精品解析：湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

洪山区2024-2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 洪山区教育科学研究院命制 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将所有的项都移到方程的左边，方程的右边为0，再得出二次项系数，一次项系数． 【详解】解：， ∴ 二次项系数为，一次项系数为． 故选：A． 3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：平移后所得抛物线的解析式为：， 故选：C 4. 如图，中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，由垂径定理可得，再由圆周角定理可得，即可得到答案，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：中，， ， ， ， ， 故选：B． 5. 关于二次函数下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 有最小值2 D. 顶点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：∵，∴二次函数开口向下，故A错误； ∵二次函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，故B正确； ∵二次函数的顶点坐标是，开口向下， ∴二次函数有最大值2，故C、D错误； 故选：B 6. 某地区为加强校园建设，2024年投入经费1000万元，预计2026年投入经费4000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．根据2026年投入经费2024年投入经费列出方程即可得． 【详解】解：由题意可列方程为， 故选：A． 7. 两个三位数相乘，百位数字都是，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于，则下列选项中乘积最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行简便计算，解决本题的关键是把两个数的乘积都写成平方差的形式，根据当被减数相同时，减数越大差越小判断即可． 【详解】解：A、， B、， C、， D、， ， ， 乘积最小的是． 故选：D． 8. 如图，在圆内接四边形中，，．若四边形的面积是S，的长为x，则S与x之间函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，含的直角三角形是解题的关键．由圆内接四边形，可得，，由，作的延长线于，于，证明，则，，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，结合图形求面积即可． 【详解】解：∵，． ∴， ∵圆内接四边形， ∴，， 如图，作的延长线于，于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴ ， 故选：C． 9. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（ ） A. B. C. 或8 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，利用根与系数关系构建方程求出m，再利用判别式的值判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 当时，则有， ，不符合题意舍去， ∴m的值是， 故选：A． 10. 如图，点是正方形边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，交边于点，取中点，连接，当取最小值时，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上截取，连接，过作射线，证明出动点在确定的射线上，其中，再利用将军饮马模型找出当取最小值时，的位置，证明，得到，进一步得出，从而作出判断． 【详解】解：在上截取，连接，过作射线， 四边形是正方形， ，，，， ，即，， 将线段绕点顺时针旋转得线段， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 动点在确定的射线上，其中， 作点关于的对称点，则在的延长线，连接，连接交于点， 则，， ， 最小值为，此时位于处， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 当取最小值时，则值是． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．掌握关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴该小组共有9人． 故答案为：9． 13. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 14. 方程总有两个相等的实数根，则t的值为_______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．整理方程得：，推出，据此即可求解． 【详解】解：整理方程得：， ∵方程总有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：或 15. 抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点与点也在该抛物线上，下列结论：①点B的坐标为；②方程有两个不相等的实数根；③④当（为常数）时，．其中正确结论的序号是__________ 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据点与点也在该抛物线上，可求出抛物线的对称轴，根据点A的坐标即可求出点B坐标，可以判断①选项；根据图象可知抛物线与有两个交点，可以判断②选项；将A，B点坐标代入抛物线解析式，可得，再根据，即可判断③选项；根据对称性可知当时和时函数值相等都是c，即可判断④选项． 【详解】解：∵点与点也在该抛物线上， ∴该抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与x轴交于，B两点， ∴，B两点关于对称轴对称， ∴， 故①选项符合题意； ∵图象开口向下，与x轴交于A，B两点， ∴抛物线与有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②选项符合题意； 将A，B点坐标代入抛物线解析式，得， 解得， ∴， ∵， ∴，即③， 故③选项不符合题意； ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，， ∴当时，， 故④选项不符合题意； 故答案为：①②． 16. 如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转得，而平分，所以垂直平分，则，而，可证明是等边三角形，由，求得，则，，由，得，求得，则，所以，且，由，得． 【详解】解：由旋转得， ∵的角平分线经过的中点， ∴，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是等边三角形是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为点E、F，点E落在上，连接．若．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理.熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 根据旋转的性质，推出 是等腰三角形，进而求出的度数，利用即可求出的度数． 【详解】解：如图： ∵旋转得到, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ∴． 19. 为了庆祝祖国75岁华诞，小红制作了一副《盛世华章》的手工刺绣，如图该作品是一个长，宽的矩形，小红想将此作品装裱到四周宽度相同的相框里，制成一副矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，求相框的宽度？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设纸边的宽为，则挂图的长为，宽为，由矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设相框的宽为，则挂图的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， （不合题意，舍去）， ∴相框的宽度为． 20. 如图，是半圆O的直径，C是上一点，过点C作弦的垂线，垂足为E，． （1）求证：C是的中点； （2）若，半圆O的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，，，先证明是等腰直角三角形得，进而得，由此根据垂径定理即可得出结论； （2）设，，则，，先求出，然后由勾股定理得，，然后解方程组求出a即可． 【小问1详解】 证明：连接，，，如图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 根据垂径定理得：， 即点C是弧的中点； 【小问2详解】 设，，则，， ∵半圆O的半径为，， ∴是等腰直角三角形，且， 由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ：得：， ∵， ∴， 将代入①，得：， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程组是解决问题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方点叫做格点．三点在格点，点D在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，先画的平分线，再将绕点A旋转，使得旋转后的三角形的顶点都是格点，画出旋转后的三角形； （2）在图2中，先画点G，使四边形为平行四边形，再在上画点H，使． 【答案】（1） 如图1，是角平分线，即为所求； （2） 如图2，四边形，点H即所求． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，然后利用等腰三角形的性质和矩形的性质可得是角平分线，根据旋转变换的性质分别作出的对应点进而即可得到答案； （2）根据平行四边形的判定定理作出图形，作点C关于的对称点，连接′交于点H，连接，点H即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，结合，设解析式为，确定a的值即可； （2）根据解析式，得到，求出于x轴的正半轴的交点坐标的横坐标即可解答即可； （3）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，得到，抛物线变形为，计算米，米，解答即可． 小问1详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 又，设解析式为， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据解析式，得到， 故， 解得，（舍去）， 答：运动员落水点与点C的距离米． 【小问3详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， 把代入，得到， 抛物线变形为， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 故k的范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与一元二次方程，抛物线与不等式，抛物线的生活应用，熟练掌握应用是解题的关键． 23. 问题背景及探索： （1）已知在中，，E、D都在边上， ①如图1，若将绕点A顺时针旋转，当与重合时，点D旋转到，且，求出，，数量关系 ； ②如图2，若，，求的度数； 问题拓展 （2）如图3，等边边长为6，绕点A逆时针旋转得，N为与的交点，M为的中点，当E在边上运动时，请直接写出的最小值 ． 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】（1）①证明，得出，根据，即可得出结论； ②过点A作，取，连接，，证明，得出，，根据勾股定理得出，，得出，证明，得出； （2）过点A作于点G，在上取点F，使，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接，证明，得出，，证明，得出，根据中位线性质得出，说明当最小时，最小，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）①∵将绕点A顺时针旋转，当与重合时，点D旋转到， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点A作，取，连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点A作于点G，在上取点F，使，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接，如图所示： 则， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， 根据旋转可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E在点G处时，最小， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，中位线的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 24. 如图，抛物线：与x轴交于点，点，与y轴交于点C， （1）求此抛物线的解析式； （2）如图2，若直线l：与x轴和y轴分别交于点D和点E，直线交直线于点F，在第一象限内的抛物线上是否存在一点，使，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图3，将（2）中直线l平移后与抛物线交于M，N两点，求证：平分． 【答案】（1）此抛物线的解析式为： （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了利用交点式求二次函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，方程思想等知识，第三问有难度，解决本题的关键是表示点和的坐标，并利用坐标说明． （1）根据交点式可求得抛物线解析式； （2）在轴上取一点， 过 点作轴，交直线于，令和可得点和的坐标，证明， 则， 得点的坐标， 计算的解析式，联立二次函数和一次函数的解析式组成方程组解答即可； （3）设交轴于， 延长交轴于点， 设平移后的直线的解析式为：，联立方程组可得二次函数和直线的交点坐标，根据坐标可得， 证明，从而可以解答． 【小问1详解】 抛物线：与轴交于点，两点， 此抛物线的解析式为： 【小问2详解】 如图2，在轴上取一点， 过 点作，交直线与H， 当，， ， ， 抛物线的解析式， 当，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 解得： 直线的解析式为：， ， 解得： ，， ； 【小问3详解】 证明：如图3，设交轴于， 延长交轴于点， 设平移后的直线的解析式为：， ， ， ， 同理可得：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ， ， ， ， ， 平分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洪山区2024-2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 洪山区教育科学研究院命制 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 有最小值2 D. 顶点坐标是 6. 某地区为加强校园建设，2024年投入经费1000万元，预计2026年投入经费4000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 两个三位数相乘，百位数字都是，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于，则下列选项中乘积最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在圆内接四边形中，，．若四边形的面积是S，的长为x，则S与x之间函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（ ） A. B. C. 或8 D. 2或 10. 如图，点是正方形边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，交边于点，取中点，连接，当取最小值时，则的值是（） A B. C. D. 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有______人． 13. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是________． 14. 方程总有两个相等的实数根，则t的值为_______ 15. 抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点与点也在该抛物线上，下列结论：①点B坐标为；②方程有两个不相等的实数根；③④当（为常数）时，．其中正确结论的序号是__________ 16. 如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为_____． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为点E、F，点E落在上，连接．若．求的度数． 19. 为了庆祝祖国75岁华诞，小红制作了一副《盛世华章》的手工刺绣，如图该作品是一个长，宽的矩形，小红想将此作品装裱到四周宽度相同的相框里，制成一副矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，求相框的宽度？ 20. 如图，是半圆O的直径，C是上一点，过点C作弦的垂线，垂足为E，． （1）求证：C是的中点； （2）若，半圆O的半径为，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方点叫做格点．三点在格点，点D在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，先画的平分线，再将绕点A旋转，使得旋转后的三角形的顶点都是格点，画出旋转后的三角形； （2）在图2中，先画点G，使四边形为平行四边形，再在上画点H，使． 22. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 23. 问题背景及探索： （1）已知在中，，E、D都在边上， ①如图1，若将绕点A顺时针旋转，当与重合时，点D旋转到，且，求出，，数量关系 ； ②如图2，若，，求度数； 问题拓展 （2）如图3，等边边长为6，绕点A逆时针旋转得，N为与的交点，M为的中点，当E在边上运动时，请直接写出的最小值 ． 24. 如图，抛物线：与x轴交于点，点，与y轴交于点C， （1）求此抛物线的解析式； （2）如图2，若直线l：与x轴和y轴分别交于点D和点E，直线交直线于点F，在第一象限内的抛物线上是否存在一点，使，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图3，将（2）中直线l平移后与抛物线交于M，N两点，求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $