a+b)n=(a+b)12,则n的值等于 . 23.计算:(﹣3)100 (﹣3)﹣101= . 24.若x3ym﹣1•xm+n•y2n+2=x9y9,则4m﹣3n= . 25.若22x+3﹣22x+1=384,则x= . 三、解答 26.如果xn=y,那么我们记为:(x,y)=n.例如32=9,则(3,9)=2. (1)根据上述规定,填空:(2,8)= ,(﹣3,9)= ; (2)若(x,64)=2,则x= ; (3)若(4,a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值. 27.规定a*b=3a 3b,求: (1)求1*2; (2)若2*(x+1)=81,求x的值. 28.材料,一般的,若ax=N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,比如指数式23=8可以转化为对数式3=log28,对数式2=log636可转化为指数式62=36,根据以上材料,解决下列问题: (1)计算:log24= ,log216= ,log264= ; (2)猜想logaM+logaN= (a>0且a≠1,M>0,N>0); (3)已知loga5=3,求loga25和loga125的值.(a>0且a≠1) 29.计算: (1)(﹣x2)•x4+(﹣x2)3; (2)(a﹣b)2•(b﹣a)3•(a﹣b). 30.如果ac=b,那么我们规定(a,b)=c,例如:因为23=8,所以(2,8)=3 (1)根据上述规定,填空: (3,27)= ,(4,1)= (2,0.25)= ; (2) 记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求证:a+b=c. 31.阅读材料,回答问题. 材料一:因为23=2 2 2,22=2 2,所以23 22=(2 2 2) (2 2)=25. 材料二:求31+32+33+34+35+36的值. 解:设S=31+32+33+34+35+36① 则3S=32+33+34+35+36+37② 用②﹣①得,3S﹣S=(32+33+34+35+36+37)﹣(31+32+33+34+35+36)=37﹣3 所以2S=37﹣3,即,所以. 这种方法我们称为“错位相减法”. (1)填空:5 58=5( ),a2•a5=a( ). (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事:阿基米德与国王下棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了. ①国际象棋共有64个格子,则在第64格中应放 粒米.(用幂表示) ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S,求S. 32.我们约定a b=10a 10b,如2 3=102 103=105. (1)试求12 3和4 8的值; (2)(a+b) c是否与a (b+c)相等?并说明理由. 33.我们知道,同底数幂的乘法法则为am•an=am+n(其中a≠0,m、n为正整数),类似地,我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算:f(m)•f(n)=f(m+n)(其中m、n为正整数);例如,若f(3)=2,则f(6)=f(3+3)=f(3)•f(3)=2 2=4. (1)若f(2)=5,则:①计算f(6);②当f(2n)=25,求n的值; (2)若f(a)=3,化简:f(a)•f(2a)•f(3a)•…•f(10a). 34.如何计算:a+a2+a3+……+an,不妨设S=a+a2+a3+……+an①,将①式的两边同乘以a得aS=a2+a3+a4+……+an+1②,②﹣①得(a﹣1)S=an+1﹣a,则.请你运用上述方法解决下列问题.计算: (1)2+22+23+……+22020; (3) ﹣3+32﹣33+……﹣32019+32020. 35.规定:求若干个相同的有理数(不等于0)的除法运算叫做除方,如2 2 2 2 2 2,(﹣3) (﹣3) (﹣3) (﹣3)等.类比有理数的乘方,(﹣3) (﹣3) (﹣3) (﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,我们把(a≠0)记作aⓝ,读作“a的圈n次方”. (1)直接写出计算结果:2③= ,④= . (2)有理数的除方可以转化为乘方幂的形式.如(﹣3)④=(﹣3) (﹣3) (﹣3) (﹣3) 直接将下列的除方形式写成乘方幂的形式:(﹣2)④= ;5ⓝ= . (4) 计算:22018 . 36.记M(1)=﹣2,M(2)=(﹣2) (﹣2),M(3)=(﹣2) (﹣2) (﹣2),…M(n) (1)计算:M(5)+M(6); (2)求2M(2015)+M(2016)的值: (3)说明2M(n)与M(n+1)互为相反数. 37.基本事实:若am=an(a>0且a≠1,m、n是正整数),则m=n.试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值:①2 8x=27; ②2x+2+2x+1=24. 38.阅读下面的文字,回答后面的问题:求5+52+53+…+5100的值. 解:令S=5+52+53+…+5100(1),将等式两边同时乘以5得到:5S=52+53+54+…+5101(2), (2)﹣(1)得:4S=5101﹣5,∴ 问题:(1)求2+22+23+…+2100的值;(2)求4+12+36+…+4 340的值. 39. 若1+2+3+…+n=a,求代数式(xny)(xn﹣1y2)(xn﹣2y3)…(x2yn﹣1)(xyn)的值. 40.已知整数a、b、c满足()a•()b•()c=4,求a、b、c的值. 同底数幂的乘法 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B A B A A C D A 题号 12 13 14 答案 A B A 无人扶我青云志,我自踏雪至山巅 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 一.同底数幂的乘法(共40小题) 1.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】B 【分析】根据同底数幂的运算法则计算. 【解答】解:x3•x3=x6, 故选:B. 【点评】本题考查了同底数幂的运算,掌握运算法则是解题的关键. 2.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】B 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案. 【解答】解:(﹣a)2•a4=a2•a4=a6. 故选:B. 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键. 3.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法求解即可. 【解答】解:∵x+y﹣3=0, ∴x+y=3, ∴2y•2x=2x+y=23=8, 故选:D. 【点评】此题考查了同底数幂的乘法等知识,解题的关键是把2y•2x化为2x+y. 4.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】计算题;整式;运算能力. 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则法则计算即可求解. 【解答】解:∵am=2,an=5, ∴am+n=am•an=2 5=10. 故选:B. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 5.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】A 【分析】利用同底数幂的乘法即可求出答案, 【解答】解:由题意可知:a2+x=a12, ∴2+x=12, ∴x=10, 故选:A. 【点评】本题考查同底数幂的乘法,要注意是指数相加,底数不变. 6.【考点】同底数幂的乘法;合并同类项.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可. 【解答】解:A、(x﹣y)2与(x+y)3的底数不一样,不能用同底数幂的乘法的法则运算,故A不符合题意; B、(﹣x﹣y)=﹣(x+y),与(x+y)2的底数一样,能用同底数幂的乘法的法则运算,故B符合题意; C、(x+y)2+(x+y)2只能用合并同类项的法则运算,故C不符合题意; D、(﹣x﹣y)3=﹣(x+y)3,与﹣(x﹣y)2的底数不一样,不能用同底数幂的乘法的法则运算,故D不符合题意; 故选:B. 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握. 7.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法法则构造一元一次方程即可得解. 【解答】解:∵162 43 26=23x﹣1, ∴(24)2 (22)3 26=23x﹣1即28 26 26=23x﹣1, ∴28+6+6=23x﹣1, ∴8+6+6=3x﹣1, ∴x=7, 故选:A. 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用,熟练掌握运算法则是解题的关键. 8.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】A 【分析】由2z=40可得:2z=5 8,则可得到2z=2x 2y,即可得到结论. 【解答】解:∵2x=8,2y=5,2z=40, ∴2z=5 8,2z=2x 2y, ∴2z=2x+y, ∴z=x+y. 故选A. 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法,解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用. 9.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可. 【解答】解:当2x=6时, 2x+3 =2x 23 =6 8 =48. 故选:C. 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握. 10.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】D 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案. 【解答】解:﹣m4•(﹣m)2=﹣m4•m2=﹣m6. 故选:D. 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算,正确掌握相关运算法则是解题关键. 11.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则可求解. 【解答】解:(b﹣a)2(a﹣b)3(b﹣a)5 =(b﹣a)2[﹣(b﹣a)]3(b﹣a)5 =﹣(b﹣a)5(b﹣a)5 =﹣(b﹣a)10. 故选:A. 【点评】本题考查同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则是解题的关键. 12.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加,可得答案. 【解答】解:x=2n+2n+2=23 (2n﹣1+2n﹣3) x=8y, 故选:A. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,熟记法则并根据法则计算是解题关键. 13.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】B 【分析】把﹣2与﹣3相乘,10的指数幂相乘,得出结果. 【解答】解:(﹣2 104)•(﹣3 105)=6 104+5=6 109, 故选:B. 【点评】主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 14.【考点】同底数幂的乘法;列代数式.版权所有 【专题】计算题;实数;运算能力. 【答案】A 【分析】逆运用同底数幂的乘法法则可得结论. 【解答】解:∵3x+2=3x•32=m, ∴3x 9=m. ∴3x. 故选:A. 【点评】本题考查了整式的运算,掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键. 15.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】实数;运算能力. 【答案】3. 【分析】利用同底数幂的乘法即可得出10a•10b=10a+b=103,从而可求得a+b的值. 【解答】解:∵10a=20,10b=50, ∴10a•10b=10a+b=20 50=1000=103, ∴a+b=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查同底数幂的乘法.熟练掌握运算法则是解题关键. 16.【考点】同底数幂的乘法;解一元一次方程.版权所有 【专题】计算题;运算能力. 【答案】2. 【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可. 【解答】解:∵22n+3+4n+1=192, ∴22n+3+22n+2=192, ∴2 22n+2+22n+2=192, ∴3 22n+2=192, ∴22n+2=64, ∴2n+2=6, ∴n=2. 故答案为:2. 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握. 17.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】计算题. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据幂的乘方,可得同底数幂的乘法,根据同底数的幂相等,可得指数相等,可得答案. 【解答】解:由题意,得 2•23x•24=25+3x=223, 5+3x=23, 解得x=6, 故答案为:6. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,利用幂的乘方得出同底数幂的乘法是解题关键. 18.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】72. 【分析】根据立方根的定义可得﹣0.5am,am=8,根据等式的性质可得a2n=9,再根据同底数幂的乘法法则计算即可. 【解答】解:∵(﹣0.5am)3=﹣64,2a2n=18, ∴﹣0.5am,a2n=9, 即am=8,a2n=9, ∴am+2n=am•a2n=8 9=72. 故答案为:72. 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法,熟记幂的运算法则是解答本题的关键. 19.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】都化成以2为底数的幂的运算,再根据同底数幂相乘,底数不变指数相加计算,然后求出2m+5n=﹣3,再根据负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数进行计算即可得解. 【解答】解:4m 32n, =22m 25n, =22m+5n, ∵2m+5n+3=0, ∴2m+5n=﹣3, ∴4m 32n=2﹣3. 故答案为:. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数的性质,要注意整体思想的利用. 20.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先将9x•27y变形为32x+3y,然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可. 【解答】解:∵2x+3y﹣5=0, ∴2x+3y=5, ∴9x•27y =32x•33y =32x+3y =35 =243. 故答案为:243. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,解答本题的关键在于将9x•27y变形为32x+3y. 21.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】计算题. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据科学记数法表示的数的运算,乘号前面的数相乘,乘号后面的数相乘,然后再写出科学记数法的形式. 【解答】解:(2 105)•(7 103)•(3 102) =(2 7 3) (105•103•102) =42 105+3+2 =42 1010 =4.2 1011. 故答案为:4.2 1011. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算,熟记同底数幂相乘,底数不变指数相加是解题的关键,要掌握科学记数法表示的数的运算. 22.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解. 【解答】解:(a+b)•(a+b)2•(a+b)n=(a+b)1+2+n=(a+b)3+n, ∴3+n=12, 解得:n=9. 故答案为:9. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则:am•an=a m+n(m,n是正整数). 23.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同底数幂的乘法法则:底数不变,指数相加,进行运算即可. 【解答】解:原式=(﹣3)100 (﹣3)﹣101 =(﹣3)100﹣101 =(﹣3)﹣1 . 故答案为:. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则,属于基础题,掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键. 24.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】计算题. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加对原式进行变形,可求得m、n的值,再把m、n的值代入所求代数式求值即可. 【解答】解:∵x3ym﹣1•xm+n•y2n+2=x9y9, ∴x3+m+nym﹣1+2n﹣2=x9y9, 可得3+m+n=9①, m﹣1+2n+2=9②, 由①②解得:m=4,n=2, ∴4m﹣3m=4 4﹣3 2=10. 故答案为:10. 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则,涉及到二元一次方程组的解法,熟练掌握各运算性质是解题的关键. 25.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同底数幂的乘法,即可解答. 【解答】解:22x+3﹣22x+1=384, 22x+1•(22﹣1)=384 22x+1 3=384 22x+1=128 22x+1=27 2x+1=7 x=3, 故答案为:3. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法. 26.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】(1)3,2; (2) 8; (3)4. 【分析】(1)据题意,由23=8,(﹣3)2=9可求得此题结果; (2)由( 8)2=64可得( 8,64)=2,从而得到此题结果是 4; (3)由42=16,23=8可得,a=16,b=2,又由24=16,可求得此题结果为4. 【解答】解:由已知:如果xn=y,那么我们记为:(x,y)=n.例如32=9,则(3,9)=2. (1)∵23=8,(﹣3)2=9, ∴(2,8)=3,(﹣3,9)=2, 故答案为:3,2; (2)∵( 8)2=64, ∴(8,64)=2或(﹣8,64)=2, ∴x= 8, 故答案为: 8; (3)∵42=16,23=8, ∴(4,16)=2,(2,8)=3, ∴a=16,b=2, 又∵24=16, ∴(b,a)=(2,16)=4. 【点评】此题考查了同底数幂的乘法,关键是能准确理解和运用新定义进行运算. 27.【考点】同底数幂的乘法;有理数的混合运算.版权所有 【专题】新定义;整式;运算能力. 【答案】(1)27; (2)x=1. 【分析】(1)根据所规定的运算进行作答即可; (2)根据所规定的运算进行作答即可. 【解答】解:(1)∵a*b=3a 3b, ∴1*2 =31 32 =3 9 =27; (2)∵2*(x+1)=81, ∴32 3x+1=34, 则2+x+1=4, 解得:x=1. 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法,有理数的混合运算,解答的关键是理解清楚题意,明确所规定的运算法则. 28.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】实数;运算能力. 【答案】(1)2;4;6;(2)logaMN;(3)loga25=6;loga125=9. 【分析】(1)根据题中定义求解即可; (2)设logaM=x,logaN=y,根据题中定义将对数式转化为指数式,利用同底数幂的乘法法则求解即可; (3)利用(2)中结论求解即可. 【解答】解:(1)∵22=4,24=16,26=64, ∴log24=2,log216=4,log264=6, 故答案为:2;4;6; (2)设logaM=x,logaN=y, 则ax=M,ay=N, ∴ax•ay=ax+y=MN,logaMN=x+y=logaM+logaN, 即logaM+logaN=logaMN, 故答案为:logaMN; (3)由(2)知,logaMN=logaM+logaN, ∵loga5=3, ∴loga25=loga5 5=loga5+loga5=3+3=6, loga125=loga25 5 =loga25+loga5 =6+3 =9. 【点评】本题考查同底数幂的乘法,理解题中定义,弄懂对数式与指数式的关系以及相互转化的关系是解答的关键. 29.【考点】同底数幂的乘法;合并同类项.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】(1)﹣2x6;(2)﹣(a﹣b)6. 【分析】(1)根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可; (2)根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可. 【解答】解:(1)(﹣x2)•x4+(﹣x2)3 =﹣x6+(﹣x6) =﹣x6﹣x6 =﹣2x6; (2)(a﹣b)2•(b﹣a)3•(a﹣b) =(a﹣b)2•[﹣(a﹣b)]3•(a﹣b) =(a﹣b)2•[﹣(a﹣b)3]•(a﹣b) =﹣(a﹣b)6. 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法,合并同类项,掌握运算法则是关键. 30.【考点】同底数幂的乘法;有理数的混合运算.版权所有 【专题】新定义. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据已知和同底数的幂法则得出即可; (2)根据已知得出3a=5,3b=6,3c=30,求出3a 3b=30,即可得出答案. 【解答】解:(1)(3,27)=3,(4,1)=0,(2,0.25)=﹣2, 故答案为:3,0,﹣2; (2)证明:∵(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c, ∴3a=5,3b=6,3c=30, ∴3a 3b=30, ∴3a 3b=3c, ∴a+b=c. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,有理数的混合运算等知识点,能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键. 31.【考点】同底数幂的乘法;列代数式.版权所有 【专题】猜想归纳;推理能力. 【答案】(1)59,a7; (2)①在第64格中应放263粒米, ②S=264﹣1. 【分析】(1)根据材料一进行求解; (2)①由题意可得,第n个格放2n﹣1粒米进行求解; ②根据材料二中的方法进行求解. 【解答】解:(1)由题意得,5 58=59,a2•a5=a7, 故答案为:59,a7; (2)(2)①由题意得,第一格放的米粒数为1=20; 第二格放的米粒数为2=21; 第三格放的米粒数为4=22; 第四格放的米粒数为8=23; …… ∴第n格放的米粒数为2n﹣1, ∴在第64格中应放263粒米, ②由题意得, S=1+2+22+23+……+263, 2S=2+22+23+……+264, ∴2S﹣S=264﹣1, 即S=264﹣1. 【点评】此题考查了同底数幂相乘新定义问题的解决能力,关键是能准确理解并运用定义和同底数幂相乘运算法则进行求解. 32.【考点】同底数幂的乘法;有理数的混合运算.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)12 3=1012 103=1015;4 8=104 108(1分)=1012; (2)因为(a+b) c=10a+b 10c=10a+b+c,a (b+c)=10a 10b+c=10a+b+c,即证明(a+b) c与a (b+c)相等. 【解答】解:(1)12 3=1012 103=1015; 4 8=104 108=1012; (2)相等,理由如下: ∵(a+b) c=10a+b 10c=10a+b+c, a (b+c)=10a 10b+c=10a+b+c, ∴(a+b) c=a (b+c). 【点评】本题考查了同底数幂运算,熟练运用公式是解题的关键. 33.【考点】同底数幂的乘法;有理数的混合运算;规律型:数字的变化类.版权所有 【专题】新定义;实数;运算能力. 【答案】(1)①125;②2;(2)355. 【分析】(1)①利用新运算的规定进行运算即可; ②将25变换为5 5=f(2)•f(2),再利用新运算的规定解答即可; (2)将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出3的幂的形式,再按照同底数幂的运算性质解答即可. 【解答】解:(1)①∵f(2)=5, ∴f(6)=f(2+2+2) =f(2)•f(2)•f(2) =5 5 5 =125; ②∵25=5 5=f(2)•f(2)=f(2+2), 又∵f(2n)=25, ∴f(2n)=f(2+2). ∴2n=4. ∴n=2. (2)∵f(2a)=f(a+a)=f(a)•f(a)=3 3=32, f(3a)=f(a+a+a)=f(a)•f(a)•f(a)=3 3 3=33, ••••••, f(10a)=310, ∴f(a)•f(2a)•f(3a)•…•f(10a) =3 32 33 ••• 310 =31+2+3+•••+10 =355. 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算,同底数幂乘法,数字的变化规律,本题是新定义型题目,连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键. 34.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】整式;运算能力. 【答案】(1)22021﹣2; (2). 【分析】(1)利用所给的方法进行求解即可; (2)利用所给的方法进行求解即可. 【解答】解:(1)2+22+23+……+22020 =22021﹣2; (2)设S=﹣3+32﹣33+⋯﹣32019+32020①, 将①式的两边同乘以3,得: 3S=﹣32+33+⋯+32019﹣32020+32021② ①+②得 4S=﹣3+32021, 则 . 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握. 35.【考点】同底数幂的乘法;规律型:数字的变化类.版权所有 【专题】新定义;整式. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)利用题中的新定义计算即可求出值; (2)利用题中的新定义计算即可求出值; (3)原式变形后,计算即可求出值. 【解答】解:(1)2③=2 2 2, ④. 故答案为:,4 (2)(﹣2)④=(﹣2) (﹣2) (﹣2) (﹣2), 5ⓝ. 故答案为:2,. (3)22018 4. 【点评】本题是有理数的混合运算,也是一个新定义的理解与运用;一方面考查了有理数的乘除法及同底数幂的乘法运算,另一方面也考查了学生的阅读理解能力. 36.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】新定义. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据M(n),可得M(5),M(6),根据有理数的加法,可得答案; (2)根据乘方的意义,可得M(2015),M(2016),根据有理数的加法,可得答案; (3)根据乘方的意义,可得M(n),M(n+1),根据有理数的加法,可得答案. 【解答】解:(1)M(5)+M(6)=(﹣2)5+(﹣2)6=﹣32+64=32; (2)2M(2015)+M(2016)=2 (﹣2)2015+(﹣2)2016=﹣(﹣2) (﹣2)2015+(﹣2)2016=﹣(﹣2)2016+(﹣2)2016=0; (3)2M(n)+M(n+1)=﹣(﹣2) (﹣2)n+(﹣2)n+1=﹣(﹣2)n+1+(﹣2)n+1=0, ∴2M(n)与M(n+1)互为相反数. 【点评】本题考查了同底数幂的乘法,利用了同底数幂的乘法,相反数的性质:互为相反数的和为零. 37.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】①先化为同底数幂相乘,再根据指数相等列出方程求解即可; ②先把2x+2化为2 2x+1,然后求出2x+1的值为8,再进行计算即可得解. 【解答】解:①原方程可化为,2 23x=27, ∴23x+1=27, 3x+1=7, 解得x=2; ②原方程可化为,2 2x+1+2x+1=24, ∴2x+1(2+1)=24, ∴2x+1=8, ∴x+1=3, 解得x=2. 【点评】本题考查了幂的乘方的性质,积的乘方的性质,是基础题,熟练掌握并灵活运用各性质是解题的关键. 38.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)由题意可S=2+22+23+…+2100①,将等式两边同时乘以2得到:2S=22+23+…+2101②,由②﹣①即可求得答案; (2)由4+12+36+…+4 340=4 (1+3+32+33+…+340),然后令S=4 (1+3+32+33+…+340)①,将等式两边同时乘以3得到:3S=4 (3+32+33+…+341)②,由②﹣①即可求得答案. 【解答】解:(1)令S=2+22+23+…+2100①, 将等式两边同时乘以2得到:2S=22+23+…+2101②, ②﹣①得:S=2101﹣2; (2)∵4+12+36+…+4 340=4 (1+3+32+33+…+340), 令S=4 (1+3+32+33+…+340)①, ∴将等式两边同时乘以3得到:3S=4 (3+32+33+…+341)②, ②﹣①得:2S=4 (341﹣1), ∴S=2 (341﹣1). 【点评】此题考查了同底数幂的乘法的应用.此题难度适中,注意理解题意,掌握解题方法. 39.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【专题】计算题. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am•an=am+n计算即可. 【解答】解:原式=xny•xn﹣1y2•xn﹣2y3…x2yn﹣1•xyn =(xn•xn﹣1•xn﹣2…x2•x)•(y•y2•y3…yn﹣1•yn) =xaya. 【点评】主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 40.【考点】同底数幂的乘法.版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】将原式化为同底数幂的相乘,即4,可得,解之可得. 【解答】解:∵()a•()b•()c=4, ∴()a•()b•()c=4, 4, ∴, 解得:a=b=2,c=2. 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法,熟练掌握同底数幂的运算法则是解题的关键. $$