精品解析：浙江省绍兴市柯桥区柯桥区联盟学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024学年第一学期八年级数学期中课堂练习 一．选择题（共10小题） 1. 某中学的入学导视图标中，其图案可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的两边长分别4和6，则它的周长是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 14或16 4. 现有长度为两条线段，下列长度线段中能与这两条线段组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ） A. 两个角分别为， B. 两个角分别为， C. 两个角分别为， D. 两个角分别为， 6. 如图，点D、E分别在上，与相交于点O，已知，现添加下面的哪一条件后，仍不能判定的是（ ） A B. C. D. 7. 若不等式的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　） A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小 9. 如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，其中与共线．若，则的长为（　　） A. B. 7 C. D. 二．填空题（共10小题） 11. 用不等式表示“2倍与3的差大于1”：______． 12. 如图，，，请添加一个条件______，使． 13. 如图，在中，，，则的度数是 ______． 14. 命题“等腰三角形两个底角相等”的逆命题是_________． 15. 若不等式组的解为，则的取值是_____________ 16. 若直角三角形斜边上的中线长为5，则此直角三角形斜边长为______． 17. 如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠C＝__________°． 18. 定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是________． 19. 如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则_____________． 20. 如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=25，AB=14，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为_________. 三．解答题（共7小题） 21. （1）解不等式：． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 22. 如图，，点在上，且．求证： （1）； （2）． 23. 在的网格中有线段，在网格线的交点上找一点，作出三角形满足如下条件，（仅用无刻度的直尺作图） （1）在图1中画一个等腰三角形但不是直角三角形： （2）在图2中画一个直角三角形，使两直角边的长均为无理数． 24. 如图，平分的外角于于． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 香坊区某著名私立中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买2副围棋和6副中国象棋，则需要92元；若购买8副围棋和3副中国象棋，则需要158元． （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）该中学决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少副围棋？ 26. 定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 27. 如图，在中，，，点是线段上一动点，连接． （1）当为等腰三角形时，直接写出的度数； （2）当点是的中点时，求的度数； （3）过点作，，垂足分别点，，求连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期八年级数学期中课堂练习 一．选择题（共10小题） 1. 某中学的入学导视图标中，其图案可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知解集表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示正确的是： 故选：C． 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3. 若等腰三角形的两边长分别4和6，则它的周长是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 14或16 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意， ①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长=6+6+4=16； ②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长=4+4+6=14. 故选：D. 4. 现有长度为两条线段，下列长度的线段中能与这两条线段组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：根据构成三角形的条件可知，能与长度为两条线段组成三角形的线段长度的取值范围为大于，小于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 5. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ） A. 两个角分别为， B. 两个角分别为， C. 两个角分别为， D. 两个角分别为， 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角的概念判断即可． 【详解】解：当两个角分别为，时，这两个角都是锐角，和为，是直角， 则命题“两个锐角的和是锐角”是假命题， 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6. 如图，点D、E分别在上，与相交于点O，已知，现添加下面的哪一条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断即可． 【详解】当时， ∵，， ∴，故添加A选项能判定，不符合题意； 当时， ∵，， ∴，故添加B选项能判定，不符合题意； 当时， ∵，， ∴，故添加C选项能判定，不符合题意； 当时， ∵三个内角分别相等的两个三角形无法判断其全等，故添加D选项不能判定，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查添加条件使三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 7. 若不等式的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即可得出，求解即可． 【详解】解：不等式的解集是， ， 解得：， 故选：D． 8. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　） A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解． 【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP， ∴BC＝BP＝BA， ∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP， ∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°， ∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA， ∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°， ∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°， ∴∠PAH的度数是定值， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 9. 如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，整理得，． 故选：B． 10. 将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，其中与共线．若，则的长为（　　） A. B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、识别图形找等量关系，设为，为，得到，再得，设为x，得，即可解得． 【详解】解：如图， 设为，为， ∵为等腰三角形，， ∴，， ∵， ∴， 结合两图，可得， 设为x， 根据勾股定理得， ∴， 解得：x＝， ∴， 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11. 用不等式表示“的2倍与3的差大于1”：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式．读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．的2倍即，的2倍与3的差即，然后可列不等式． 【详解】解：用不等式表示“的2倍与3的差大于1”为：， 故答案为． 12. 如图，，，请添加一个条件______，使． 【答案】∠A＝∠D（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据角边角可证得，即可． 【详解】解：可添加∠A＝∠D，理由如下： ∵， ∴∠DCE=∠ACB， ∵，∠A＝∠D， ∴． 故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 13. 如图，在中，，，则的度数是 ______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________． 【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此求解即可． 【详解】解；命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形， 故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形。 15. 若不等式组的解为，则的取值是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组得出，然后根据不等式组的解集为，列出关于a的方程，是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是根据不等式组的解集列出关于a的方程，是解题的关键． 16. 若直角三角形斜边上的中线长为5，则此直角三角形斜边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题关键． 【详解】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 直角三角形斜边长． 17. 如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠C＝__________°． 【答案】125或110##110或125 【解析】 【分析】根据“准互余三角形”的定义知，或，即可求出的度数，从而得出答案． 【详解】解：是“准互余三角形”， ， ，或， ， ，或， ，或， 故答案为：125或110． 【点睛】本题主要考查了新定义题，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂题意，求出的度数． 18. 定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据题意得出，即，据此可得，解之即可，解题的关键是根据新定义列出关于的不等式组． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴， ∴则， 解得：， 故答案为：． 19. 如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠性质得，，， 当时，设， 得， ， ， 在中，， ， ； 当时， ， 是的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ， 当或时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 20. 如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=25，AB=14，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为_________. 【答案】17 【解析】 【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，如图，根据等腰三角形的性质得AH=BH=AB=7，再利用勾股定理计算出CH=24，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得OH=AB=7，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH-OH（当点C、O、H共线时取等号），从而得到OC的最小值． 【详解】作CH⊥AB于H，连接OH，如图， ∵AC=BC=25, ∴AH=BH=AB=7， 在Rt△BCH中,CH===24， ∵OC≥CH−OH(当点C. O、H共线时取等号)， ∴当O,C,H共线时，OH=BH=7， ∴OC的最小值为24−7=17. 故答案为17. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系与圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握点与圆的位置关系与圆周角定理. 三．解答题（共7小题） 21. （1）解不等式：． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）； （2），数轴见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为；求一元一次不等式组的解集就是找不等式组中所有不等式解集的公共部分． 根据解一元一次不等式的步骤解不等式即可； 先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 解不等式组：， 解不等式得：， 解不等式得：， 表示在数轴上为： 不等式组解集为：． 22. 如图，，点在上，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，证出，由平行线的判定可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∵在与中， ， ∴， ∴； 小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 23. 在的网格中有线段，在网格线的交点上找一点，作出三角形满足如下条件，（仅用无刻度的直尺作图） （1）在图1中画一个等腰三角形但不是直角三角形： （2）在图2中画一个直角三角形，使两直角边的长均为无理数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，无理数，等腰三角形的判定； （1）由勾股定理得出，作连接，画出图形即可； （2）由勾股定理得出，，，由勾股定理的逆定理得出直角三角形，画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图1所示（答案不唯一）： ，， ，即是等腰三角形． 【小问2详解】 解：如图2所示（答案不唯一）． ∵，， ∴ ∴是直角三角形，直角边、是无理数． 24. 如图，平分的外角于于． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质先证明，再证明即可； （2）先证明，利用勾股定理求解，再结合全等三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：∵平分的外角，， ∴，， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵平分的外角， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明是解本题的关键． 25. 香坊区某著名私立中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买2副围棋和6副中国象棋，则需要92元；若购买8副围棋和3副中国象棋，则需要158元． （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）该中学决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副围棋和每副中国象棋各是16元，10元 （2）该中学最多可以购买20副围棋 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准数量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设每副围棋和每副中国象棋分别元和元，根据购买2副围棋和6副中国象棋，则需要92元；若购买8副围棋和3副中国象棋，则需要158元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买副围棋，根据该中学决定购买围棋和中国象棋共30副，总费用不超过420元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每副围棋和每副中国象棋分别为元和元，由题意，得： ，解得：， 答：每副围棋和每副中国象棋各是16元，10元； 【小问2详解】 解：设购买副围棋，由题意，得：， 解得：， 答：该中学最多可以购买20副围棋． 26. 定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 【答案】【定义理解】；【问题探索】见解析；【灵活运用】 【解析】 【分析】定义理解：由四边形是对余四边形，得，进而根据等腰三角形的性质即可得解； 问题探索：证明是等边三角形，为等边三角形，得，，进而得，证明，得，再证明，在中，利用勾股定理即可得证； 灵活运用：过点作，使，连接，，证明，得，有证（），得，由，，得，从而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：定义理解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题探索 证明：如图，将绕点顺时针方向旋转，连接，． ∵，， ∴是等边三角形， ∵将绕点顺时针方向旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴； 灵活运用：过点作，使，连接，，如图所示： ∴在中，，， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边对等角，勾股定理，三角形的内角和定理，等边三角形的判定及性质，熟练掌握等边对等角，勾股定理，三角形的内角和定理，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 27. 如图，在中，，，点是线段上一动点，连接． （1）当为等腰三角形时，直接写出的度数； （2）当点是的中点时，求的度数； （3）过点作，，垂足分别点，，求连接，求的最小值． 【答案】（1）的度数为或或； （2）； （3）最小值是． 【解析】 【分析】（）分为底时，为底时，为底时三种情况分析即可； （）延长，过点作交的延长线于点，连接，根据，，求出，，，，再根据是的中点时，得出，即可证明是等边三角形，结合，，即可求解； （）连接，取的中点，连接，，根据，得出 ，求出，是等腰直角三角形， 由勾股定理得，当最小时，最小，即当时， 即可求解． 【小问1详解】 解：当为等腰三角形时，分三种情况： 为底时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 为底时，， ∴ ∴； 为底时，， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或或； 【小问2详解】 解：如图，延长，过点作交的延长线于点，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，取的中点，连接，， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形. ∴， ∴当最小时，最小，即当时， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，点到直线垂线段最短等知识点，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$