精品解析：湖南省浏阳市校联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

浏阳市高三12月份联盟校联考 数学试题卷 本试卷共4页.全卷满分150分，考式时间120分 注意事项： 1.答题前，考生务必将己的姓名､准考证号填在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后､再选涂）其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 3. 在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知三棱锥的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足是奇函数，，则（ ） A 0 B. 1 C. 2024 D. 2025 8. 是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面BMN C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为 D. 点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列的前项和，且，则__________. 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 14. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若的交点在上（均在轴上方），且，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求面积取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面. （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数，其中. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值. 19. 给定数列，若对任意且是中的项，则称为“数列”；若对任意且是中的项，则称为“数列”. （1）设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）设数列既是等比数列又是“数列”，且，求公比的所有可能取值； （3）设等差数列的前项和为，对任意是数列中的项，求证：数列是“数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浏阳市高三12月份联盟校联考 数学试题卷 本试卷共4页.全卷满分150分，考式时间120分 注意事项： 1.答题前，考生务必将己的姓名､准考证号填在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后､再选涂）其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】由得，解得，即， ，所以 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先进行除法运算，再结合共轭复数概念判定即可. 【详解】因为，所以， 即复数在复平面内对应的点为，因此在第二象限. 故选：B. 3. 在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意：. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同角三角函数关系式求出，再用诱导公式和二倍角公式化简计算即可. 【详解】由得，得， 所以. 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出的表达式，求出的最小值，再根据勾股定理求出的最小值 【详解】圆的圆心为半径， 圆心到直线的距离，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 6. 已知三棱锥的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三棱锥的所有顶点都在球的球面上，结合余弦定理可得的长，从而得，于是可得截球所得的圆的半径，由此能求出球的半径，从而能求出球的表面积． 【详解】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上， ， 由余弦定理得， ，则， 截球所得的圆的圆心为的中点，半径， 由于三棱锥侧棱长相等，所以共线，且， . 设球的半径为，由得：. 球的表面积． 故选：A． 7. 若定义在上的函数满足是奇函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得函数的周期为4，再结合函数是奇函数得出，进而计算一个周期函数值和为0，最后计算求值. 【详解】由得，函数的周期为4， 又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即， 因为，令可得 令得：，所以， 故. 故选：A. 8. 是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，构造函数，将方程的解的问题转化为图象与直线交点个数问题，数形结合求解可得. 【详解】由题意， 由得， 当时，由，可知不是方程的解； 当时，，， 令， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 且， 当；当； 如图，作出函数的大致图象， 要使方程在上至少有3个不同的解， 则函数与直线有三个不同的交点. 故结合图形可知， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于分离参数构造函数，从而将方程的解的问题，转化为函数图象与直线交点的个数问题来处理.要注意的是，在作函数图象时要关注图象趋势的分析，如题中函数当；当. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由基本不等式计算可得A错误，利用对数运算计算可得B正确，根据基本不等式中“1”的妙用可判断C正确，基本不等式计算可得D等号不成立，即D错误. 【详解】对于A：易知，即，可得A错误； 对于B：由对数运算法则计算可得，即B正确； 对于C：易知， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，即C正确； 对于D：易知， 当且仅当，且时，方程无解，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，用偶函数定义证明；对于B，整体代换计算即可；对于C，运用图像变换计算判断；对于D，图像变换，结合对称中心性质计算即可. 【详解】由题意的最小正周期为， 得：， 对于恒成立，则， 图象关于直线对称，代入，得到， 由于，取，则， 所以为偶函数， 当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象. 因为当时，， 所以得到的函数图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面BMN C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为 D. 点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，即四点共面，当与重合时满足要求，但Q不能与重合，故A错误；B选项，作出辅助线，得到，平面，B正确；C选项，作出辅助线，得到平面QKT截正方体截面为平行四边形，当T与点C重合时，面积最大，此时面积为，当Q与点无限接近时，面积接近于0，C正确；D选项，作出辅助线，得到点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧，求出点H的轨迹长度为. 【详解】选项A，连接，，，正方体中易知， P，N分别是，中点，则，所以，即四点共面， 当与重合时满足B，N，P，Q四点共面， 但Q是线段上的动点（不包含端点），故A错误； 选项B，如图，取中点为，连接，，， 因为M，N分别是，中点，则与平行且相等， 故四边形是平行四边形， 所以，又是中点，所以，所以， 平面，平面，所以平面，B正确； 选项C，如图，在平面上作⊥于K， 过K作⊥交BC或者于T， 因为平面⊥平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面QKT， 平面QKT截正方体截面为平行四边形， 当T与点C重合时，面积最大，此时，，面积为， 当Q与点无限接近时，面积接近于0， 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C正确； 选项D，取的中点，连接，则， 则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆， 交，于X，Y， 则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧， 此时满足直线PH与直线AD夹角为， 如图，，故， 所以点H的轨迹长度为，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列的前项和，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的前项和和等差中项求解即可； 【详解】，故. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意可得， 设直线与曲线的切点为，则 又切点在曲线上，所以，联立解得，即. ，设直线与曲线的切点为， 所以，又， 联立两式，解得. 故答案为：2 14. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若的交点在上（均在轴上方），且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆对称性以及可得点坐标，代入椭圆方程并联立方程组可得离心率. 【详解】设，由题意可知，如图所示： 则直线的斜率，可知的方程为， 同理可得：的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在上，可知关于轴对称， 且，可得，又因为， 联立，解得或（舍去） 故，所以椭圆的离心率为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； 【小问2详解】 由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面. （1）若分别为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行进而得出面面平行，最后应用面面平行的性质证明线面平行. （2）应用空间向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 设的中点为，连接， 为中点，， 又平面平面， 平面； 为中点，， 平面平面， 平面； 又，且平面， 平面平面， 平面，故平面. 【小问2详解】 设的中中点为的中点为，连接， ，且，平面, 又平面平面，且平面平面， 平面， 又底面为等腰梯形，， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系： 则： 设平面与平面的一个法向量分别为 即：，可取， 即：，可取， 记平面与平面的夹角为， . 17. 已知函数，其中. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求证：. 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断函数的单调性； （2）构造函数借助导数求最值即可 【小问1详解】 函数定义域为 ，令得：令得：. 函数的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 要证，即证： 令 设，则 在上单调递减，且 当时，；当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减 函数在处取得极大值也是最大值. 则，即证. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆上的点求出，，，可求椭圆的离心率； （2）设出直线方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，根据的面积求出的值，再利用韦达定理和，求出的值． 【小问1详解】 椭圆的离心率为，且过点， ，联立解得：. 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）知：，记， 当直线的斜率为0时，三点共线，不合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：， 联立：，. ，. ， . 即， 整理得：， 令，即， 解得：（舍）或，即， . 由知：且， 当时，满足：，联立解得：， 当时，满足：，联立解得：， 综上，的取值为或. 19. 给定数列，若对任意且是中的项，则称为“数列”；若对任意且是中的项，则称为“数列”. （1）设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）设数列既是等比数列又是“数列”，且，求公比的所有可能取值； （3）设等差数列的前项和为，对任意是数列中的项，求证：数列是“数列”. 【答案】（1）是“数列”，理由见解析 （2）或8 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系直接求，结合“数列”的概念直接判断即可； （2）根据等比数列的性质，构造，结合“数列”的概念求解即可； （3）根据等差数列的性质，结合“数列”的定义证明即可． 【小问1详解】 ， 当时，， 当时，符合上式， . 对任意，且， ， 是“数列”. 【小问2详解】 ，且数列是等比数列， ，且， 是“数列”， 也为数列中的项， 令得， ， 且， 的所有可能取值为或8. 【小问3详解】 设数列公差为，故；对，有， 即， 当时，，此时数列显然“数列”， 当时，， 取，则， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ， 设，即， 对，且， ， 易知， 为数列中的项， 数列为“数列”. 【点睛】关键点点睛：数列新定义，弄清题意新定义的含义，结合所学内容，分析问题与解决问题，以及要有较强的运算求解能力和转化与化归的思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$