精品解析：福建省福州市福清市2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷

2024—2025学年度第一学期九年级校内期中质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟：满分：150分） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程x2﹣4＝0的根为（ ） A. x＝2 B. x＝ C. x1＝2，x2＝﹣2 D. x1＝，x2＝﹣ 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．当恰好落在上时，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程(   ) A. 100(1+x)=196 B. 100(1+2x)=196 C. 100(1+x2)=196 D. 100(1+x)2=196 7. 已知抛物线与轴一个交点为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“美好数”．例如：因为，所以2是“美好数”．已知（其中x，k是整数），若S为“美好数”，则下列k的值中符合要求的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. “七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，都在抛物线上，若时，总有，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若一元二次方程有一个解为，则______． 12. 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为______． 13. 若抛物线的开口向上，则m的取值范围是______． 14. 如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为______． 15. 在平面直角坐标系中，以为旋转中心，将点按逆时针方向旋转得到点Q，则点Q的坐标是______． 16. 如图，四边形的对角线与相交于点O，若，，则四边形面积的最大值为______． 三、解答题（本题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 解方程：． 18. 如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标； （2）若是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______． 19. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且，连接，求的度数． 20. 某校组织“学生男子篮球比赛”活动，比赛采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要比赛一场），共安排了28场比赛，问：共有多少支球队参加比赛? 21. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． （1）求A，C两点的坐标； （2）直线 （t为常数）与抛物线相交于M，N，若，求t的值． 22. 如图，在中，，．点P是BC边上一点，将绕点A逆时针旋转． （1）作出旋转后的图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求AP的长． 23. 已知关于x方程． （1）若，试判断该方程根的情况并说明理由； （2）若，、是方程的两个根，且两根之差为1，求的值． 24. 随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全?”为解决这一困惑．小组成员分上开展活动： 成员小金查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如下表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．） 某型号汽车行驶速度x（m/s）与刹车距离y（m）的关系 行驶速度（） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（） 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57 （1）任务1： 小金认为该型号汽车的行驶速度（）与刹车距离（）之间存在函数关系，请你协助小金画出函数图像，并直接写出该函数解析式． （2）任务2： 成员小芳发现小区门口路段限速．请你帮小芳计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全? （3）任务3： 实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离．是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案?小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足．你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“2秒定律”的适用范围． 25. 如图1，在菱形中，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段．平分交射线于点F，连接，． （1）求的度数； （2）当时，探究，，之间的数量关系并证明； （3）如图2，若，点M为中点，连接，．当M，A，C三点共线时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期九年级校内期中质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟：满分：150分） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形：一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形沿着某个点旋转后能与原图形完全重合的图形，依次分析即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2. 方程x2﹣4＝0的根为（ ） A. x＝2 B. x＝ C. x1＝2，x2＝﹣2 D. x1＝，x2＝﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】将方程移项直接开平方即可． 【详解】解：x2﹣4＝0， ， ∴x1＝2，x2＝﹣2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查运用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键． 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键． 直接根据函数图象平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线的解析式是． 故选B． 4. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到．当恰好落在上时，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键． 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式的顶点坐标为，即可得出结论． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标问题，掌握二次函数的顶点式的特征是解题的关键． 6. 人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程(   ) A. 100(1+x)=196 B. 100(1+2x)=196 C. 100(1+x2)=196 D. 100(1+x)2=196 【答案】D 【解析】 【分析】设月平均增长率为x，分别表示出四、五月份的销售量，根据五月份的销售量列式即可. 【详解】解：设月平均增长率为x，则四月份销售量为100（1+x）, 五月份的销售量为： 100（1+x）2=196. 故答案为D 【点睛】本题考查了列一元二次方程，理清题中等量关系是列方程的关键. 7. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 将交点代入二次函数解析式，可得，将该式略作变形即可得出答案． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故选：． 8. 若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“美好数”．例如：因为，所以2是“美好数”．已知（其中x，k是整数），若S为“美好数”，则下列k的值中符合要求的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，新定义问题，解题的关键是理解题中“美好数”的形式． 利用“和平数”的形式（a，b是整数）来表示，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，不符合“美好数”的形式，不符合题意； B、当时，，不符合“美好数”的形式，不符合题意； C、当时，，符合“美好数”的形式，符合题意； D、当时，，不符合“美好数”的形式，不符合题意； 故选：C． 9. “七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，垂直平分交于点，为圆心，连接，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：如图，垂直平分交于点，圆心，连接， ∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴该圆的半径长是， 故选：C． 10. 已知点，，都在抛物线上，若时，总有，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的增减性等知识点，画出图象并运用数形结合分析是解题的关键． 由抛物线解析式可知对称轴为直线，抛物线开口向上，且抛物线过原点，画出图象对的取值进行分析，当时，；当时，；当时，，则必须满足，解得，然后再结合选项判断即可． 【详解】解：由抛物线解析式可知对称轴为直线，抛物线开口向上，且抛物线过原点． ∵，可知点在对称轴的右侧， ∴如图所示：当时，则，不满足题意，故， 当时，；当时，；当时，， ∵时，总有，则点必在对称轴的左侧， 则必须满足，解得，故A、C、D都不符合． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若一元二次方程有一个解为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算． 将代入方程，即可求解． 【详解】解：依题意，将代入方程， 得， 解得：， 故答案为：3． 12. 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键． 直接利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的性质进行推导即可解答． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形，， ， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 若抛物线的开口向上，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，由开口方向进行解题． 由二次函数的开口向上，得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ∵抛物线的开口向上， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，以为旋转中心，将点按逆时针方向旋转得到点Q，则点Q的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，三角形全等的判定和性质，过点A作轴，过点P，作于点C，过点Q作于点B，根据，，得出，，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴，过点P，作于点C，过点Q作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即 故答案为：． 16. 如图，四边形的对角线与相交于点O，若，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，解题的关键是作出三角形的高并且用代数式表示出三角形的面积．作于点，于点，设则，则四边形面积为，得，再由二次函数的最值公式求值即可． 【详解】如图，作于点，于点， ∵， ∴， ∴， 设则，设四边形面积为 ∴ ， 当时，有最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ，． 18. 如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）作出关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标； （2）若是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为______． 【答案】（1）作图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换、旋转的性质、中心对称的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可解答； （2）如图：连接，并分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕着点P逆时针旋转得到的，然后得到点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求．由图可得：． 【小问2详解】 解：如图：连接，并分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕着点P逆时针旋转得到的， ∴这个点的坐标为． 故答案为：． 19. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且，连接，求的度数． 【答案】45° 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握同弧所对的圆周角相等成为解题的关键． 由圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵与均为所对的圆周角， ∴． 20. 某校组织“学生男子篮球比赛”活动，比赛采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要比赛一场），共安排了28场比赛，问：共有多少支球队参加比赛? 【答案】共有8支队伍参加比赛 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有支球队参加比赛，根据计划安排28场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 详解】解：设共有x支队伍参加比赛 依题意得，，即 ， ∴， （不合题意，舍去） 答：共有8支队伍参加比赛． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． （1）求A，C两点的坐标； （2）直线 （t为常数）与抛物线相交于M，N，若，求t的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入抛物线解析可得．当时，得，解得，，从而，当时，，即可求出点C的坐标； （2）由（1）得抛物线的解析式为，进而得抛物线的对称轴为，根据得，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，，， ∴，， ∴． 当时，， ∴． 【小问2详解】 解∶由（1）得抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∵ ∴不妨设M位于N的左边，则， ∴ 把代入中，得． 22. 如图，在中，，．点P是BC边上一点，将绕点A逆时针旋转． （1）作出旋转后的图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求AP的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接即可解答； （2）如图：连接，由题意得．由旋转得，则可得．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，然后解答即可． 【小问1详解】 解：如图∶即为所求． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴ 由旋转可知， ∴，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，即，解得：． 23. 已知关于x的方程． （1）若，试判断该方程根的情况并说明理由； （2）若，、是方程的两个根，且两根之差为1，求的值． 【答案】（1）当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）先计算出根的判别式的值得到，利用根的判别式的意义得到当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程没有实数解，然后分别解不等式和方程即可； （2）设，原方程化为，利用因式分解法据解方程得到，，则，然后把t的值代入中计算即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴当，即当时，方程有两个不相等的实数根； 当，即当时，方程有两个相等的实数根； 当，即当时，方程没有实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， ∴原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴. 24. 随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全?”为解决这一困惑．小组成员分上开展活动： 成员小金查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如下表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．） 某型号汽车行驶速度x（m/s）与刹车距离y（m）的关系 行驶速度（） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（） 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57 （1）任务1： 小金认为该型号汽车的行驶速度（）与刹车距离（）之间存在函数关系，请你协助小金画出函数图像，并直接写出该函数解析式． （2）任务2： 成员小芳发现小区门口路段限速．请你帮小芳计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全? （3）任务3： 实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离．是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案?小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足．你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“2秒定律”的适用范围． 【答案】（1）见解析， （2）至少保持米车距才能保障道路安全 （3）不适用，“2秒定律”的适用范围为（或） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）按照描点、连线的步骤画出函数图像，结合表格中数据确定该函数解析式即可； （2）首先确定，故当时，可有，即可确定答案； （3）由图像可知，当图像位于图像下方时，意味着与前车距离充足，即适用于“2秒定律”；当图像位于图像上方时，意味着与前车距离不足，即不适用“2秒定律”，联立与并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：描点、连线，如图所示， 设该函数解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 ， 当时，， ∴如果以最高限速60km/h行驶，至少保持米车距才能保障道路安全； 【小问3详解】 不适用 由图像可知，当图像位于图像下方时， 意味着与前车距离充足，即适用于“2秒定律”； 当图像位于图像上方时， 意味着与前车距离不足，即不适用“2秒定律”， 联立与可得：， 整理可得， 解得，， 由图像可知，当时，图像位于图像下方， ∵， ∴“2秒定律”的适用范围为（或）． 25. 如图1，在菱形中，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段．平分交射线于点F，连接，． （1）求度数； （2）当时，探究，，之间的数量关系并证明； （3）如图2，若，点M为中点，连接，．当M，A，C三点共线时，求的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，结合旋转可得，，再利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可得结论； （2）在上截取，连接，记的交点为，证明．可得．作于H．则在中，．由勾股定理得：，证明，再进一步可得结论； （3）连接，，．证明为等边三角形，．可得，当M、A、C三点共线，可得，，是等边三角形．证明， 可得．证明点B、D、F在上，可得，，作交的延长线于点K，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解： ∵四边形是菱形 ∴，． 由旋转得：，． ∴，，． ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在上截取，连接，记的交点为． 由旋转得：，． 由（1）得，． ∴． ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． 作于H．则在中，． 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴ 【小问3详解】 解：连接，，． 由（1）得，． ∵平分， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形，． ∵点M为中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴垂直平分，，， ∵M、A、C三点共线， ∴，，是等边三角形． ∴，， 由等边三角形的性质可得：， ∴． ∴， 而， ∴，则点B、D、F在上， ∴， ∴ 作交的延长线于点K， ∴． ∴． 在中，． 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$