精品解析：山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期期中考试 九年级 数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将其字母标号填入下表相应题号的空格内） 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A B. C. D. 3. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，将绕点按顺时针旋转后得到．此时点在边上，则旋转角的大小为( ) A. B. C. D. 7. 抛物线经过平移可以得到抛物线，则下列平移方法正确的是（ ） A. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度 D. 先向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度 8. 流行性感冒传染迅速，每轮传染中平均一人可传染人，若开始时有一人患病，经过两轮传染后共有100人患病，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请把正确答案填在题中横线上） 11. 在平面直角坐标系内，点A（a，﹣3）与点B（1，b）关于原点对称，则a+b值_________． 12. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 13. 如图，是⊙的直径，点C，D都在⊙上，且，，若，则的长为_______． 14. 将一条长为的铁丝剪成两段，并分别围成正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________． 15. 如图、在平面直角坐标系中、点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点A的对应点刚好落在的延长线上，则点的对应点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在格点上． （1）画出平面直角坐标系，使的顶点A，，的坐标分别为，，； （2）画出绕点旋转得到的（点A，的对应点分别为点，）； （3）若将绕点旋转可以得到，请在图中标出点，并写出在（1）的平面直角坐标系中点的坐标． 18. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分面积为，求原正方形空地的边长． 19. 如图，是的直径，点，在上，且平分．若，求的度数． 20. 小爱学习了二次函数后，对函数进行了探究，在经过列表、描点、连线的步骤后，得到如图所示的函数图象，请根据该函数图象回答下列问题： （1）观察探究： 写出该函数的一条性质：________； 方程解为________； 若方程有四个实数根，则的取值范围是________． （2）延伸思考： 函数图象经过怎样的平移可得到函数的图象？请写出平移的过程． 21. 春节期间，某水产品超市以30元/千克的价格购进一批鲜虾，调查发现：如果按40元/千克的价格出售，一周可以售出600千克，售价每千克每上涨1元，每周就会少售出50千克．设售价为元/千克，一周获得的利润为元． （1）写出与之间的函数解析式． （2）当售价定为多少时，每周获得利润最大？为多少？ 22. 综合与实践 操作发现： 已知四边形是正方形，在同一平面内，将等腰直角三角尺（，）按如图1所示的方式放置，点在边上，连接，． （1）图1中与之间的数量关系是 ； （2）如图2，将三角尺绕点顺时针旋转，使点，，在同一条直线上．写出此时与之间的位置关系，并说明理由； 问题解决： （3）在（2）中，若，，求线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D． （1）求点A，B，C的坐标． （2）求直线的函数表达式． （3）在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期中考试 九年级 数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将其字母标号填入下表相应题号的空格内） 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项符合题意； D、是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选： C． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再提取公因式，即可得出答案. 【详解】 解得：x=0或x=1 故选C. 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，比较简单，需要熟练掌握解一元二次方程的几种方法. 3. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等边对等角，弧、弦的关系，熟练掌握弧、弦的关系是解题的关键，由，得．进而利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解。 【详解】解：∵， ∴． ∴， 故选:B 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况 详解】解：∆， 所以方程无实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2-4ac；当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根． 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点．根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 6. 如图，在中，，，将绕点按顺时针旋转后得到．此时点在边上，则旋转角的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形的内角和进行角的运算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴∠B=59°， ∵将绕点按顺时针旋转后得到， ∴∠BCD是旋转角，， ∴BC=DC， ∴∠CDB=∠B=59°， ∴∠BCD=180°−∠CDB−∠B=62°， 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形的内角和，解题的关键是找到旋转角并熟练运用旋转的性质求解． 7. 抛物线经过平移可以得到抛物线，则下列平移方法正确的是（ ） A. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度 D. 先向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：抛物线经过平移可以得到抛物线， ∴ 平移方式为：先向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度， 故选：B． 8. 流行性感冒传染迅速，每轮传染中平均一人可传染人，若开始时有一人患病，经过两轮传染后共有100人患病，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用一元二次方程解决实际问题，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数为，故可得方程． 【详解】解：根据题意，得第一轮传染后的患病人数是， 第二轮传染后患病人数是， 则可得方程，即， 故选：A． 9. 从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以求得抛物线的解析式，从而可以求得点B的坐标，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3， 2.25=a（0-1）2+3， 解得a=-0.75， ∴y=-（x-1）2+3， 当y=0时，-（x-1）2+3=0， 解得，x1=-1，x2=3， ∴点B的坐标为（3，0）， ∴OB=3， 答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数图象与性质判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线的对称轴为直线， ． ． 由图象可知当时，， ． ，选项A错误． 由图象可知抛物线与轴有两个交点， ． ，选项B错误． 抛物线的对称轴为直线， ． ． ，选项C正确． 抛物线的对称轴为直线， 当和时，的值相等． 当时，． 当时，，选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数图象与性质，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请把正确答案填在题中横线上） 11. 在平面直角坐标系内，点A（a，﹣3）与点B（1，b）关于原点对称，则a+b的值_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据点关于原点对称的坐标特点即可完成． 【详解】∵点A（a，﹣3）与点B（1，b）关于原点对称 ∴ ∴ 故答案为：2 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，求代数式的值；掌握这个特征是关键． 12. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据函数解析式的可得抛物线开口向下，对称轴为直线，根据3点与对称轴的距离求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵，∴当时，随增大而减小． ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是⊙的直径，点C，D都在⊙上，且，，若，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是本题的关键． 先根据圆周角定理，得，再证明是等边三角形即可． 【详解】解：， ． ， ． 又， 是等边三角形． ． ． 故答案为：． 14. 将一条长为的铁丝剪成两段，并分别围成正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意得出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：设其中一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，两个正方形的边长分别为，． 设两个正方形的面积之和为，则． ∵， ∴当时，取得最小值，为． 故答案为：． 15. 如图、在平面直角坐标系中、点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点A的对应点刚好落在的延长线上，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交轴于点，过点作轴于点，本题先通过证明，从而根据内错角相等两直线平行，证明轴，得出，再根据等腰三角形的三线合一，可得，即可解答 【详解】如图，连接，交轴于点，过点作轴于点． 由旋转，得，，． ， ． ，， ，． ． ． 垂直平分． ． ． ． 轴． ． ． ， ，． ． 点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的“三线合一”的性质，“内错角相等两直线平行线”的判定方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：移项，得． 配方，得，即． ∴． ∴，． 【小问2详解】 解：，，． ． ∴． ∴，． 17. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在格点上． （1）画出平面直角坐标系，使的顶点A，，的坐标分别为，，； （2）画出绕点旋转得到的（点A，的对应点分别为点，）； （3）若将绕点旋转可以得到，请在图中标出点，并写出在（1）的平面直角坐标系中点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）作图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）以点C向下2个单位为坐标原点建立平面直角坐标系即可； （2）根据网格结构找出点，的位置，再与点C顺次连接即可； （3）根据旋转的性质，连接对应点、 、，交点即为旋转中心M． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示； 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：如图，点的坐标为 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键． 18. 如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分面积为，求原正方形空地的边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设原正方形空地的边长为，则剩余部分长，宽，根据剩余部分面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分长，宽，， 依题意得： 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：原正方形空地的边长为． 19. 如图，是的直径，点，在上，且平分．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可求得的度数，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，可求得的度数，根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案． 【详解】∵，平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论，牢记圆周角定理及其推论是解题的关键． 20. 小爱学习了二次函数后，对函数进行了探究，在经过列表、描点、连线的步骤后，得到如图所示的函数图象，请根据该函数图象回答下列问题： （1）观察探究： 写出该函数的一条性质：________； 方程的解为________； 若方程有四个实数根，则的取值范围是________． （2）延伸思考： 函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？请写出平移的过程． 【答案】（1）函数图象关于轴对称（答案不唯一） ，， （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到函数的图象 【解析】 【分析】本题考查函数图象的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系，掌握函数图象的平移规律． （1）由图象关于轴对称求解； 根据图象时的值求解； 将方程化为函数图象与直线的交点问题求解； （2）根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【小问1详解】 解：由图象可得图象关于轴对称， 故答案为：由图象可得图象关于轴对称（答案不唯一）； 由图象可得，，时，， 故答案为：，，； 由图象可得时，图象与直线有个交点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到函数的图象． 21. 春节期间，某水产品超市以30元/千克的价格购进一批鲜虾，调查发现：如果按40元/千克的价格出售，一周可以售出600千克，售价每千克每上涨1元，每周就会少售出50千克．设售价为元/千克，一周获得的利润为元． （1）写出与之间的函数解析式． （2）当售价定为多少时，每周获得的利润最大？为多少？ 【答案】（1） （2）当售价定为41元/千克时，每周获得的利润最大，为6050元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得出关于的函数解析式即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． ∵， ∴当时，有最大值，为6050． 答：当售价定为41元/千克时，每周获得的利润最大，为6050元． 22. 综合与实践 操作发现： 已知四边形是正方形，在同一平面内，将等腰直角三角尺（，）按如图1所示的方式放置，点在边上，连接，． （1）图1中与之间的数量关系是 ； （2）如图2，将三角尺绕点顺时针旋转，使点，，在同一条直线上．写出此时与之间的位置关系，并说明理由； 问题解决： （3）在（2）中，若，，求线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）线段的长为3 【解析】 【分析】（1）由正方形可得，，再根据可得，再根据全等三角形的性质可得结论； （2）先利用证明，然后根据全等三角形的性质可得结论； （3）设，利用勾股定理求出解题即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：四边形是正方形， ， ， ． ，即． 在和中 ， ． ，即． （3）如图，连接 由（2），得， ． 设． 中，， ． ． 四边形是正方形， ， 由（2），得， ． ，即． 解得，（不合题意，舍去）． 线段的长为3． 【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D． （1）求点A，B，C的坐标． （2）求直线的函数表达式． （3）在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A，B，C的坐标分别为，， （2） （3）在抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据当时，可得，解一元二次方程即可得出点A、B的坐标，根据当时，即可得点C的坐标； （2）如图，过点D作轴于点E，先利用勾股定理的逆定理判断出，再根据轴对称的性质、平行线分线段成比例可得为的中位线，从而可得，然后利用待定系数法求解即可； （3）分点P在下方和上方两种情况，分别再根据平行线的性质、等腰三角形的三线合一分别求出与平行的直线，然后结合二次函数和一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，解得，． ∵点B在点A的右侧， ∴点A，B的坐标分别为，； 当时，， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点D作轴于点E． ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 又∵将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D， ∴A，C，D三点在一条直线上． 由轴对称的性质，得，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 设直线的函数表达式为， 则解得， ∴直线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：在抛物线上存在点P，使． ①如图：当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点C，P的纵坐标相等， ∴点P的纵坐标为． 令，则，解得，（舍去）， ∴． ②如图：当点P在上方时， 由（2）可知，A，C，D三点在一条直线上，，， ∴， ∴， ∴ 设直线的函数表达式为． ∵点C的坐标为， ∴， ∴直线的函数表达式为． 当时，解得，（舍去）， ∴点P的横坐标为， ∴． 综上所述，在抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合、折叠的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$