精品解析：浙江省杭州市余杭区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024学年第一学期九年级期中学情评估 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟， 2.答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、姓名、座位号等． 3.所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】A、是二次函数，故本选项符合题意； B、是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 两数相加，和大于其中一个加数 B. 若x是实数，则 C. 射击运动员射击一次，命中8环 D. 两数相乘，同号得正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键． 【详解】解：A、两数相加，和大于其中一个加数，是随机事件，因为，而和0并不大于其中一个加数0，故不符合题意； B、若x实数，则，是随机事件，因为若，则不成立，故不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中8环，是随机事件，不符合题意； D、两数相乘，同号得正数，是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据形如的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：由抛物线可知其顶点坐标为； 故选：C． 4. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆O上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 先根据圆周角定理得，利用互余计算出，然后根据等边对等角即可解答． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选B． 5. 笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（，或）再经过第二道门（或）才能出去．已知松鼠可以任意选择一条路线出去，则松鼠通过路线出去的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查是用树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件∶树状图法适合两步或两步以上完成的事件∶正确画出树状图是解题的关键． 画树状图，即可得出答案． 【详解】解∶画树状图如下∶ 共有6种等可能的结果，先经过B门、再经过D门只有1种结果， 所以先经过B门、再经过D门的概率为， 故选∶B． 6. 二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数平移变换，正确记忆平移规律是解题关键．利用二次函数平移规律，左加右减，上加下减分析得出即可． 【详解】二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是，即． 故选：C． 7. 抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点问题、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式成为解题的关键． 根据题意可得方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程计算即可． 【详解】解：∵与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：A． 8. 如图，在以为直径的半圆O中，弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，连接，平行线的性质，得到，等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，利用圆周角定理，即可求出的度数． 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9. 小颖在研究二次函数（m为常数）性质时，有以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为，则m的值为3；④若，，则．则其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先利用配方法把解析式配成顶点式为，根据二次函数的性质得到可对①进行判断；令，解方程得m的值为3或，则可对③进行判断；计算方程的根的判别式得到，由于当时，，则抛物线与x轴有一个交点，从而可对③进行判断；利用得到，根据二次函数的性质得到．从而可对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以①正确； 当时，y有最小值， 若y的最小值为，则， 解得， 即若函数的最小值为，则m的值为3或，所以③错误； 当时，， ∵， ∴当时，，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点； 当时，，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点，所以②错误； ∵，， ∴， 而抛物线的开口向上， ∴．所以④正确． 故选：D． 10. 如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，连接交于点Q，设与交于点H，与交于点Q，根据题意可得是等边三角形，进而说明，再根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求得、可得，进而求得，最后求得即可解答． 【详解】解：如图，连接交于点Q，设与交于点H，与交于点Q， ∵点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点， ∴，，， ∴， 同理： ∴， ∴，， 同理：， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∵，垂直平分，， ∴，，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求出值是解题的关键． 代入，求出值，进而可得出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】把时代入， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 12. 已知一个箱子里放有3个白球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同．现在从箱子中任意摸出一个球，是黑球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用，由一个箱子里放有3个白球和2个黑球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：∵一个箱子里放有3个白球和2个黑球，共个球， ∴从箱子中任意摸出一个球是黑球的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在半圆中，直径，半圆上一点，于点，若，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，连接，，证明，推出可得结论，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ， ∴， ， ∴， ∵， ， 故答案为：． 14. 已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如下表所示： x 0 1 4 y 则该二次函数的对称轴是直线________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．根据表格可得当时的函数值与当时的函数值相等，由此即可得． 【详解】解：由表格可知，当时的函数值与当时的函数值相等， 则该二次函数的对称轴是直线， 故答案为：2． 15. 如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；也考查了勾股定理．过O点作于H点，连结，如图，根据垂径定理得到，设，则，再利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可． 【详解】解：过O点作于H点，连结，如图，则 设，则， 在中， 中，， ， 解得，或 即小圆半径是． 故答案为：． 16. 如图，抛物线交x轴于，两点．P是y轴上一点，过点P作一条平行于x轴的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在左边，点D在右边）．若，则点C的横坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，坐标与图形． 把，两点代入，求得，得对称轴为直线，设，，根据，得，解得，或． 详解】解：把，代入， 得， 解得， ∴该抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 设, ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，或， 解得，或． 故答案：或． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知：二次函数表达式为．求该二次函数图象的顶点坐标以及与x轴的交点坐标． 【答案】顶点坐标，与x轴的交点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，将与x轴交点的问题转化为一元二次方程是解答本题的关键． 把二次函数解析式化为顶点式，即可确定顶点坐标；再令得到，然后解出方程即可确定与x轴的交点的坐标． 【详解】解： ∴顶点坐标． 令得到，解得，． ∴与x轴的交点坐标为或． 18. 已知抛物线的顶点坐标为．且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点不在抛物线上．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质． （1）设抛物线顶点式，将代入解析式求解． （2）将代入得，，由此判断即可． 【小问1详解】 解：抛物线顶点为， 设， 将代入得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 点不在抛物线上． 理由是： 将代入得，， 点不在抛物线上． 19. 一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． （1）求这三个连续的自然数． （2）在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 【答案】（1）三个连续的自然数是4，5，6 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）设这三个连续的自然数分别为， 根据题意可列方程为， 求出的值，即可得出答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两数之积大于20的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵两数的积的最大值是30且三个自然数是连续的，设这三个数是，x，，则， 解得（舍去），， ∴较大的两个数是5和6． 则三个连续的自然数是4，5，6． 【小问2详解】 树状图如下： ∴ 20. 如图，在的方格纸中，，，均为格点， 按要求画图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角； ②保留必要的画图痕迹； ③标注相关字母． （1）找出过，，三点的圆的圆心，连接，． （2）在上找到点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，网格问题，关键是掌握所学的知识，正确的作出图形． （1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，连接，分别作它们的垂直平分线，交点即为点； （2）令的垂直平分线与的交点为，连接，则为的中点，，又由圆周角定理，因此可得． 【详解】（1） 如上图所示：点即为所求． （2） 如上图所示：点即为所求． 21. 已知函数． （1）请在下边网格内，画出该函数的大致图象； （2）请根据该函数图象写出时的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了画抛物线的图象，利用图象法求不等式解集，熟练掌握画抛物线的图象的方法和利用图象法求不等式解集． （）利用列表，描点，再连线即可画图； （）根据图象进行求解即可； 【小问1详解】 解：列表： 描点； 连线，如图所示， 【小问2详解】 解：由函数图象得：当时，的取值范围是． 22. 如图，锐角内接于，D是的中点，连结，已知． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，平行线的性质： （1）由D是的中点，得．由得，进而得出，即可证明； （2）由，可得，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何拼制“花朵” 素材1 如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦，等腰直角三角形②，都含角的不规则图形③、直角梯形④、不规则图形⑤，圆⑥组成．已知半圆①的直径是2，，． 素材2 如图2，矩形内，上面这个智力七巧板恰好能拼成“一朵花”的形状． 问题解决 任务1 探究板块大小 根据素材1，求和的长． 任务2 拟定摆放方法 在图2这朵花中，请你分割出七块板的摆放方法（一种即可），并标上序号． 任务3 确定花朵大小 求矩形的周长． 【答案】任务1：， 任务2：见解析 任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰梯形，平行四边形的判定与性质，圆的有关性质，本题是操作型题目，熟练掌握矩形与等腰直角三角形的性质是解题的关键． 任务1：过点K作垂线，交于点M，交于点L 利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质解答即可； 任务2：利用花朵的特征与现代智力七巧板的特征分割解答即可； 任务3：利用任务1的线段长度求出矩形的边长，的长度，再利用矩形的周长公式解答即可． 【详解】解：任务1．∵半圆①的直径是2， ∴，． ∴． 过点K作的垂线，交于点M，交于点L，如图所示． ∵， ∴， ∴， ∴． 任务2．答案不唯一，分割出一种方法即可． 任务3．根据花朵的轴对称性以及由任务1的解答可知 ，， ∴矩形的周长为． 24. 如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点． （1）用含的代数式表示的值； （2）若． ①求该抛物线的函数解析式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ②存在；或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题，列代数式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由题意得，点，将点的坐标代入一次函数解析式即可； （2）①，抛物线的对称轴为直线，则，可求点，将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解方程即可求出m值，即可求出抛物线的表达式； ②将共高三角形面积的比化为高的比，即，即，解得，则，解得或，所以点或． 【小问1详解】 解：由题意得，点，抛物线的对称轴为直线， 将点的坐标代入一次函数解析式得：； 【小问2详解】 解：①，抛物线的对称轴为直线，则， 当时，，即点， 将点的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得或． 当时，，不合题意，舍去，则，，即点， 所以抛物线的解析式为． ②因为的面积和的面积比是，且和的底均为， 所以面积的比等于高的比，即，即，解得， 所以，解得或，所以点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级期中学情评估 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟， 2.答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、姓名、座位号等． 3.所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A B. C. D. 2. 下列选项中事件，属于必然事件的是（ ） A. 两数相加，和大于其中一个加数 B. 若x是实数，则 C. 射击运动员射击一次，命中8环 D. 两数相乘，同号得正数 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆O上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（，或）再经过第二道门（或）才能出去．已知松鼠可以任意选择一条路线出去，则松鼠通过路线出去的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（ ） A. 9 B. C. D. 8. 如图，在以为直径的半圆O中，弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 小颖在研究二次函数（m为常数）性质时，有以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为，则m的值为3；④若，，则．则其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 10. 如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标是________． 12. 已知一个箱子里放有3个白球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同．现在从箱子中任意摸出一个球，是黑球的概率为________． 13. 如图，在半圆中，直径，半圆上一点，于点，若，则的长是________． 14. 已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如下表所示： x 0 1 4 y 则该二次函数的对称轴是直线________． 15. 如图，在以点O为圆心两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是________． 16. 如图，抛物线交x轴于，两点．P是y轴上一点，过点P作一条平行于x轴的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在左边，点D在右边）．若，则点C的横坐标是________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知：二次函数表达式为．求该二次函数图象顶点坐标以及与x轴的交点坐标． 18. 已知抛物线的顶点坐标为．且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 19. 一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． （1）求这三个连续的自然数． （2）在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 20. 如图，在的方格纸中，，，均为格点， 按要求画图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角； ②保留必要的画图痕迹； ③标注相关字母． （1）找出过，，三点的圆的圆心，连接，． （2）在上找到点，使得． 21. 已知函数． （1）请在下边网格内，画出该函数的大致图象； （2）请根据该函数图象写出时的取值范围． 22. 如图，锐角内接于，D是的中点，连结，已知． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何拼制“花朵” 素材1 如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦，等腰直角三角形②，都含角的不规则图形③、直角梯形④、不规则图形⑤，圆⑥组成．已知半圆①的直径是2，，． 素材2 如图2，矩形内，上面这个智力七巧板恰好能拼成“一朵花”的形状． 问题解决 任务1 探究板块大小 根据素材1，求和的长． 任务2 拟定摆放方法 在图2这朵花中，请你分割出七块板的摆放方法（一种即可），并标上序号． 任务3 确定花朵大小 求矩形的周长． 24. 如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点． （1）用含的代数式表示的值； （2）若． ①求该抛物线的函数解析式； ②在直线下方抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $