第二单元 长方体（一） 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 长方体（一） 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、长方体、正方体的特征及拼组 1.长方体有8个顶点，6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形）；相对的面面积相等；有12条棱，可以分为3组，分别叫长、宽、高。相对的棱长度相等。 2.正方体有8个顶点，6个面，每个面都相同，都是正方形；有12条棱，每条棱的长度都相等。 3.正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊长方体。 二、长方体、正方体的展开与折叠 1.正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，有11种；相对的面完全隔开，正方形的边长是正方体的棱长。 2.长方体的展开图可按上下、前后、左右对应的面进行组合、折叠成原来的形状。 三、长方体表面积的意义和计算方法 1.长方体和正方体6个面的面积之和就是他们的表面积。 2.长方体的表面积计算方法 =长×宽×2 +长×高×2 +高×宽×2 =（长×宽+长×高+高×宽）×2 3. 正方体的表面积=棱长×棱长×6 四、正方体组合体露在外面的面积计算方法 1.计算堆放在墙角的正方体搭成的组合体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘面的总个数。 2.数堆放在一起的正方体搭成的组合体露在外面的面的个数时，要先观察正方体的摆放特点，再从中找露在外面的面的个数与正方体的个数之间存在的规律。 03 题型归纳 题型一　长方体、正方体的特征及拼组 例1．（2024秋•东海县期中）妈妈的生日快到了，莹莹精心选了一个小礼物表达自己对妈妈的感激之情，并用一个长20cm、宽18cm、高6cm的长方体礼盒装起来。现在她需要一根彩带捆扎礼盒（打结处的彩带长12cm），一共需要彩带多少厘米？ 巩固训练 1．（2024秋•盐都区期中）如图，有一个长6分米、宽4分米、高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用20厘米。一共要用绳子多长？ 2．（2024春•博白县期末）请把“正方体”和“长方体”分别填入如图韦恩图中的相应括号里，以正确表示它们的关系。 3．（2023•金安区）有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度观察的结果如图所示，那么这个立方体1的对面是　 　，3的对面是　 　，4的对面是　 　． 题型二　长方体、正方体的展开与折叠 例2．（2024春•滨江区校级期中）如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米）这个长方体纸盒的表面积是多少？ 巩固训练 1．（2024春•未央区期中）如图中每个方格的边长都是1厘米，请按要求回答下面各题。 （1）如图中是一个不完整的长方体展开图，请在合适的位置把缺少的面添上。 （2）观察并想象，与★相对的面的面积是 　 　平方厘米。 2．（2024•西城区）如图是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色。 （1）如果正方体纸盒的棱长为4dm，那么涂色部分的面积是多少平方分米？ （2）请在如图的展开图中把涂色部分补充完整。 3．（2024•西城区）图是正方体的展开图。在图中标上数，再把它还原成正方体，相交于同一顶点的三个面上的数的和最大是 　 　。 题型三　长方体表面积的意义和计算方法 例3．（2023秋•南京期末）已知②号正方体的棱长是①号的2倍。王师傅给①号正方体的表面刷油漆，正好用了1罐。钱师傅准备给②号正方体的表面刷油漆，钱师傅说“那我准备这样的2罐油漆就够了。”钱师傅说对了吗？为什么？（可以写一写，算一算） 巩固训练 1．（2024秋•洪泽区期中）求如图的表面积。 2．（2024春•大冶市期末）如图，将一个长方体分割成两个小长方体，分别按A、B、C三种方式进行分割后，表面积分别增加了12平方厘米、24平方厘米、16平方厘米。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 3．（2024秋•淮安月考）一种长方体的广告灯箱，框架由铝合金条制成，各个面由灯箱布围成。制作一个这样的广告灯箱： （1）至少需要铝合金条多少米？ （2）需要灯箱布多少平方米？ 题型四　正方体组合体露在外面的面积计算方法 例4．（2023春•湖滨区期中）如图，王乐在墙角处用棱长为1cm厘米的小正方体搭建了一个长方体进行研究，发现了很多奥秘，你也是火眼金睛，试试吧： （1）有三个面露在外面的小正方体有 　 　个； （2）有两个面露在外面的小正方体有 　 　个； （3）只有一个面露在外面的小正方体有 　 　个，露在外面的面积是 　 　cm2，这个长方体的体积是 　 　cm3。 巩固训练 1．（2023春•惠来县期末）如图所示，某艺术馆要给墙角处的三个正方体木箱（大小一样）露在外面的面刷油漆，每平方米需要250克油漆，已知一个木箱的棱长是20厘米，则一共需要多少克油漆？ 2．（2023春•河源期中）将6个棱长都是3厘米的正方体如下图摆放，露在外面的面有几个？露在外面的面积是多少？ 3．（2023春•罗湖区期中）想一想，填一填。 小正方体个数 1 2 3 4 n 露在外面的面/个 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 长方体（一） 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、长方体、正方体的特征及拼组 1.长方体有8个顶点，6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形）；相对的面面积相等；有12条棱，可以分为3组，分别叫长、宽、高。相对的棱长度相等。 2.正方体有8个顶点，6个面，每个面都相同，都是正方形；有12条棱，每条棱的长度都相等。 3.正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊长方体。 二、长方体、正方体的展开与折叠 1.正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的组合图形，有11种；相对的面完全隔开，正方形的边长是正方体的棱长。 2.长方体的展开图可按上下、前后、左右对应的面进行组合、折叠成原来的形状。 三、长方体表面积的意义和计算方法 1.长方体和正方体6个面的面积之和就是他们的表面积。 2.长方体的表面积计算方法 =长×宽×2 +长×高×2 +高×宽×2 =（长×宽+长×高+高×宽）×2 3. 正方体的表面积=棱长×棱长×6 四、正方体组合体露在外面的面积计算方法 1.计算堆放在墙角的正方体搭成的组合体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘面的总个数。 2.数堆放在一起的正方体搭成的组合体露在外面的面的个数时，要先观察正方体的摆放特点，再从中找露在外面的面的个数与正方体的个数之间存在的规律。 03 题型归纳 题型一　长方体、正方体的特征及拼组 例1．（2024秋•东海县期中）妈妈的生日快到了，莹莹精心选了一个小礼物表达自己对妈妈的感激之情，并用一个长20cm、宽18cm、高6cm的长方体礼盒装起来。现在她需要一根彩带捆扎礼盒（打结处的彩带长12cm），一共需要彩带多少厘米？ 【分析】彩带的总长包括2条长、2条宽、4条高及打结处的长度，据此解答。 【解答】解：20×2+18×2+6×4+12 ＝40+36+24+12 ＝112（厘米） 答：一共需要彩带112厘米。 【点评】本题考查了长方体棱长总和计算方法的应用。 巩固训练 1．（2024秋•盐都区期中）如图，有一个长6分米、宽4分米、高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用20厘米。一共要用绳子多长？ 【分析】根据长方体的特征，相对的棱的长度相等，由图形可知：所需绳子的长度等于2条长+4条宽+6条高+打结用的20厘米，据此解答。 【解答】解：20厘米＝2分米 6×2+4×4+3×6+2 ＝12+16+18+2 ＝48（分米） 答：一共用绳子48分米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及棱长和的计算方法，关键是弄清如何捆扎的。 2．（2024春•博白县期末）请把“正方体”和“长方体”分别填入如图韦恩图中的相应括号里，以正确表示它们的关系。 【分析】长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点，当长方体的12条棱全部相等时，就是正方体，正方体是特殊的长方体。 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了长方体和正方体的特征。 3．（2023•金安区）有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度观察的结果如图所示，那么这个立方体1的对面是　 　，3的对面是　 　，4的对面是　 　． 【分析】图1：正面为1，上面为6，右面为4； 图2：正面为3，上面为2，右面为1； 图3：正面为4，上面为5，右面为3； 由图1和图2可以确定1的对面是5，由图1和图3可以确定4的对面是2，由此解答． 【解答】解：根据题意可知：1的对面不能是6、4和2、3，所以1对5； 4的对面不能是1、6和3、5，所以4对2； 剩下的是3对6； 故答案为：5，6，2． 【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 题型二　长方体、正方体的展开与折叠 例2．（2024春•滨江区校级期中）如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米）这个长方体纸盒的表面积是多少？ 【分析】根据图上的信息可知长方体的长为（21﹣5）厘米，宽为10厘米，高为5厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数值即可求出这个长方体纸盒的表面积。 【解答】解：21﹣5＝16（厘米） （16×10+16×5+10×5）×2 ＝（160+80+50）×2 ＝290×2 ＝580（平方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是580平方厘米。 【点评】本题考查长方体表面积的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 巩固训练 1．（2024春•未央区期中）如图中每个方格的边长都是1厘米，请按要求回答下面各题。 （1）如图中是一个不完整的长方体展开图，请在合适的位置把缺少的面添上。 （2）观察并想象，与★相对的面的面积是 　 　平方厘米。 【分析】（1）根据长方体的展开图画出缺少的一个面即可； （2）和★相对的面的面积即是含有★这个面的面积，根据“长方形的面积公式＝长×宽”即可求解。 【解答】解：（1）如下图所示： （2）2×1＝2（平方厘米） 答：与★相对的面的面积是2平方厘米。 故答案为：2。 【点评】本题考查了长方体的展开图的应用。 2．（2024•西城区）如图是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色。 （1）如果正方体纸盒的棱长为4dm，那么涂色部分的面积是多少平方分米？ （2）请在如图的展开图中把涂色部分补充完整。 【分析】（1）读题可知：涂色部分的面积正好占原来正方体表面积的一半，据此作答即可。 （2）看图发现：展开图中整个正方形涂满颜色的面对应的是正方体的上底面，除了与它相对的下底面（展开图中最左端的正方形）不用涂色以外，其中“相邻”的面都要各涂一半。 【解答】解：（1）4×4×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（平方分米） 答：涂色部分的面积是48平方分米。 （2）如图。 【点评】本题考查的知识点主要包括两个：一是关于正方体的表面积的计算问题，二是关于正方体表面展开图的认识与应用问题。 3．（2024•西城区）图是正方体的展开图。在图中标上数，再把它还原成正方体，相交于同一顶点的三个面上的数的和最大是 　 　。 【分析】“1—4—1”型正方体的展开图，“1”和“4”是相对面，“3”和“2”是相对面，“5”和“6”是相对面，相交于同一顶点的三个面是相邻面，并且三个面不在同一行，据此解答。 【解答】解：中间一行相邻的两个面最大的两个数是“3”和“4”，另外一个面最大是“6”。 3+4+6＝13 所以，相交于同一顶点的三个面上的数的和最大是13。 故答案为：13。 【点评】本题主要考查正方体的展开图，理解三个相邻的面不在同一行是解答题目的关键。 题型三　长方体表面积的意义和计算方法 例3．（2023秋•南京期末）已知②号正方体的棱长是①号的2倍。王师傅给①号正方体的表面刷油漆，正好用了1罐。钱师傅准备给②号正方体的表面刷油漆，钱师傅说“那我准备这样的2罐油漆就够了。”钱师傅说对了吗？为什么？（可以写一写，算一算） 【分析】根据“正方体表面积＝六个正方形面积之和”分别求出①号和②号正方体的表面积，用②号正方体的表面积除以①号正方体的表面积即是②号正方体刷油漆需要的罐数。 【解答】解：钱师傅说得不对。 假设①号正方体的棱长是1，则②号正方体的棱长是2。 ①号正方体的表面积是：1×1×6＝6 ②号正方体的表面积是：2×2×6＝24 24÷6＝4（罐） 即王师傅给①号正方体的表面刷油漆，正好用了1罐。钱师傅准备给②号正方体的表面刷油漆，钱师傅需要4罐。 答：钱师傅说得不对，因为他需要4罐。 【点评】本题考查了正方体表面积计算的应用。 巩固训练 1．（2024秋•洪泽区期中）求如图的表面积。 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把数据代入公式解答。 【解答】解：0.5×0.5×6 ＝0.25×6 ＝1.5（平方分米） 答：这个正方体的表面积是1.5平方分米。 【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．（2024春•大冶市期末）如图，将一个长方体分割成两个小长方体，分别按A、B、C三种方式进行分割后，表面积分别增加了12平方厘米、24平方厘米、16平方厘米。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【分析】通过观察图形可知，用三种不同的方式把这个长方体分割成两个小长方体，每切割一次就增加两个切面的面积；从左往右，图A是平行于左右面切，增加2个宽×高的面积；图B是平行于前后面切，增加2个长×高的面积；图C是平行于上下面切，增加2个长×宽的面积；根据长方体的表面积＝长×宽×2+长×高×2+宽×高×2，三种方式切割增加的表面积之和就是原来长方体的表面积。 【解答】解：12+24+16 ＝36+16 ＝52（平方厘米） 答：原来这个长方形的表面积是52平方厘米。 【点评】明确立体图形切割时，增加的表面积是哪些面的面积。 3．（2024秋•淮安月考）一种长方体的广告灯箱，框架由铝合金条制成，各个面由灯箱布围成。制作一个这样的广告灯箱： （1）至少需要铝合金条多少米？ （2）需要灯箱布多少平方米？ 【分析】（1）根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）（0.8+1.5+1.2）×4 ＝3.5×4 ＝14（米） 答：至少需要铝合金条14米。 （2）（0.8×1.5+0.8×1.2+1.5×1.2）×2 ＝（1.2+0.96+1.8）×2 ＝3.96×2 ＝7.92（平方米） 答：需要灯箱布7.92平方米。 【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 题型四　正方体组合体露在外面的面积计算方法 例4．（2023春•湖滨区期中）如图，王乐在墙角处用棱长为1cm厘米的小正方体搭建了一个长方体进行研究，发现了很多奥秘，你也是火眼金睛，试试吧： （1）有三个面露在外面的小正方体有 　 　个； （2）有两个面露在外面的小正方体有 　 　个； （3）只有一个面露在外面的小正方体有 　 　个，露在外面的面积是 　 　cm2，这个长方体的体积是 　 　cm3。 【分析】（1）有三个面露在外面的小正方体在长方体不靠墙面和地面的顶点处，如图； （2）两个面露在外面的小正方体，如图； （3）只有一个面露在外面的小正方体，如图；边长1cm的小正方形，面积是1cm2，据此从前面、右面和上面数出露在外面的小正方形个数就是露在外面的面积；分别数出长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，计算出体积即可。 【解答】解：（1）有三个面露在外面的小正方体有1个； （2）有两个面露在外面的小正方体有4个； （3）1×1＝1（平方厘米） 4+6+6 ＝10+6 ＝16（个） 16×1＝16（平方厘米） 3×2×2 ＝6×2 ＝12（立方厘米） 答：只有一个面露在外面的小正方体有5个，露在外面的面积是16平方厘米，这个长方体的体积是12立方厘米。 故答案为：1；4；5，16，12。 【点评】本题考查了立体图形的拼组知识，关键是认真观察，掌握并灵活运用长方体表面积和体积公式。 巩固训练 1．（2023春•惠来县期末）如图所示，某艺术馆要给墙角处的三个正方体木箱（大小一样）露在外面的面刷油漆，每平方米需要250克油漆，已知一个木箱的棱长是20厘米，则一共需要多少克油漆？ 【分析】先数出露在的面的个数，从正面看有3个面露在外面，从上面看有2个面积露在外面，从右边看有2个面露在外面，一共有3+2+2个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面面的个数，求出需要刷油漆的面积，再乘250，即可求出需要油漆的数量。 【解答】解：3+2+2＝7（个） 20厘米＝0.2米 0.2×0.2×7×250 ＝0.28×250 ＝70（克） 答：一共需要70克油漆。 【点评】本题主要考查正方体表面积公式的应用。 2．（2023春•河源期中）将6个棱长都是3厘米的正方体如下图摆放，露在外面的面有几个？露在外面的面积是多少？ 【分析】观察图形知道，从上面看到4个正方形面，从前面看到3个正方形面，从右面看到4个正方形的面，所以露在外面的面一共是4+3+4＝11（个），由此根据正方形的面积公式S＝a×a，求出一个正方形的面积，再乘11即可。 【解答】解：4+3+4＝11（个） 3×3×11 ＝9×11 ＝99（平方厘米） 答：露在外面的面有11个，露在外面的面积是99平方厘米。 【点评】本题考查了运用正方体的表面积计算方法解答问题，解答本题的关键是要先找出每个正方体露在外面的有几个面，然后再求出露在外面的面积即可。 3．（2023春•罗湖区期中）想一想，填一填。 小正方体个数 1 2 3 4 n 露在外面的面/个 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 【分析】根据图示可知：1个小正方体露在外面的面：5个；2个小正方体露在外面的面：5+3＝8（个）；3个小正方体露在外面的面：5+3+3＝11（个）；4个小正方体露在外面的面：5+3+3+3＝14（个）；……；n个小正方体露在外面的面：5+3（n﹣1）＝（3n+2）个；据此做题。 【解答】解：1个小正方体露在外面的面：5个 2个小正方体露在外面的面：5+3＝8（个） 3个小正方体露在外面的面：5+3+3＝11（个） 4个小正方体露在外面的面：5+3+3+3＝14（个） …… n个小正方体露在外面的面：5+3（n﹣1）＝（3n+2）个 小正方体个数 1 2 3 4 n 露在外面的面/个 5 8 11 14 3n+2 故答案为：5；8；11；14；（3n+2）。 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形发现规律，并运用规律做题。 学科网（北京）股份有限公司 $$