复习01 空间向量及其应用（十一大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习01 空间向量及其应用 知识点 1 ：空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. 3．空间向量的有关概念 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量 单位向量：长度(或模)为1的向量 零向量：长度(或模)为0的向量 相等向量：方向相同且模相等的向量 知识点 2 ：空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ，使得 推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使（其中）. 2.共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使； 或对空间任意一点O，有. 3.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底； （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作为基向量. 4.空间向量的运算 设， 则，，， ，， ，. 知识点 3 ：利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 知识点 4 ：利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 知识点 5 ：利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 考点01 空间共线向量与共面定理的应用 【方法点拨】对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 例1．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 例2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数x，y，使得成立， 则显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确. 故选：D. 变式1-1．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，其中，，则的最大值为 ． 【答案】// 【详解】由空间向量共面定理可得，即， 又，解得， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 故答案为：. 变式1-2．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 变式1-3．如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且．请建立适当的空间直角坐标系，然后证明： (1)； (2)，，共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 由、分别是、的中点， 则，， ，， ， ， 即； （2）由（1）中建立的空间直角坐标系得，，，， ，， 又， ， ，，共面． 考点02 空间向量基本定理 【方法点拨】（1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有, 例3．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 例4．已知，,,，用，，表示. 【答案】 【详解】由题意得，，不共面，设， 即， 所以，解此方程组得， 所以. 变式2-1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 变式2-2．六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，设中点为， 则， 所以， 故选：D. 变式2-3．如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 【答案】1 【详解】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1 考点03 空间向量的数量积、夹角、模长运算 【方法点拨】在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 例5．已知不共面的三个单位向量，，两两之间的夹角均为，，. (1)求证：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以，即. （2）因为， 又，则， ，则， 所以. 例6．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 变式3-1．在平行六面体中，一以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，，如图， 则， 因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 变式3-2．设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 【答案】 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 变式3-3．如图，已知在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，且､则 . 【答案】 【详解】平行六面体中，， . 故答案为：． 考点04 利用空间向量证明平行问题 例7．（多选）已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是，；，，是三个不同平面，法向量分别是，，，下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，，可知平面，同时垂直于平面， 但是无法确定平面与平面的位置关系，故A错误； 对于B，若，，可知，，则或，故B错误； 对于C，若，，可知或，或， 但是无法确定m，n的位置关系，故C错误； 对于D，若，，可知，垂直于同一直线的两个平面平行，故D正确； 故选：ABC. 例8．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，D可能满足直线与平面平行． 故选：D． 变式4-1．（多选）如图，在正方体中，为底面的中心，分别为的中点，点满足，则（   ） A．平面 B．平面 C． D．四点共面 【答案】ABD 【详解】以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体棱长为2，则,,， 则，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 因为，且平面，所以平面，故A正确； 因为，平面，所以平面，故B正确； 因为，，，， 所以，故C错误； 因为， 所以，即， 所以，，所以， 所以，所以四点共面，故D正确. 故选：ABD 变式4-2．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 变式4-3．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 考点05 利用空间向量证明垂直问题 例9．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则. 故选：B 例10．如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 变式5-1．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 变式5-2．已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 变式5-3．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 考点06 求两异面直线所成角 【方法点拨】用空间向量法求异面直线夹角的步骤： ①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 例11．正三棱台中，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，过点做，是中点， 因为，分别为，的中点，所以，所以, 因为所以， 所以，因为正三棱台中，三个侧面是全等的等腰梯形， 所以， 所以，， 又因为，， 所以， 设异面直线，所成角为 所以. 故选：C. 例12．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，设， ，，于是， 整理得，显然点不能在坐标轴上，否则， 当时，， 而，无解，即点不能在棱上； 当时，， 若，则；若，则无解；若，则， 于是点不能在棱上，可以在棱上； 当时，， 若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上， 所以可以在棱上，点P的个数为3. 故选：B 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角的求法建立等式，分类讨论求解. 变式6-1．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 变式6-2．在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径， 所以， ，所以， 所以，所以， 所以， ， 设与所成角为，则， 整理得，所以外接球的表面积为. 故选：A    【点睛】方法点睛： 求解外接球有关问题，关键是找到球心并计算出半径；求解异面直线所成的角，可以利用几何法来求解，也可以利用向量法来进行求解. 变式6-3．在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，是棱上一点（不含端点），满足．若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】取中点，连接， 因为四边形是菱形，，所以均为等边三角形， 又因为为中点，所以， 又因为，所以， 以为坐标原点，以方向为轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系： 设， 所以， 设，所以， 所以，所以，， 所以， 化简可得，所以， 所以，所以，所以， 故选：C. 考点07 求直线与平面所成角 【方法点拨】用空间向量法求线面夹角的步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 例13．在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图建立空间直角坐标系， 所以，，， ，，， ， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以, 因为，所以当时，正弦值最大，且最大值为. 故选：. 例14．如图，在多面体中，，，. (1)证明：平面平面. (2)若是线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，取的中点，连接. 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以是等腰三角形，同理得是等腰三角形， 可得， 又，所以，所以. 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （2）以为原点，为基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设为平面的一个法向量， ，令，得. 设与平面所成的角为， 则， 所以， 解得或（舍去）， 以，则. 变式7-1．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方体的棱长为2，建立如图空间直角坐标系. 则，设， 得， 设平面的法向量为， 得，取，得， 所以 ， 因为，所以在上单调递减， 且， 由复合函数的单调性可知在单调递增， 所以的值在时是随着a的增大而减小， 故当时，取得最小值，为； 故当时，取得最大值，为； 所以的取值范围为. 故选：C 变式7-2．如图，在直三棱柱中，侧面，均为正方形，，与交于点，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）法一：因为，为直三棱柱，所以，， 又侧面为正方形，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 在正方形中，，又，且，平面， 所以平面. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设， 则，，，，，，， 所以，，， 因为，， 所以，，即，， 又因为，且，平面. 所以平面. （2）依题意，建立如图空间直角坐标系，设， 则，，，，，，， ， 所以， 设平面的一个法向量为，则 令，则.设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式7-3．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且.    (1)求直线AM与直线PN所成角的大小； (2)当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值. 【答案】(1)90°； (2). 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 易得点，，，    ∴，， ∴直线AM与直线PN所成角的大小为90°； （2）点，∴，，， 设平面的法向量为， 则，可得，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，即， 因为，解得. 考点08 求平面与平面所成角 【方法点拨】用空间向量法求面面夹角的步骤：①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 例15．如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，． 因为为等腰直角三角形，且，所以． 又平面平面，平面平面，所以平面． 因为平面，平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为，所以，又， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面，所以平面． 又，平面，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）由题可知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则由得 令，得． 设平面的法向量为， 则由得 令，得． 所以，则平面与平面的夹角的余弦值为． 例16．如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，，点为的中点. (1)若，证明：； (2)若，平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）法一：如图，连接， 因为，，点为的中点，所以，， 因为，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 易知，所以， 所以四边形是矩形. 因为，， 所以，所以， 所以， 所以. （2） 法一：设，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 故，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面所成的二面角为， 因为，所以， 则，得， 所以. 法二：过作的平行线，则为平面与平面的交线. 由（1）知平面，因为平面，所以平面平面. 作平面于点，则在上，，作于点， 连接，又平面，所以平面，又因为平面，所以， 则为平面与平面所成锐二面角的平面角. 设，则，，点到的距离为，则. 因为平面与平面所成二面角的正弦值为， 所以，则， 即，得， 故. 变式8-1．如图，三角形和菱形所在平面垂直，且，．线段的中点为． (1)当时，证明：直线平面； (2)当时，求平面和平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图： 当时，又，所以 故为等腰直角三角形， 取中点，连. 因为四边形为菱形，， 所以 所以 因为平面平面，且交线为, 所以平面，又平面，所以 又,平面，所以平面. （2）如图建系 因为平面平面，可设 所以，可取， 所以 又平面的法向量，设平面的法向量 则 所以，化简得，令，所以 故 记平面和平面夹角为， 所以 所以． 变式8-2．如图1，直角梯形中，，，，，，为上靠近的三等分点，将沿翻折至，且平面平面，，如图2. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在题图1中，取的中点，连接，则， 因为，，， 所以四边形为正方形，则. 在题图2中，连接，则是以为底边的等腰三角形， 由题知，则，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，且，，平面，所以平面. 由于平面，所以. （2）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 由于，所以，则. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以. 故， 易知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为. 【点睛】方法点睛： 第一步：找“变”与“不变”——翻折过程中，一般地，位于折痕同侧的点、线之间的位置和数量关系不变，而位于折痕两侧的点、线之间的位置和数量关系会发生变化， 第二步：找关键点——确定翻折过程中有关点、线之间的位置和数量关系的具体变化情况，寻找几何关系，建立已知与待求量间的关系， 第三步：解决问题——结合空间几何知识与平面几何知识解决问题. 变式8-3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面. (1)证明：. (2)若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为，，， 所以，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. （2）如图，取为的中点，连接， 在平面中，作，交于点， 因为，所以， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 又所以平面，所以 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，即， 可得，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，得， 易得平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角为， 所以， 整理得，解得或（舍去），所以， 又因为，所以. 考点09 求点空间距离 【方法点拨】（1）用向量法求点到直线的距离：①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． （2）用向量法求点到平面的距离：①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式 例17．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 例18．（多选）如图，在直三棱柱中，，，P，Q分别为，的中点，则（   ）    A．平面 B．平面 C．到平面的距离为 D．到直线的距离为 【答案】ABD 【详解】对于A，在直三棱柱中，平面，平面， 则，由，为的中点，得， 而平面，因此平面，A正确； 取中点，连接，由矩形，得，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    而，则，， 对于B，，则，即，， 由平面，平面，得，而， 平面，因此平面，B正确； 对于C，，，设平面的法向量为， 则，令，得，又， 所以到平面的距离，C错误； 对于D，，到直线的距离 ，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，建立适当的空间直角坐标系是解决问题的最佳手段. 变式9-1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足. (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 【答案】(1)存在， (2) (3) 【详解】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，， 设平面的法向量为， 则，可取， 设， 所以， 又，所以， 即，所以， 设存在点，使得平面， 则，解得，则， 则， 所以存在点，使得平面 （2）由（1）知， 所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. （3） 由（1）知点满足， 取中点为，则点轨迹为线段， 所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离， ，，，，， 设，， 则，可取， 又， 点到直线的距离的最小值. 变式9-2．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为 . 【答案】 【详解】设，在菱形中，， 折起后，，， 由于二面角为直二面角，即平面平面， 平面平面，，平面，平面， 以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 在原菱形中，，，，， ，，，， 则，， 设，令，则. 令，则，，. 又，因此，与间的距离. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线间的距离，考查计算能力，属于中等题. 变式9-3．如图，在四棱锥中，平面，，，，M为棱的中点. (1)证明：平面. (2)已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示， 为棱的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2）平面，，，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 为棱的中点，， （i），， 设平面的法向量为，则， 令，则，，， 取的中点，连接，易知平面， 即是平面的一个法向量，， 设平面与平面夹角为， ， 平面与平面夹角的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，，则，， 由（i）知平面的一个法向量为，， 点Q到平面的距离是， ，，所以存在点Q满足题意，此时. 考点10 立体几何中的存在问题 例19．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）取为中点，连接，，又为的中点. ∴，又， 故， 又为等腰直角三角形，， ∴， 又，平面， 则平面，又平面， ∴.    （2）因为平面平面，平面平面， 由（1），又平面， 所以平面， 以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，   ， 则， ， ， 若为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故为平面的一个法向量， 又为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）假设存在使得平面平面，且，， 由（2）知： ，， 则， ， 若是平面的一个法向量， 则， ， 令，  则，， 所以为平面的一个法向量，， 所以 ， 所以 存在使得平面平面，此时. 例20．如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点位于线段靠近的三等分点处 【详解】（1）因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面； （2）取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 设， ， 设平面的法向量为， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处. 变式10-1．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， ①求二面角的余弦值； ②在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；②存在； 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接． 为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）解：． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面平面的一个法向量， 所以， 根据图形得二面角为锐角， 则二面角的余弦值为． ②假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 变式10-2．如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为上靠近的三等分点. 【详解】（1）折叠前，四边形是菱形，所以， 由分别是边的中点，所以，故， 折叠过程中且都在面， 所以面，故面，面， 所以面面. （2）当面面时，由面面，面，， 所以面，又面，故， 综上，可建立如下空间直角坐标系，则， 所以，设， 则， 所以，则，， 设面的法向量为，则， 取，则，而面的一个法向量为， 若面与面的夹角为，则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求. 变式10-3．如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且与平面所成角的正弦值为 【详解】（1）因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为. 考点11 立体几何中的折叠问题 例21．如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 取中点，连接. ∵，∴，由折叠得. ∵平面，∴平面. ∵平面，∴. （2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. ∵， ∴. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则，取. 由题意得，平面的法向量为， ∴， 由图可得二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为. （3）连接. 设，则. ∵翻折后与重合，∴， 由（2）得，，， ∴，解得，即. 例22．如图，矩形中，，，，将沿直线DE翻折成，若M为线段的点，满足，设二面角的平面角为． (1)求证：直线平面； (2)当为直角时，求点到平面的距离； (3)在翻折过程中（点不在平面内），求线段长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 在线段上取点，使得， 连接，∵，∴， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面． （2）由题意得，，、为等腰直角三角形， 取中点，连接，则， 故为二面角的平面角，即. ∵，∴，. 如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则，， ，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，， ∴点到平面的距离为. （3） 如图，以O为原点建立空间直角坐标系，在翻折过程中， 由题意知，二面角的平面角，， 则， 由（2）知， ∴， 又∵，∴，∴． 故的取值范围是． 变式11-1．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥. (1)在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论； (2)设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）在翻转过程中总有平面平面PAG. 证明如下：点M，N分别是边BC，CD的中点，∴ 又菱形ABCD中，， ∴是等边三角形， ∴是MN的中点，∴. ∴ ∵在菱形ABCD中，，即 平面PAG， ∴平面PAG， 平面，∴平面平面PAG. （2）由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且， 所以等腰梯形MNDB的面积. 要使得四棱锥的体积最大，只要点到平面MNDB的距离最大即可. 以点为坐标原点，GA、GM、GP所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图. 则， 点为线段PA的中点，， 设，则， ， 设平面PAB的法向量为， 由，得， 令，则，所以平面PAB的法向量. 又， 设直线MQ与平面PAB所成角为，则. 当且仅当时，取得最大值. 变式11-2．如图1，在直角梯形中，，，，，，过点作于点，将沿折叠至处（如图2），使得平面平面，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接． ，， ． ，， 四边形是矩形，为的中点， 又为的中点，， 又平面，平面， 平面， （2）平面平面，平面平面，， 平面，平面， 又平面，， 两两垂直， 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ，，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，， ， 平面与平面夹角的正弦值为. 变式11-3．如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，位于中点 【详解】（1）由题可知，，，， 又因为，所以． 所以．即， 且，平面，可得平面， 由平面，所以． （2）存在，理由如下： 因为，，，平面， 所以平面，二面角的平面角为， 如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴． 则，，，， 可得，， 设， 则 平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角， 可得，解得， 故位于中点时，满足条件. 1．（2024-25高二上·天津河北·期中）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知 故选：D 2．（2024-25高二上·江西南昌·期中）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】由题可得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：B. 3．（2024-25高二上·福建泉州·期末）已知，，，点在平面内，则的值为（    ） A． B．1 C．10 D．11 【答案】D 【详解】∵点在平面内，∴存在实数，使得等式成立， ∵，，， ∴， ∴，解得. 故选：D 4．（2024-25高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 5．（2024-25高二上·辽宁·期末）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 6．（2024-25高二上·四川凉山·期中）已知圆锥的顶点是，底面圆心是，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，下面说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．到平面的距离为 C．与所成角的余弦值为 D．平面与平面所成角的正弦值为 【答案】A 【详解】取的中点，连接、，则， 在圆锥中，平面， 因为平面，则， 又因为，，、平面，则平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以，， 所以，为等腰直角三角形，且， 因为，，为的中点，则， 所以，，则， ，所以，， 则， ， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 对于A选项，，易知平面的一个法向量为， ， 所以，与平面所成角的正弦值为，A对； 对于B选项，设平面的法向量为，， 则，取，则， ，所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，，， 所以，， 故与所成角的余弦值为，C错； 对于D选项，， 故平面与平面所成角的正弦值为，D错. 故选：A. 7．（2024-25高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【详解】A选项：，故A错误； B选项：取， 点到直线的距离，故B正确； C选项：，故C正确； D选项：，设平面的法向量为， 故，取，则，故D错误； 故选:BC. 8．（2023-24高一下·吉林长春·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（   ）.    A．不存在点，使得 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离为1 D．点在棱上，且，存在点，使得 【答案】ABD 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，， ，，，，设， 对于A：，，则，所以与不垂直， 即不存在点，使得，故A正确； 对于B：，，，设平面的法向量为， 则，取， 则点到平面的距离，故B正确； 对于C：，所以点到直线的距离，故C错误； 对于D，因为，所以，， ， 即，可得轨迹为圆：， 所以圆心， 又，所以轨迹为圆被四边形截得的4段圆弧，所以D正确. 故选：ABD    9．（2024-25高二上·新疆·期末）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 . 【答案】 【详解】依题意可得，， 所以 . 故答案为： 10．（2024-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 11．（2023-24高二下·福建漳州·期末）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上､下底面均为半圆形的柱体，平面为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 .    【答案】 【详解】设所在圆的半径为，则， 则,. 设所在圆的半径为，则， 则,. 因为平面，平面，则, 由题意可以以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示，    则，， 又为的中点,则， 则，,， 设平面的法向量， 则, 令，则，则. 设直线与平面所成角为， 则 . 故答案为:. 12．（2024-25高二上·北京·期末）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由于,故建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 故， 故，因此    （2）由于平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， , 故，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 故 13．（2024-25高二上·湖北·期中）如图，三棱锥中，，为BC的中点.      (1)证明：; (2)点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）法一：连接MP，MA，因为为BC中点，又，所以， 因为，所以与均为等边三角形， 所以，从而， 又平面PMA， 所以平面PMA，而平面PMA， 所以. 法二：依题意， 所以. 又， 所以，， 所以. （2）依题意，，由及得，， ，， 又且平面ABC， 平面ABC. 以点M为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   ， ， 所以，即有. 设平面PAB与平面PBN的一个法向量分别为, 设平面APB与平面PBN夹角为， 由，得，取，则； 由，得，取，则； 所以， 故平面APB与平面PBN夹角的余弦值为. 14．（2024-25高二上·北京·期中）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，. 【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面. （2）因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 15．（2024-25高三上·吉林·期末）如图，在五棱锥中，和分别为边长是4和2的等边三角形，四边形是上底和腰相等的等腰梯形，､分别为､中点. (1)证明：平面； (2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点在线段上靠近点的三等分点的位置上 【详解】（1）因为和分别为边长是4和2的等边三角形，四边形是上底和腰相等的等腰梯形，则可得此五棱锥为菱形沿折叠而成， 所以， 又为等边三角形，为中点，所以， 平面，所以平面， 又，所以平面. （2）因为四棱锥的底面积为定值，所以当高最大时，体积最大， 所以当平面平面时高最大，此时体积最大， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以为直线和平面所成角， 因为， 所以，，，， 所以. （3） 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， 设平面的法向量为， 则，令，则，（易知不合题意） 所以， 因为平面平面，，平面平面， 所以平面，则可以作为平面的一个法向量， 所以，解得， 所以在（2）的条件下，在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，点在线段上靠近点的三等分点的位置上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习01 空间向量及其应用 知识点 1 ：空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. 3．空间向量的有关概念 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量 单位向量：长度(或模)为1的向量 零向量：长度(或模)为0的向量 相等向量：方向相同且模相等的向量 知识点 2 ：空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ，使得 推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使（其中）. 2.共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使； 或对空间任意一点O，有. 3.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底； （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作为基向量. 4.空间向量的运算 设， 则，，， ，， ，. 知识点 3 ：利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 知识点 4 ：利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 知识点 5 ：利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 考点01 空间共线向量与共面定理的应用 【方法点拨】对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 例1．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 例2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 变式1-1．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，其中，，则的最大值为 ． 变式1-2．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 变式1-3．如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且．请建立适当的空间直角坐标系，然后证明： (1)； (2)，，共面． 考点02 空间向量基本定理 【方法点拨】（1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有, 例3．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 例4．已知，,,，用，，表示. 变式2-1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式2-2．六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式2-3．如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 考点03 空间向量的数量积、夹角、模长运算 【方法点拨】在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 例5．已知不共面的三个单位向量，，两两之间的夹角均为，，. (1)求证：； (2)求. 例6．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．在平行六面体中，一以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为 . 变式3-3．如图，已知在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，且､则 . 考点04 利用空间向量证明平行问题 例7．（多选）已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是，；，，是三个不同平面，法向量分别是，，，下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例8．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式4-1．（多选）如图，在正方体中，为底面的中心，分别为的中点，点满足，则（   ） A．平面 B．平面 C． D．四点共面 变式4-2．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 变式4-3．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 考点05 利用空间向量证明垂直问题 例9．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 例10．如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 变式5-1．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 变式5-2．已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 变式5-3．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 考点06 求两异面直线所成角 【方法点拨】用空间向量法求异面直线夹角的步骤： ①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 例11．正三棱台中，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例12．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 变式6-1．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，是棱上一点（不含端点），满足．若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点07 求直线与平面所成角 【方法点拨】用空间向量法求线面夹角的步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 例13．在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 例14．如图，在多面体中，，，. (1)证明：平面平面. (2)若是线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求. 变式7-1．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，在直三棱柱中，侧面，均为正方形，，与交于点，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式7-3．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且.    (1)求直线AM与直线PN所成角的大小； (2)当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值. 考点08 求平面与平面所成角 【方法点拨】用空间向量法求面面夹角的步骤：①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 例15．如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 例16．如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，，点为的中点. (1)若，证明：； (2)若，平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 变式8-1．如图，三角形和菱形所在平面垂直，且，．线段的中点为． (1)当时，证明：直线平面； (2)当时，求平面和平面夹角的正弦值． 变式8-2．如图1，直角梯形中，，，，，，为上靠近的三等分点，将沿翻折至，且平面平面，，如图2. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 变式8-3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面. (1)证明：. (2)若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求. 考点09 求点空间距离 【方法点拨】（1）用向量法求点到直线的距离：①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． （2）用向量法求点到平面的距离：①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式 例17．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 例18．（多选）如图，在直三棱柱中，，，P，Q分别为，的中点，则（   ）    A．平面 B．平面 C．到平面的距离为 D．到直线的距离为 变式9-1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足. (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 变式9-2．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为 . 变式9-3．如图，在四棱锥中，平面，，，，M为棱的中点. (1)证明：平面. (2)已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 考点10 立体几何中的存在问题 例19．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 例20．如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 变式10-1．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， ①求二面角的余弦值； ②在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 变式10-2．如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 变式10-3．如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 考点11 立体几何中的折叠问题 例21．如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 例22．如图，矩形中，，，，将沿直线DE翻折成，若M为线段的点，满足，设二面角的平面角为． (1)求证：直线平面； (2)当为直角时，求点到平面的距离； (3)在翻折过程中（点不在平面内），求线段长的取值范围． 变式11-1．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥. (1)在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论； (2)设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式11-2．如图1，在直角梯形中，，，，，，过点作于点，将沿折叠至处（如图2），使得平面平面，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 变式11-3．如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 1．（2024-25高二上·天津河北·期中）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024-25高二上·江西南昌·期中）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 3．（2024-25高二上·福建泉州·期末）已知，，，点在平面内，则的值为（    ） A． B．1 C．10 D．11 4．（2024-25高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2024-25高二上·辽宁·期末）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024-25高二上·四川凉山·期中）已知圆锥的顶点是，底面圆心是，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，下面说法正确的是（    ） A．与平面所成角的正弦值为 B．到平面的距离为 C．与所成角的余弦值为 D．平面与平面所成角的正弦值为 7．（2024-25高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 8．（2023-24高一下·吉林长春·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（   ）.    A．不存在点，使得 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离为1 D．点在棱上，且，存在点，使得 9．（2024-25高二上·新疆·期末）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 . 10．（2024-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 11．（2023-24高二下·福建漳州·期末）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上､下底面均为半圆形的柱体，平面为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 .    12．（2024-25高二上·北京·期末）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 13．（2024-25高二上·湖北·期中）如图，三棱锥中，，为BC的中点.      (1)证明：; (2)点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值. 14．（2024-25高二上·北京·期中）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 15．（2024-25高三上·吉林·期末）如图，在五棱锥中，和分别为边长是4和2的等边三角形，四边形是上底和腰相等的等腰梯形，､分别为､中点. (1)证明：平面； (2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$