复习07 等差等比的通项及求和（十一大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习07 等差等比的通项及求和 知识点 1 ：等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 知识点 2 ：等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 知识点 3 ：等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 知识点 4 ：等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 知识点 5 ：等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 考点01 等差、等比数列的判断 【方法点拨】对于数列，若⇔是等差数列；若⇔是等比数列 例1．在数列中，，，若，则 ． 【答案】506 【详解】由题意可得，故数列为等差数列，4为公差， 则，故令，解得. 故答案为：. 例2．已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】数列是公比为的等比数列， ①不是定值，故不是等比数列； ②为定值，故是公比为的等比数列； ③为定值，故是公比为的等比数列； ④为定值，故是公比为的等比数列；故等比数列的个数是3个. 故选：C 变式1-1．已知数列中，，，，那么数列的前10项和等于（    ） A．130 B．120 C．55 D．50 【答案】C 【详解】由题可知，，， 所以 ，故数列是以为首项和公比的等比数列， 所以，故， 所以数列的前10项和为. 故选：C. 变式1-2．在正项数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】在正项数列中，，则，可得， 所以，数列是公比为的等比数列， 因为，且，则， 因为. 故答案为：. 变式1-3．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列， 故选：B. 考点02 等差、等比数列的证明 例3．已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：由题设，，. （2）证明：因为， 所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）由（2）得：， 所以. 例4．在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由于，所以． 又，所以． 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，所以． 变式2-1．已知数列满足，，.记.证明：数列是等比数列，并且求出其通项公式. 【答案】证明见解析， 【详解】方法一：因为，所以（提示：凑出）， 又，所以，又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 方法二：因为当时，（提示：将代入），， 所以是首项和公比均为2的等比数列，所以． 变式2-2．数列的前项和满足（）．证明：是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为（）， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以（）， 当时，，得， 综上，（）， 所以是以2为公差的等差数列． 变式2-3．已知各项均为正数的数列的首项， 是数列的前项和，且满足 ．求证：是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】由已知可得，. 因为，所以， 即. 又， 所以数列是以2为首项，为公差的等差数列． 考点03 等差、等比数列的基本量计算 【方法点拨】（1）等差数列可由与构造关于的方程组即可求解；、（2）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 例5．已知数列是公差为的等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】因为数列是公差为的等差数列， 所以，且， 所以，则数列是公比的等比数列， 则. 故选：B. 例6．已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则 （结果用幂表示） 【答案】 【详解】已知成等差数列，则根据等差数列性质可得. 因为，设等比数列的公比为（），则，. 将，，代入可得： ， 解得或（公比不为，舍去）. 由等比数列通项公式，则. 故答案为：. 变式3-1．已知正项等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 则由题意得，因为，则，解得或（舍）， 则. 故选：C. 变式3-2．已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 . 【答案】16 【详解】令数列的公差为，则，即， 由，则， 综上，，，则. 故答案为：16 变式3-3．已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B．4或 C． D． 【答案】D 【详解】由成等差数列，得， 设公比为，若，此时，此时不满足； 若，则， 故，即， 由于，故，解得或1（舍去）， 所以， 故选：D 考点04 等差、等比数列的单调性 例7．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则， 若，则单调递减，显然不恒成立， 所以，所以必要性成立， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 故选：B 例8．等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 变式4-1．（多选）已知数列是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（    ） A．当时，数列是递增数列 B．当时，数列是递减数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时，数列是递减数列 【答案】AD 【详解】设等比数列的公比为，则，则， 当时，，即，此时，数列为单调递增数列， 当时，，即，此时，数列为单调递减数列， AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 变式4-2．等比数列的前项和为，，则“”是“对，”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】等比数列的前项和为，， 当时，即公比，则数列为各项均为正数的递增数列， 则有，成立； 当时，则也是各项均为正数的等比数列，此时， 则“”是“对，”成立的充分不必要条件. 故选：A 变式4-3．（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】AD 【详解】由且， A：由，即数列是递减数列，对； B：由，若时，如，不单调，错； C：由，则数列是公差为的等差数列，错； D：由，则数列是公差为的等差数列，对. 故选：AD 考点05 等差、等比数列中的最大值 例9．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 例10．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 变式5-1．无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC 变式5-2．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值，最大值3，理由见解析 【详解】（1）证明：因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 变式5-3．（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（   ） A． B． C． D．与均为的最大值 【答案】ABD 【详解】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比， 又，，，，B正确； 又，故，即，A正确； C选项，由得，所以， 而，，因此，C错误； D选项，由上知， 先增后减，与均为的最大值，D正确． 故选：ABD 考点06 等差数列的下标和性质 【方法点拨】在等差数列中,若,则.特别的,若,则有； 例11．已知正项等差数列满足，则（    ） A．4048 B．2024 C．1012 D．2 【答案】C 【详解】因为为等差数列，所以，， 则，则， 从而，故． 故选：C. 例12．在等差数列中，，则的值为（   ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 变式6-1．已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】因为， 所以，又，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4. 故选：B. 变式6-2．已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为，可得， 因为，解得. 故选：C. 变式6-3．在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ． 【答案】27 【详解】令插入的3个数依次为，即成等差数列， 因此，解得，所以插入的3个数之和为． 故答案为：. 考点07 等比数列的下标和性质 【方法点拨】在等比数列中,若，则，其中.特别地，若，则，其中. 例13．在等比数列中，，则等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为是等比数列，所以，又， 所以和为方程的两个根，解得或. 若等比数列的公比为，则，所以或. 故选：A. 例14．（多选）已知为正项等比数列的前项积，若，，则（    ） A．的公比的取值范围为 B．数列为递增数列 C．当时，最小 D．当时，最大 【答案】BC 【详解】由，得，同理由，得， 所以，，所以， 故，所以为递增数列， 当时，最小，无最大值，故A，D错误，B，C正确. 故选：BC. 变式7-1．已知等比数列满足，则的最小值为（   ） A．48 B．32 C．24 D．8 【答案】B 【详解】由，得，解得， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 变式7-2．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 【答案】16 【详解】∵为等差数列， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∴， ∴. 故答案为：16. 变式7-3．（多选）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于4044 【答案】AD 【详解】，，， 同号，且或， 若，则不同号； 若，则，不满足要求； 故可得，，故A正确； ，且，可得，故B错； ，又，且最大，故C错； ，且为等比数列， 由等比数列的性质可得，， 使成立的最大自然数等于4044，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得，进而得到，从而得解. 考点08 等差数列的前n项和性质 【方法点拨】等差数列前项和的常用性质：（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质：①若项数为,则 ② 例15．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意设，则， 由是等差数列，所以也成等差数列， 所以，解得； ，解得， 所以， 故选：C. 例16．已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】由，得①， 因为，， 所以，即②， ①②两式相加，得，即， 所以，所以，解得. 故选：B. 变式8-1．等差数列的前项和分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】等差数列的前项和分别为和，， 所以 . 故选：D 变式8-2．已知等差数列，的前项和分别为，，，则使得为整数的正整数n的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．14 【答案】B 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、， 因此，正整数的可能取值有、、. 故选：B 变式8-3．在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 【答案】C 【详解】由是等差数列，设公差为，则 所以，（常数），则也为等差数列. 由，则数列的公差为1. 所以 所以，所以 故选：C 考点09 等比数列的前n项和性质 【方法点拨】（1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为； （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 例17．若等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】511 【详解】因为等比数列中成等比数列， 所以成等比数列，所以， 即，解得. 故答案为：511 例18．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 变式9-1．已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 变式9-2．设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【答案】A 【详解】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 变式9-3．若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 考点10 等差数列前n项和的最值问题 【方法点拨】求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 例19．若为等差数列，为的前项和，，，则当（  ）时  取最大值. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为若为等差数列，为的前项和，则， 因为，则，故， 设等差数列的公差为，则，即数列为递减数列， 故当时，，当时，， 所以，当时，取最大值. 故选：B. 例20．数列满足，，，数列满足，． (1)证明数列是等差数列并求其通项公式． (2)数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析， (2)存在最小值，最小值为－9，此时 【详解】（1）证明：因为，所以． 因为，所以， 所以．因为，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 所以． （2）解：根据等差数列的前项和公式，得． 对于二次函数，其图象的对称轴为直线， 所以当时，取得最小值．因为， 所以存在最小值，最小值为－9，此时． 变式10-1．（多选）已知等差数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，的最大值为13 C．数列中的最大项为 D．时，的最大值为27 【答案】BC 【详解】由已知， 所以等差数列的前13项大于0，从第14项开始小于0，故B正确； 设等差数列的公式为，则， 所以是递减数列，故A错误； 且为等差数列的前项和的最大值，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 变式10-2．已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（ ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【详解】由，即存在最大值，故，①③对； 可得，所以，②错； 由，可知， 所以满足成立的最大n值为15，④错. 故选：A 变式10-3．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】由题意得：，所以，解得， 故答案为：． 考点11 等差、等比数列中的an与Sn的关系 例21．已知数列的前项和为满足.则 ；设，求数列的前项和 . 【答案】 【详解】当时，，当时，由有：， 所以， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列. 即； ，所以数列为等差数列， 故答案为：； 例22．已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 变式11-1．已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由知， 当时，； 当时，， 此时，当时，， 当时，，而， 若数列是等差数列，则， 所以，则. 故答案为：. 变式11-2．已知是数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，则， 两式相减得：， 整理得：， 即时，， 所以时，， 又时，，得，也满足上式． 故． （2）由（1）可知：． 记，设数列的前项和． 当时，； 当时， 综上： 变式11-3．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，当时，由，可知， 由，可得两式相减可知，，即， 因此时，， 即 （2）由（1）可知，，当时，， 因此也适合，， 故， 故的前项和 1．（2024-2025学年高二上学期12月阶段性联考数学试题）已知等差数列，前项和为，若，则（   ） A．200 B．100 C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．（2024-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（   ） A．是递减的等差数列 B．数列的首项为正数 C．的最大值是20 D．是中的项 【答案】D 【详解】，即，则是公差为的等差数列， 所以是递减的等差数列，A选项正确； 等差数列公差，由，有，解得， 所以数列的首项为正数，B选项正确； ， 时，；时；时，， 所以的最大值为，C选项正确； 由可知，中的项都是偶数，不是中的项，D选项错误. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为等比数列，且，，记为的前项和，则（    ） A．127 B．128 C．63 D．64 【答案】C 【详解】设的公比为，由，得， 又，故.又，所以， 从而，所以，， 故选：C. 4．（2023-24高三上·山东·期中）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．15 C．或 D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即，即， 解得或（舍去），又，所以. 故选：B 5．（2024-25高三上·北京·开学考试）已知等比数列的前n项和为，若存在实数，使得，则以下结论不正确的是（   ） A． B．数列的公比为 C． D．数列可能为常数列 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列， 而不是关于的一次函数，故不可能为常数列，故D错误； 对于B，因，则，又， 故得：，故B正确； 对于A，，故A正确； 对于C，因，故C正确. 故选：D. 6．（2024-25高二上·河南·阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】∵，∴当时，， 整理得，即， ∵的各项均为正数，∴， 由得， ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，， ∴. 令，则， 当时，，当时，， ∴． 故选：B． 7．（2024-25高二上·山西太原·阶段练习）已知数列，满足，为的前项和，且，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．或时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为，,则数列为等差数列，故A正确. 对于选项B：因为， 则，则， 则，解得， 即，故选项B错误. 对于选项C：，所以，故C正确. 对于选项D：因为，开口向下，对称轴为，又因为，故当或时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD 8．（2024-25高二上·河南·阶段练习）在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为数列是递增的等比数列，又，解得， 所以公比，，， 对于选项A，因为不为常数，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 所以为常数，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故选项B正确， 对于选项C，因为， 所以选项C正确， 对于选项D，因为， 所以，故选项D正确， 故选：BCD. 9．（2024-25高一上·安徽黄山·期中）已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设数列的公差为，依题意有：， 设， 由，解得． 则， 两式相加得，即的取值范围是． 故答案为：. 10．（2024·上海静安·一模）设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为 . 【答案】36 【详解】在等差数列中，，则公差， 所以. 故答案为：36 11．（2024高三·全国·专题练习）已知项数为的数列的各项均为整数，递减数列的各项也均为整数且满足对任意的，都有（为常数），若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为（为常数）， 所以，， 所以，所以， 因为，且数列是递减数列， 所以，所以， 故， ， 因为，所以， 又，所以. 因为，所以， 所以是的正因数， 即可取. 又，所以的最大值为. 故答案为： 12．（2024-25高三上·河南周口·期末）记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)8872 【详解】（1）由 则 设的公差为 则 则 所以数列的通项公式为. （2）由题可知 ， . 13．（2024-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)记，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，由题意可知：， 所以. （2）由（1）可知：，显然为等比数列，且公比， 设，因为， 所以数列是以首项，公比为的等比数列， 所以. 14．（2024-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知正项数列的前项和为，数列的前项和为，满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意可知，，，， 相减可得，， 即，故， 即，，故为从第2项开始的等比数列，且公比为， 又，代入，可得， 则，时，， 故 （2）当时， 则 ， . 15．（2024-25高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差. (1)求及数列的通项公式； (2)记，若成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】(1)， (2)或，证明见解析； 【详解】（1）设等差数列的首项为， 由可得，即， 解得或（舍）； 因此可得； 即的通项公式为； （2）由（1）可知， 所以， 由成等差数列，可得， 易知，可得， 整理可得，解得或； 证明如下： 当时，可得， 此时为常数， 所以是以为首项，公差的等差数列； 当时，可得， 此时为常数， 所以是以为首项，公差的等差数列； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习07 等差等比的通项及求和 知识点 1 ：等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 知识点 2 ：等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 知识点 3 ：等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 知识点 4 ：等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 知识点 5 ：等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 考点01 等差、等比数列的判断 【方法点拨】对于数列，若⇔是等差数列；若⇔是等比数列 例1．在数列中，，，若，则 ． 例2．已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1．已知数列中，，，，那么数列的前10项和等于（    ） A．130 B．120 C．55 D．50 变式1-2．在正项数列中，，且，则 ． 变式1-3．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 考点02 等差、等比数列的证明 例3．已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 例4．在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 变式2-1．已知数列满足，，.记.证明：数列是等比数列，并且求出其通项公式. 变式2-2．数列的前项和满足（）．证明：是等差数列； 变式2-3．已知各项均为正数的数列的首项， 是数列的前项和，且满足 ．求证：是等差数列； 考点03 等差、等比数列的基本量计算 【方法点拨】（1）等差数列可由与构造关于的方程组即可求解；、（2）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 例5．已知数列是公差为的等差数列，则（    ） A． B． C．3 D．9 例6．已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则 （结果用幂表示） 变式3-1．已知正项等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 变式3-2．已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 . 变式3-3．已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B．4或 C． D． 考点04 等差、等比数列的单调性 例7．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例8．等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 变式4-1．（多选）已知数列是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（    ） A．当时，数列是递增数列 B．当时，数列是递减数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时，数列是递减数列 变式4-2．等比数列的前项和为，，则“”是“对，”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式4-3．（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 考点05 等差、等比数列中的最大值 例9．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 例10．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 变式5-2．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 变式5-3．（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（   ） A． B． C． D．与均为的最大值 考点06 等差数列的下标和性质 【方法点拨】在等差数列中,若,则.特别的,若,则有； 例11．已知正项等差数列满足，则（    ） A．4048 B．2024 C．1012 D．2 例12．在等差数列中，，则的值为（   ） A．7 B．14 C．21 D．28 变式6-1．已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式6-2．已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 变式6-3．在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ． 考点07 等比数列的下标和性质 【方法点拨】在等比数列中,若，则，其中.特别地，若，则，其中. 例13．在等比数列中，，则等于（    ） A．或 B． C． D．或 例14．（多选）已知为正项等比数列的前项积，若，，则（    ） A．的公比的取值范围为 B．数列为递增数列 C．当时，最小 D．当时，最大 变式7-1．已知等比数列满足，则的最小值为（   ） A．48 B．32 C．24 D．8 变式7-2．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 变式7-3．（多选）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于4044 考点08 等差数列的前n项和性质 【方法点拨】等差数列前项和的常用性质：（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)； （3）等差数列奇偶项和的性质：①若项数为,则 ② 例15．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B．3 C． D． 例16．已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 变式8-1．等差数列的前项和分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知等差数列，的前项和分别为，，，则使得为整数的正整数n的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．14 变式8-3．在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 考点09 等比数列的前n项和性质 【方法点拨】（1）等比数列的前项和,满足成等比数列(其中均不为； （2）等比数列的项数是偶数时, ；等比数列的项数是奇数时,. 例17．若等比数列的前项和为，且，则 . 例18．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 变式9-1．已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 变式9-2．设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 变式9-3．若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点10 等差数列前n项和的最值问题 【方法点拨】求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 例19．若为等差数列，为的前项和，，，则当（  ）时  取最大值. A． B． C． D． 例20．数列满足，，，数列满足，． (1)证明数列是等差数列并求其通项公式． (2)数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 变式10-1．（多选）已知等差数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，的最大值为13 C．数列中的最大项为 D．时，的最大值为27 变式10-2．已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（ ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 变式10-3．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围 ． 考点11 等差、等比数列中的an与Sn的关系 例21．已知数列的前项和为满足.则 ；设，求数列的前项和 . 例22．已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 变式11-1．已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 变式11-2．已知是数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 变式11-3．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 1．（2024-2025学年高二上学期12月阶段性联考数学试题）已知等差数列，前项和为，若，则（   ） A．200 B．100 C． D． 2．（2024-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（   ） A．是递减的等差数列 B．数列的首项为正数 C．的最大值是20 D．是中的项 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为等比数列，且，，记为的前项和，则（    ） A．127 B．128 C．63 D．64 4．（2023-24高三上·山东·期中）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．15 C．或 D． 5．（2024-25高三上·北京·开学考试）已知等比数列的前n项和为，若存在实数，使得，则以下结论不正确的是（   ） A． B．数列的公比为 C． D．数列可能为常数列 6．（2024-25高二上·河南·阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．4 7．（2024-25高二上·山西太原·阶段练习）已知数列，满足，为的前项和，且，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．或时，取得最大值 8．（2024-25高二上·河南·阶段练习）在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 9．（2024-25高一上·安徽黄山·期中）已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是 ． 10．（2024·上海静安·一模）设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为 . 11．（2024高三·全国·专题练习）已知项数为的数列的各项均为整数，递减数列的各项也均为整数且满足对任意的，都有（为常数），若，则的最大值为 . 12．（2024-25高三上·河南周口·期末）记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 13．（2024-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)记，求． 14．（2024-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知正项数列的前项和为，数列的前项和为，满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 15．（2024-25高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差. (1)求及数列的通项公式； (2)记，若成等差数列，求并证明为等差数列. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$