精品解析：重庆市江津中学校2024-2025学年九年级上学期12月定时作业数学试题

江津中学初2025届初三（上）三阶段考试 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 买一张彩票，一定不会中奖 3. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点、都在函数的图象上，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个黑点，第②个图形中一共有8个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，……，则第⑥个图形中黑点的个数是（ ） A. 29 B. 38 C. 48 D. 59 8. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x整式M：，其中a，b，c，d，e为整数，且，下列说法：①存在M为四次三项式；②令函数，当时，函数值为30，当函数值为20，则；③若（其中p、q为整数）为整式M的因式，则q一定整除e；④若，且a，b，c，d，e均为自然数，则满足条件的M共有7个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知点与点关于原点对称，则_______． 12. 一个不透明的袋子中有红球和黑球共个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有______个． 13. 已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______． 14. 如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加_________． 15. 如图，边长为与的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，连接，则圆弧与线段所围成的阴影部分的面积是______（结果保留）． 16. 若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为_______． 17. 如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为______，_______． 18. 材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6，则称这个三位数为“中顺数”，例如：237，因为，所以237是“中顺数”； 材料二：若（，，，且a，b，c均为整数），记． 已知，是两个不同的“中顺数”，且能被13整除，则______．满足条件最小的______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 在学习圆相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图1，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），探究弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数关系．请根据这个思路完成以下作图和填空． （1）如图2，是的直径，C、D是圆上两点，连接，请尺规作图：延长，过点B作垂直，即的切线；（M在点B左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：连接， ∵是的直径， ∴； ∵是过点B的切线， ∴①_______，即， ∴， 又∵， ∴②_______， 又∵和是弧所对的圆周角， ∴③_______， ∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于④________． 21. 为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）选文学类图书的学生有_______人，_________ （2）若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数； （3）某班计划从报名的甲、乙、丙三名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率． 22. 2024年“五一”假期期间，四面山景区特产店销售某种类特产，进价50元/件，售价为60元/件． （1）如果特产按原价销售每天可售出60件，经市场调查反映，特产每降价1元，每天可多售出10件，若特产供货充足，商家想要薄利多销，且每天获利630元，应降价多少元? （2）在（1）条件下，每天的总利润为W，试求出特产降价多少元时，总利润W最大，最大利润是多少元? 23. 如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若且，，求的长度． 24. 如图1，在中，，，．点P从点A出发，以2的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以1的速度沿线段运动，当点Q到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． （1）请直接写出与x函数关系式，并注明自变量x的取值范围（面积不取0）； （2）在图2平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质：_______； （3）若与x的函数图象与直线有一个交点，则n的取值范围是________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点D，直线与抛物线相交于A，C两点． （1）求抛物线的解析式． （2）设点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作平行x轴，交抛物线于点N，垂直于点M，当P在对称轴左方时，求的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由． 26. 如图所示，为等腰三角形，，点D是线段上一点，连接． （1）如图1，若，把绕A顺时针旋转到，连接，满足，，求的长； （2）如图2，若，把绕A顺时针旋转到，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，点若G为平面内一点，若，当取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江津中学初2025届初三（上）三阶段考试 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的识别，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不合题意， 故选：A． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 买一张彩票，一定不会中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件是一定条件，一定会发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，不符合题意； 故选C． 3. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：含有一个未知数，且未知数的次数是的等式是一元二次方程， 故，其中，原式不是一元二次方程，选项A不符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，选项B不符合题意； 是一元二次方程，选项C符合题意； 含有两个未知数，不是一元二次方程，选项D不符合题意； 故选C． 4. 已知点、都在函数的图象上，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，分别代入和可得的大小关系． 【详解】解：∵二次函数， ∴当时，， 当时，， ∴， 故选：A． 5. 如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，先根据邻补角求出，然后利用圆周角定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出∠ACA′，然后利用弧长公式即可求出结论． 【详解】解：由题意可知：∠A=30°，∠ABC=90° ∴∠ACB=90°－∠A=60° ∴∠ACA′=180°－∠ACB=120° ∴顶点从开始到结束所经过的路径为以C为圆心，AC为半径的弧上 ∴顶点从开始到结束所经过的路径长为 故选A． 【点睛】此题考查的是求点的运动路径长，掌握弧长公式是解决此题的关键． 7. 下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个黑点，第②个图形中一共有8个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，……，则第⑥个图形中黑点的个数是（ ） A. 29 B. 38 C. 48 D. 59 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题，根据各图中点的变化特点得出规律，进而得出答案． 【详解】第①个图中黑点个数是3； 第②个图中黑点的个数是； 第③个图中黑点的个数是； 第④个图中黑点的个数是； 第⑤个图中黑点的个数是； 所以第⑥个图中黑点的个数是． 故选：B． 8. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方且在直线的上方时对应的的范围． 【详解】解：由图象可得，抛物线的对称轴为直线，经过点和， 根据抛物线的对称性，也经过点和， 若，则x的取值范围是或， 故选：B． 9. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点G，由旋转性质和角平分线的定义证明，得到，设，证明四边形是正方形，得到，得到，得到，根据，得到，即得求解． 【详解】解：延长交于点G， 由旋转知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10. 已知关于x的整式M：，其中a，b，c，d，e为整数，且，下列说法：①存在M为四次三项式；②令函数，当时，函数值为30，当函数值为20，则；③若（其中p、q为整数）为整式M的因式，则q一定整除e；④若，且a，b，c，d，e均为自然数，则满足条件的M共有7个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的概念，多项式乘以多项式，求函数值等知识，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． ①根据，且，，，，为整数，可得当a为0，则的项数至少是4项；②，分别代入求解判断；③设（其中均为整数），则常数项，即可判断；④当时，；；；；；；当时，，故共有7种情况． 【详解】解：①根据，且，，，，为整数，可得当a为0，则的项数至少是4项，故不可能为四次三项式，故①错误； ②当时，，当，，则，故②正确； ③由题意得，设（其中均为整数）， 则常数项， ∴为整数， ∴q一定整除e，故③正确； ④∵，，且a，b，c，d，e均为自然数， 当时，； ； ； ； ； ； 当时， 故④正确， ∴正确的有三个， 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知点与点关于原点对称，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 由点与点关于原点对称，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，， 故答案为：1． 12. 一个不透明的袋子中有红球和黑球共个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【详解】解：∵共摸了次球，有次摸到黑球， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋中的黑球大约有（个）， 故答案为：． 13. 已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，再将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数．根据二次函数的图象分别求得当或时，x的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当时，， 此时水面宽度为， 再下降，即当时，， 此时水面宽度为， 水面宽度增加：， 故答案为：． 15. 如图，边长为与的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，连接，则圆弧与线段所围成的阴影部分的面积是______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积、正方形以及平行线的性质是解决问题的关键．根据正方形的性质，平行线的性质得出，于是将转化为，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，是正方形， ， ， （同底等高）， ， 故答案为：． 16. 若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟练掌握各自运算方法． 表示出不等式组的解集，由不等式有且只有3个整数解确定出的取值，再由关于y的一元二次方程有两个实数根，求出满足题意整数的值，进而求出和． 详解】解：， 由①得， 由②得． ∴原不等式组的解集为 方程组有且只有3个整数解， ∴可取5、4、3． ， ． 关于y的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得且， 且， 整数的取值为5，7，8 所有整数的和为． 故答案为：20． 17. 如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为______，_______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】延长交于F，根据直径所对的圆周角为直角得，再根据垂径定理得，设的半径为R，则，证明，得到，进而得，在和中利用勾股定理构造方程由此解出R即可，再由求解． 【详解】解：延长交于F， 如图所示 ∵是的直径， ，即， ∵点C为 的中点， 根据垂径定理得， ， 设的半径为R，则 ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得 (不合题意，舍去)， ∴的半径为． ∴， ∴， 故答案为：；6． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 18. 材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6，则称这个三位数为“中顺数”，例如：237，因为，所以237是“中顺数”； 材料二：若（，，，且a，b，c均为整数），记． 已知，是两个不同的“中顺数”，且能被13整除，则______．满足条件最小的______． 【答案】 ①. 2 ②. 138 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，不等式的性质，数的整除等知识点，正确理解题意是解题的关键． 由新定义得到，则，可求，要使得最小，那么应该最小，而，则，那么，则或，解方程即可． 【详解】解：∵，是两个不同的“中顺数”， ∴， ∴， ∵（，，，且a，b，c均为整数），记， ∴， 要使得最小，那么应该最小，而， ∴ ∴， ∵能被13整除， ∴， ∴， 解得：（舍）， 或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案：2；138． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 20. 在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图1，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），探究弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数关系．请根据这个思路完成以下作图和填空． （1）如图2，是的直径，C、D是圆上两点，连接，请尺规作图：延长，过点B作垂直，即的切线；（M在点B左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：连接， ∵是的直径， ∴； ∵是过点B的切线， ∴①_______，即， ∴， 又∵， ∴②_______， 又∵和是弧所对的圆周角， ∴③_______， ∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于④________． 【答案】（1）见解析 （2），，，它所夹的弧所对的圆周角 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接即可； （）连接，由是的直径，得；又是过点的切线，则，即，故有，又，则，从而得出结论； 【小问1详解】 如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 连接； ∴即为所求； 【小问2详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴； ∵是过点的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵和是弧所对的圆周角， ∴， ∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 故答案为：，，，它所夹的弧所对的圆周角． 21. 为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）选文学类图书的学生有_______人，_________ （2）若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数； （3）某班计划从报名的甲、乙、丙三名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率． 【答案】（1）70，108 （2）估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与树状图法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用科普类的人数除以对应百分比可得总人数，再求出选文学类图书的人数，用360乘“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数； （2）用该校共有学生人数1800乘以工具类图书所占百分比即可； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【小问1详解】 调查的学生总人数为（人）， ∴选文学类图书的学生有（人）． ． 故答案为：70，108； 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中同时选中乙和丙的结果有：（乙，丙），（丙，乙），共2种， ∴同时选中乙和丙的概率为． 22. 2024年“五一”假期期间，四面山景区特产店销售某种类特产，进价50元/件，售价为60元/件． （1）如果特产按原价销售每天可售出60件，经市场调查反映，特产每降价1元，每天可多售出10件，若特产供货充足，商家想要薄利多销，且每天获利630元，应降价多少元? （2）在（1）的条件下，每天的总利润为W，试求出特产降价多少元时，总利润W最大，最大利润是多少元? 【答案】（1）3元 （2）降价2元时，总利润W最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据利润单个利润数量列方程计算出x的值即可； （2）根据利润单个利润数量得到关于x的函数解析式，再配方求最值． 【小问1详解】 解：设降价x元， 则由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵商家想要薄利多销， ∴应降价3元； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴时，总利润W最大，最大值为640元， ∴特产降价2元时，总利润W最大，最大利润是640元． 23. 如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若且，，求的长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由，则可得出，再根据三角形的外角性质可得，从而有，故有，所以可证，从而求证； （）由（）得：，，则可得，，通过勾股定理求出，由角度和差，三角形的外角性质可以得到，则，最后由线段和差即可求解； 本题考查了切线的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如上图，由（）得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图1，在中，，，．点P从点A出发，以2的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以1的速度沿线段运动，当点Q到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． （1）请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围（面积不取0）； （2）在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：_______； （3）若与x的函数图象与直线有一个交点，则n的取值范围是________． 【答案】（1） （2）作图见解析，性质：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可． 【小问1详解】 解：当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， 【小问2详解】 解：函数图象如图所示， 性质：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一）， 故答案为：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：平移，如图所示： 当过时，没有交点，此时函数解析式为，， 当过时，有两个交点，，则， ∴此时函数解析式为， 若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 当过时，有1个交点，则，则， 综上：若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是或， 故答案为：或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点D，直线与抛物线相交于A，C两点． （1）求抛物线的解析式． （2）设点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作平行x轴，交抛物线于点N，垂直于点M，当P在对称轴左方时，求的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形等知识，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法直接求解即可； （2）过点作轴交于点， 为等腰直角三角形，则，而，，故，即可求解； （3）连接，过点D作于点K，过点Q作轴于点L，将问题化为，继而利用等角的正切值相等，建立方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴解析式为： 【小问2详解】 解：过点作轴交于点， 对于直线，当， 时，， 解得：， ∴，而 ∴， 而轴， ∴， 而垂直于点M， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵对称轴为：直线， ∴设， ∵平行x轴， ∴关于直线对称， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，取得最大值为， ∴ 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 连接，过点D作于点K，过点Q作轴于点L， 由上知， ∴， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 而对于抛物线，当， ∴， ∴轴， ∴， ∴同上可得：， 而， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍） ∴． 26. 如图所示，为等腰三角形，，点D是线段上一点，连接． （1）如图1，若，把绕A顺时针旋转到，连接，满足，，求的长； （2）如图2，若，把绕A顺时针旋转到，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，点若G为平面内一点，若，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点T，先证明 ，则，则，在中，由勾股定理得，则，在中，由即可求解； （2）以为边，在上方作等边，连接，，可证明，则，继而，则，证明，则，即可求证； （3）解：以为边，向下作等边，连接，取中点，连接，记交于点，同理可证明，可得点P轨迹为射线，点G在以H为圆心，为半径的圆上运动，显然点I也在上，由，则当三点共线，且时，最小，此时经过点，点与点重合， 延长交于点，连接，由，得到，设，则，在中，，，则，而，求得，即，，则，则在中，由勾股定理得，即可求解的值． 【小问1详解】 解：过点E作于点T， 由旋转得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 证明：以为边，在上方作等边，连接，则， ∵， ∴， ∵把绕A顺时针旋转到， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：以为边，向下作等边，连接，取中点，连接，记交于点， ∵为等边三角形， 则， 同理可证明， ∴， ∴， ∴点P轨迹为射线， ∵， ∴点G在以H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴点I也在上， ∵， ∴当三点共线，且时，最小，此时经过点，点与点重合，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，圆的定义，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键确定点的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$