1.4空间向量的应用-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

1.4空间向量的应用（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 8 【提升训练】 14 知识回顾 1. 空间中点、直线的向量表示 (1)点的位置向量 在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示式 ①设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，(Ⅰ) 将＝a代入①式，得＝＋t，(Ⅱ) (Ⅰ)和(Ⅱ)都称为空间直线的向量表示式. ②性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 2. 空间平面的向量表示 空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y. 我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 3. 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 4. 直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 5. 直线与平面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 6. 平面与平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 7. 直线和直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 8. 直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 9. 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 10. 点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l的上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝. 11. 点到平面的距离 已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝|·|＝||＝. 12. 直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 13. 两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 14. 直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 15. 两个平面的夹角 (1)两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (2)两平面夹角的计算 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·海南·期中）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知，分别是平面，的法向量，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 4．（24-25高二上·北京延庆·期中）设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，，，两两相互垂直，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽安庆·一模）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[ ) B．[ ] C．[) D．[] 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二·全国·课后作业）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （    ）    A．直线 的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 10．（24-25高二上·山西晋城·期中）关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．已知向量，，则在上的投影向量为 11．（24-25高二上·山东·期中）如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（   ）    A．平面 B．平面 C．在上的投影向量为 D．二面角的余弦值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为 ． 13．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 . 14．（23-24高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 16. (15分) （24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 17. (15分) （24-25高二上·山东日照·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，求平面和夹角的余弦值. 18. (17分) （24-25高二上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （24-25高二上·陕西西安·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东茂名·期中）在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（    ）    A． B． C． D．1 2．（24-25高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·重庆渝北·阶段练习）在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．平面与平面的距离为 B．三棱锥外接球的表面积为 C． D．直线BC与平面所成的角为 7．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·江苏南京·期中）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 10．（24-25高三上·湖南·期中）三棱台中，，设AB的中点为的中点为与BF交于点与交于点，则（    ） A．直线GH与直线异面 B． C．线段AE上存在点，使得平面 D．线段BE上存在点，使得平面 11．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．异面直线AE与所成的角的余弦值为 D．点到平面ACE的距离为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·浙江·期中）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为 . 13．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则 14．（2023高三·全国·专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）长方体中，．点为中点．    (1)求证：平面 (2)求证：平面． 16. (15分) （24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． (1)求证：平面ADE； (2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 17. (15分) （24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. (17分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. (17分) （24-25高二上·湖南·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知异面直线，所成的角为，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（    ） A．或 B．4 C． D．或4 5．（24-25高二上·广西·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 7．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江西·二模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将三角形ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则（    ） A．BF平面 B．⊥平面 C．若平面⊥平面ABC，则在某个特定的坐标系下，的一个方向向量可以为 D．若，则在某个特定的坐标系下，平面的一个法向量可以为 10．（24-25高三上·江苏镇江·期中）如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（    ）    A．存在，使得 B．当时，存在，使得平面 C．当，时，四面体的体积为 D．当时， 11．（24-25高二上·湖北武汉·期中）在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（    ） A．二面角 的平面角的正切值为 B．三棱锥 体积为 C．以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D．线段 的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为 . 13．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 14．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 16. (15分) （24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 17. (15分) （24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，． (1)求证：； (2)求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值； (3)线段上EC上是否存在点，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. (17分) （24-25高三上·北京·期中）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，为PA的中点，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点.    (1)求证：平面DEF； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段EF上是否存在一点，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （24-25高二上·浙江·期中）如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4空间向量的应用（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 20 【提升训练】 44 知识回顾 1. 空间中点、直线的向量表示 (1)点的位置向量 在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示式 ①设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，(Ⅰ) 将＝a代入①式，得＝＋t，(Ⅱ) (Ⅰ)和(Ⅱ)都称为空间直线的向量表示式. ②性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 2. 空间平面的向量表示 空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y. 我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 3. 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 4. 直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 5. 直线与平面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 6. 平面与平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 7. 直线和直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 8. 直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 9. 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 10. 点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l的上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝. 11. 点到平面的距离 已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝|·|＝||＝. 12. 直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 13. 两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 14. 直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 15. 两个平面的夹角 (1)两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (2)两平面夹角的计算 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·海南·期中）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知，分别是平面，的法向量，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 4．（24-25高二上·北京延庆·期中）设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，，，两两相互垂直，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽安庆·一模）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[ ) B．[ ] C．[) D．[] 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二·全国·课后作业）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （    ）    A．直线 的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 10．（24-25高二上·山西晋城·期中）关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．已知向量，，则在上的投影向量为 11．（24-25高二上·山东·期中）如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（   ）    A．平面 B．平面 C．在上的投影向量为 D．二面角的余弦值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为 ． 13．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 . 14．（23-24高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 16. (15分) （24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 17. (15分) （24-25高二上·山东日照·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，，求平面和夹角的余弦值. 18. (17分) （24-25高二上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （24-25高二上·陕西西安·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C C D C A ABD ACD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据求参数的值. 【详解】由. 故选：B 2．B 【分析】由空间向量的知识可知，两平面垂直等价于两法向量垂直，从而利用两法向量数量积为0求值. 【详解】因为，分别是平面，的法向量，且， 所以，即，解得， 故选：B. 3．C 【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】因为， 所以， 则，所以. 故选：C. 4．C 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】， 设所成角为，则，故 故所成角为， 故选：C 5．C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求得点到平面距离. 【详解】 依题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 则点到平面的距离， 故选：C. 6．D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 7．C 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 8．A 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立关于参数的函数关系式，求其值域即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点坐标为，， 故，因为， 故可得，则，由可得， 又，故, 故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到； 综上，线段DF长度的取值范围为. 故选：A 9．ABD 【分析】 写出点的坐标，AB选项，得到，，AB正确；CD选项，根据求平面法向量的方法进行求解. 【详解】 设正方体棱长为， 则， A选项，，故选项A正确； B选项，，故选项B正确； C选项，因为平面即为坐标平面，所以与轴平行的向量均为它的法向量，故选项C错误； D选项，．设平面的一个法向量， 则      ，取，得， 所以是平面的一个法向量． 故选项D正确． 故选：ABD． 10．ACD 【分析】利用空间向量共面定理可判断三向量共面和四点共面，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，不一定能判断线面平行，还有可能线在面内，利用投影向量的定义来计算出结果. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确； 对于B选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，则，则，所以或，B错误； 对于C选项，对空间中任意一点，有， 则， 整理得，， 由此可得有公共点的三向量共面，即，，，四点共面，C正确； 对于D选项，则在方向上的投影向量为 ，D正确． 故选：ACD. 11．AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出求出法向量和直线方向向量，根据向量关系即可判断AB；由投影向量公式可判断C；求出两个平面法向量，根据向量夹角公式可判断D. 【详解】以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，. 因为，所以平面，A正确. ，所以EO不与平面平行，B错误. 在上的投影向量为，C错误． 易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则，D正确. 故选：AD      12． 【分析】由题意得，根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题可得，， 平面ABC， ， ， ， . 故答案为：. 13．/ 【分析】由题意得，设，从而得解. 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 14． 【分析】先求在的射影，再利用勾股定理求点到直线的距离. 【详解】由题意，， 所以在的射影为：. 所以点到直线的距离为：. 故答案为：1 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量； （2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面． 【详解】（1）    因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 16．(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； （3）设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）若为中点，连接，易证是平行四边形，有，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）若为中点，连接，又为棱的中点，， 所以，且，即是平行四边形， 所以，面，面，则面. （2）由平面，，构建如图所示空间直角坐标系， 由，，，则，显然面的一个法向量为， 所以，若面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面和夹角的余弦值为. 18．(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）在图1中，连接,交于点,证明，推得平面，由线面垂直即可证明面面垂直即得； （2）依题建系，写出相关点坐标，设，求出相关向量的坐标，利用空间向量夹角公式列出方程，求解即得. 【详解】（1） 如图，在图1中，连接,交于点, 因为边长是的正方形，则, 在图2中，则有,, 又，则,即, 因,故平面, 又平面,故平面平面； （2） 如图，由（1）已得平面，且， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题意，, 假设在棱上存在点，满足,使得二面角的余弦值为， 则,又, 设平面的法向量为， 则故可取， 又平面的法向量可取为， ，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为. 19．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论； （2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离. 【详解】（1）由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面 （2）设面的一个法向量为，且， 由， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离为. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东茂名·期中）在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（    ）    A． B． C． D．1 2．（24-25高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·重庆渝北·阶段练习）在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．平面与平面的距离为 B．三棱锥外接球的表面积为 C． D．直线BC与平面所成的角为 7．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，将正方形纸片沿对角线翻折，若E，F分别为的中点，O为原正方形的中心，使得折纸后的二面角的大小为，则此时的值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·江苏南京·期中）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 10．（24-25高三上·湖南·期中）三棱台中，，设AB的中点为的中点为与BF交于点与交于点，则（    ） A．直线GH与直线异面 B． C．线段AE上存在点，使得平面 D．线段BE上存在点，使得平面 11．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．异面直线AE与所成的角的余弦值为 D．点到平面ACE的距离为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·浙江·期中）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为 . 13．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则 14．（2023高三·全国·专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）长方体中，．点为中点．    (1)求证：平面 (2)求证：平面． 16. (15分) （24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． (1)求证：平面ADE； (2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 17. (15分) （24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. (17分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. (17分) （24-25高二上·湖南·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A B A A A ACD AD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】设，求出，利用求出的值，即得比值. 【详解】设，则，， 因平面的一个法向量为，则，即，解得， 故，故=． 故选：B. 2．B 【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则. 故选：B 3．C 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角公式即可求解． 【详解】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系， 因为，，则，，，， 可得 , 则， 则直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 4．A 【分析】建立空间直角坐标，设，，表示出，，依题意，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，， 设，， 则，， 因为，所以，解得. 故选：A 5．B 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 6．A 【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案. 【详解】D选项，如图1，连接，与相交于O点，    因为⊥平面，且平面，所以⊥， 又因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 即直线与平面所成的角为， 且，故D错误； C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，    则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则，所以⊥平面， 又因为平面，则⊥，故C错误； B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设其外接球的半径为R，则，即， 所以，故B错误； A选项，如图3，因为，平面，平面，    所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 由B选项可知，平面的一个法向量为， 且， 则两平面间的距离，故A正确. 故选：A 7．A 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 8．A 【分析】利用空间向量数量积与夹角关系计算即可. 【详解】    如图所示，易知， 所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以, . 故选：A 9．ACD 【分析】根据方向向量、向量模长、法向量，向量的数量积运算可逐一判断． 【详解】因为平面经过三点，，， 则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确； 线段的长度为，故B错； 又向量是平面的法向量，， 则，解得，则，故C正确； 又,1,， 则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确． 故选：ACD． 10．AD 【分析】A选项，根据线面关系，得到B，G，H三点不共线，直线GH与直线没有交点，故两直线异面；B选项，，但是的中点，不成立，故B错；CD选项，取线段BF的中点，连接交BE于点，可证得平面，C错误，D正确. 【详解】如图所示，对于A，因为平面平面， 故与平面的交点为，且是唯一的.又因为B，G，H三点不共线， 所以GH不经过点，又平面，所以直线GH与直线没有交点， 即直线GH与直线异面，故A正确； 对于B，因为AB的中点为的中点为，所以点是的重心， ，若，则， 事实上：， 所以一定经过的中点，故是的中点，不成立，故B错误； 对于CD选项，如图，取线段BF的中点，连接并延长，交BE于点， 下证平面：由为的中点可知， 又平面平面，所以平面，故D正确，C错误； 故选：AD. 11．ABD 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即，又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据，，，到球心距离等于半径，求出半径，得到四面体的外接球的表面积 【详解】以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 设四面体的外接球的球心为，半径为. 因为，，，， 所以解得，， 故四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 13．2 【分析】建立空间直角坐标系，设，求得点N的坐标，再利用面面垂直得到两平面的法向量互相垂直，进而求得的值，即可得到答案. 【详解】在中，因为，故， 故在四棱锥中，有， 而，故平面，因平面， 所以，而，故， 而，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 在中，因为经过的重心，则有，故， 在中，， 则， 设，则，故， 又， 设平面的法向量为，则， 取，则，故. 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 因为平面平面， 故，所以，故，所以. 故答案为：2 14．（答案不唯一） 【分析】以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面CDF的一个法向量. 【详解】解：以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz， 由题意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0）， ， 设平面CDF的一个法向量为， 则，取x=-1，得， 故答案为：（答案不唯一） 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判断定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意写出相应点的坐标，求出及平面的法向量的坐标，由，即可证明平面. 【详解】（1）因为是长方体， 所以平面，而平面， 所以， 又因为，所以侧面是正方形， 因此， 因为平面， 所以平面﹔ （2）建立如图所示的空间直角坐标系，   ， ， 设平面的法向量为， 则有， 解得， 因为， 而平面，所以有平面. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． （2）平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 17．(1) (2) 【分析】（1）设，的中点分别为，，连接，根据正棱柱的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面、平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以.    因为为的中点，所以， 从而， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18．(1)证明见解析． (2)； (3)． 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）取中点，证明平面，以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角求得的长，然后线线角的空间向量法求解； （3）由二面角的空间向量法求得余弦值再转化为正弦值． 【详解】（1）底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又侧面为正三角形，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面； （2）取中点，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，，则， ，平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正弦值为.， 所以，解得（负值舍去）， ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为； （3）由（2）知，设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ，，， 设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面与平面所成夹角为， 则，从而． 所以平面与平面所成夹角的正弦值为． 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出结论； （2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可. （3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 （3）若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知异面直线，所成的角为，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（    ） A．或 B．4 C． D．或4 5．（24-25高二上·广西·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 7．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江西·二模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将三角形ADE沿DE折起，构成四棱锥，F为的中点，则（    ） A．BF平面 B．⊥平面 C．若平面⊥平面ABC，则在某个特定的坐标系下，的一个方向向量可以为 D．若，则在某个特定的坐标系下，平面的一个法向量可以为 10．（24-25高三上·江苏镇江·期中）如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（    ）    A．存在，使得 B．当时，存在，使得平面 C．当，时，四面体的体积为 D．当时， 11．（24-25高二上·湖北武汉·期中）在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（    ） A．二面角 的平面角的正切值为 B．三棱锥 体积为 C．以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D．线段 的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为 . 13．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 14．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 16. (15分) （24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 17. (15分) （24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，． (1)求证：； (2)求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值； (3)线段上EC上是否存在点，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. (17分) （24-25高三上·北京·期中）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，为PA的中点，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点.    (1)求证：平面DEF； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段EF上是否存在一点，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （24-25高二上·浙江·期中）如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D B C D D BCD BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】利用向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由题意，， 因为平面的一个法向量， 所以， 所以， 解得. 故选：A 2．D 【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直得出结论. 【详解】因为， 所以，则或. 故选：D 3．D 【分析】建立空间直角坐标系求异面直线，所成角的余弦值即可. 【详解】解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 【点睛】 4．D 【分析】根据空间向量基本定理，以向量，，为基底表示向量，利用向量的模厂，计算空间两点间距离.注意异面直线所成角. 【详解】 以向量，，为基底，由题知，，，，，，或， 则， 当时，，， 当时，，． 故选：D 5．B 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算，即可求得点F到平面的距离，又可证得平面，即可得出直线到平面的距离. 【详解】在直三棱柱中，， 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，E、F分别为的中点， 则，，，，， 所以，，，    设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以点F到平面的距离为. 因为在直三棱柱中，分别为的中点， 则且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 则点F到平面的距离即为直线到平面的距离. 故选：B. 6．C 【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于四边形是矩形，所以， 由于，平面，所以平面， 由于平面平面，所以平面. 由于平面，所以， 由于，所以平面，由于平面， 所以，同理可证得， 所以, 所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确. 由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角）， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 即异面直线、所成的角为，B选项正确. 将几何体补形为正方体，如下图所示， 所以，C选项错误. 由上述分析可知，由于平面，平面， 所以平面.同理可证得平面， 由于，所以平面平面. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，平面与平面间的距离，即到平面的距离， 所以距离为，D选项正确. 故选：C    7．D 【分析】取的中点，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合，利用两点间距离公式，求出的长即可． 【详解】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 所以，而， 所以，即，所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以的中点到的距离为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发现，再利用整体法即可得解. 8．D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出. 【详解】由题意，平面，四边形为正方形， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，则， 又，，所以，则， 由题意，四点共面，所以， 所以，解得， 所以，，所以， 所以，即， 所以， 所以， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 所以截面的面积为. 故选：D 9．BCD 【分析】结合面面平行的判定及性质，利用反证法判断A；根据线面垂直的判定定理判断B；建立空间坐标系，求出向量坐标判断C；求出平面的法向量判断D. 【详解】对于A，假设平面，由，平面，平面， 得平面，又平面，则平面平面， 而平面与平面相交于点，即假设不成立，因此不平行平面，A不正确； 对于B，由，，得，， 又平面，则平面，B正确； 对于C，将沿折起，使到，且平面平面， 取的中点，连接，由，得，平面， 又平面平面，因此平面， 在平面内过作，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设正的边长为2，则， 于是，C正确； 对于D，过点作平面，由选项C知，设， 由，得，则， 即，，，由， 得，即，解得，点， 则，设平面的法向量， 则，取，得，D正确． 故选：BCD 10．BCD 【分析】对于A，用反证法判定.对于B，运用面面平行得到线面平行.对于C,通过条件，分析出体积之间的关系，运用等体积发计算即可.对于D，运用向量法，结合垂直的数量积为0计算即可. 【详解】对于A，，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A错． 对于B，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对． 对于D，如图建系，，，，  ，，，， ∴，∴，D对．    对于C,时，，时，到平面的距离是到平面距离的.，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C对， 故选：BCD． 11．ACD 【分析】设交于点，证明是二面角的平面角，计算其正切判断A，由体积公式计算体积判断B，设交于点，证明平面，由球性质得为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，计算的长判断D． 【详解】如图，设交于点， 平面，平面，则，同理， 又，，平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知，， 所以，A正确； 由正方体性质知，B错； 如图，设交于点，由且得， 即，， 由平面，平面，得，同理可得， 而，平面，所以平面， （易得实际上等边是的中心） 以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面， 为圆心，设是圆周上一点，则， 圆面积为，C正确； 延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点， 因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立， 以为原点，o 轴建立空间直角坐标系，如上图， 则，，，∴， ，D正确． 故选：ACD． 12． 【分析】由图形的结构特征，当为正方体中心时，点到两点的距离之和最小值为，到这两点的距离之和的最小值为，求值即可. 【详解】点与点和点的距离之和为， 因为关于平面的对称点为，故， 当且仅当为中点，即为正方体中心时等号成立； 点与点和点的距离之和可表示为， 则，当且仅当在所在直线上时等号成立， 故的最小值为， 当且仅当为正方体中心时等号成立. 故答案为：. 13． 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 14． 【分析】建立空间直角坐标系，根据探索两点坐标之间的关系，确定最小时两点的坐标，再用空间向量的方法求点到面的距离. 【详解】如图所示,建立空间直角坐标系，    则,设, 则， 因为,所以,即， 所以,又, 则， 当时,取得最小值， 此时,即， 所以, 设平面的一个法向量为， 则即, 令,解得,所以, 则点到平面的距离为 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 16．(1)证明见解析 (2) (3)存在满足题意的点，此时 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示可得，即可证明； （2）利用空间向量法求解线面角即可； （3）假设存在满足题意的点，设（），根据空间向量的坐标表示可得，进而求出平面的一个法向量，结合空间向量法求解面面角建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）由题意知，，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 得，所以. （2）， 得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 即AB与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在满足题意的点，设（）， 由（1）（2）知， 所以，得，解得， 即，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，又平面的一个法向量为， 故， 整理得，由，得. 即当点为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为， 此时，即. 17．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值． （3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值． 【详解】（1）证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）由（1）可得，，又， 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,， 取平面的一个法向量， 设平面的一个法向量,,， 因为， 则， 令，则，所以,,． 设平面与平面所成角的大小为， 则． 所以平面与平面所角的余弦值是． （3）设， 由（1）得， 则， 又， 设平面的一个法向量为，则， 当时，与重合，则平面即为平面， 易知平面与平面不垂直，故不符合题意。 当时，令，则， 故平面的一个法向量为 若平面平面，则，即，解得， 故，即. 故线段上上存在点，使平面平面，且. 18．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论； （2）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值； （3）假设点Q存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE为矩形，所以N为PC的中点，连接FN，    在中，F、N分别为PA、PC的中点，所以， 因为平面DEF，平面DEF， 所以平面DEF； （2）因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，又AD、DC在平面ABCD内， 所以， 又，所以， 如图以D为原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面PBC的法向量为， 则，即，解得，令，则， 所以平面PBC的一个法向量为， 设平面ABP的法向量为， ，令，则， 所以平面ABP的一个法向量为， ， 因为二面角的平面角是钝角，所以二面角的平面角余弦值为， （3）设存在点Q满足条件， 由，设， 则 ， 因为BQ与平面BCP所成角的大小为， 所以， 解得，又，所以，即Q点E与重合， 故在线段EF上存在一点Q，且. 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由折叠可证线面垂直，由线面垂直的性质可证明结论. （2）建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算平面法向量，利用公式计算平面夹角的余弦值. （3）建立空间直角坐标系，设，利用“二面角为”表示点坐标，根据线面角的向量公式求的长. 【详解】（1）∵，， ∴，即，， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2）∵二面角是直二面角，∴平面平面， ∵平面平面，，平面，∴平面， 如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ∴，. 设平面法向量为， ，令，则，，故， 由题意得，平面法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. （3） 分别以、所在直线分别为轴、轴，过作平面的垂线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 由（1）得，二面角的平面角为，即，故， ∴，. 由题意得，平面的法向量为， ，解得， ∴存在点，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$