精品解析：重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

长寿中学校2024—2025学年秋期八年级数学学科素养测评 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列说法正确的是( ) A. 1的平方根是1 B. -4的算术平方根是-2 C. 立方根等于本身的数是0，1或-1 D. 无理数包括正无理数，0和负无理数 2. 要使式子有意义，则a的取值范围（　　） A. B. C. 且 D. 且 3. 若数组3，3，x、4，5的平均数为4，则这组数中的（　　） A. B. 中位数为4 C. 众数为3 D. 方差为4 4. 若，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ）之间． A. 7到8 B. 8到9 C. 9到10 D. 10到11 7. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中有一道题的大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只x斤，燕每只y斤，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两车匀速从地到地，甲出发半小时后，乙车以每小时100千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲车的行驶速度为 B. 当乙车行驶2小时，乙车追上甲车 C. 当甲车行驶6小时，甲、乙两车相距 D. 、两地的距离为 10. 若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推． ①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5； ②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0； ③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243； ④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为； 四个结论错误的有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．） 11. 64的立方根为___，6的平方根是_____． 12. 若点的坐标为，则点在第______象限． 13. 在平面直角坐标系中，若点，点，且直线轴，则____． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是__________． 15. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：． 16. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走________的路程． 17. 如图，已知四边形是正方形，顶点、在坐标轴上，，，则点的坐标是______． 18. 若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算：______，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，其中19、20题每题8分，21—25题每题10分，26题12分，共78分．） 19. （1）计算：； （2）解方程组：． 20. 已知 （1）求 的值； （2）若 试判断以a，b，c为边的三角形的形状，并说明理由． 21. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 22. 为进一步加强学生对“垃圾分类”的重视程度，某中学初一、初二年级组织了“垃圾分类知识”比赛，现从初一、初二年级各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题． 初一年级10名学生的成绩是：69，78，96，77，68，95，86，100，85.86； 初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87； 初一、初二年级抽取学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 初一年级 84 85.5 c 初二年级 84 b 92 （1）的值为 　　； （2）根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若两个年级共有2500人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的学生共有多少人？ 23. 某商店销售3台型和5台型电脑的利润为元，销售5台型和3台型电脑的利润为元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为w元．请写出w关于n的函数关系式，并判断总利润能否达到元，请说明理由． 24. 如图，直线l1，l2交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）、D（0，4），直线l1所对应的函数关系式为y=﹣2x﹣2． （1）求点C的坐标及直线l2所对应的函数关系式； （2）求△ABC的面积； （3）P是线段BD上的一个动点（点P与B、D不重合）．设点P的坐标为（m，n），△PBC的面积为S，写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围． 25. 如图1所示，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴负半轴上，． （1）求直线的解析式： （2）点是第三象限内一点，的面积为，若点P是x轴上一动点，求的最大值； （3）如图2，在第（2）问的条件下，过点C作直线轴，点Q为直线上一动点，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 在中，，以为边作，，，与交于点．        （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，若，延长至点，连接交于点，若点为的中点，证明：； （3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当最大时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿中学校2024—2025学年秋期八年级数学学科素养测评 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列说法正确的是( ) A. 1的平方根是1 B. -4的算术平方根是-2 C. 立方根等于本身的数是0，1或-1 D. 无理数包括正无理数，0和负无理数 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义对A进行判断；根据算术平方根的定义对B进行判断；根据立方根的定义对C进行判断；根据无理数的定义对C进行判断. 【详解】A、1的平方根为±1，所以A选项错误； B、-4没有算术平方根，另外算术平方根都是非负的，所以B选项错误； C、立方根等于本身的数是0、±1，所以C选项正确； D、0不是无理数，0是有理数，所以D选项错误. 【点睛】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根、无理数的定义，熟知各个定义是关键. 2. 要使式子有意义，则a的取值范围（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意得， 且， 即且， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义，分式有意义的条件，掌握被开方数是非负数以及分母不等于0是正确解答的关键． 3. 若数组3，3，x、4，5的平均数为4，则这组数中的（　　） A. B. 中位数为4 C. 众数为3 D. 方差为4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的中位数、众数和方差，即可得到正确的选项． 【详解】解：根据平均数的定义可知，，故选项A不符合题意； 这组数按照从小到大排列是：3，3，4，5，5， 这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是4，这组数据的中位数是4，故选项B符合题意； 众数是3和5，故选项C不符合题意； 方差为，故选项D不符合题意． 故选B． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法是解题的关键． 4. 若，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数中、的符号对图象的影响：当时，直线从左到右呈下降趋势；当时，直线与轴的交点在轴正半轴． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴直线从左到右呈下降趋势，由此排除选项A、B； ∵， ∴直线与轴的交点在轴正半轴，由此排除选项C； 选项D中直线的特征完全符合的条件， 故选：D． 5. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【详解】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：D． 6. 估计的值应在（ ）之间． A. 7到8 B. 8到9 C. 9到10 D. 10到11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再算加减，然后再估算出的值的范围，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在到之间， 故选：C． 7. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中有一道题的大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只x斤，燕每只y斤，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 设每只雀有x斤，每只燕有y斤，根据“5只雀和6只燕共重1斤；将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等”，列方程组即可． 【详解】解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤， 由题意得，， 故选：A． 8. 已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性与自变量系数之间的关系是解题的关键．根据一次函数的性质，可知函数中随的增大而减小，即可解答． 【详解】解：，， 随的增大而减小， ，，都在直线上，且， ． 故选：D． 9. 甲、乙两车匀速从地到地，甲出发半小时后，乙车以每小时100千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲车的行驶速度为 B. 当乙车行驶2小时，乙车追上甲车 C. 当甲车行驶6小时，甲、乙两车相距 D. 、两地的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】由图象直接可求甲车的速度是，可判断选项A；设乙车出发x小时后追上甲，可得，即可解得乙车出发2小时后追上甲车，可判断选项B；分别计算甲行驶6小时，乙行驶小时行驶的路程可判断C；先求解点E的坐标为， 由（小时）， 可得乙的行驶时间为小时，从而可判断D． 【详解】解：由图象知：甲车半小时行驶40千米， ∴甲车的速度是，故A正确，不符合题意； 设乙车出发x小时后追上甲，根据题意得：， 解得，即乙车出发2小时后追上甲车，故B正确，不符合题意； 当甲车行驶6小时，行驶（千米）， 则乙车行驶小时，行驶（千米）， 相差（千米），故C不符合题意； ∵乙车出发2小时后追上甲车， ∴甲出发小时后被乙追上， ∴点E的坐标为， ∵（小时）， ∴点F的坐标为，而此时相距的路程最大，则乙已经到达目的地， ∴A、B两地相距（千米） 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题是函数图象的应用，属于行程问题，理解题意，读出图形中的已知信息，运用了数形结合的思想解决函数问题是解本题的关键． 10. 若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推． ①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5； ②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0； ③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243； ④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为； 四个结论错误的有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，计算出进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，计算出进行4次操作后所得多项式，再把代入计算即可判定③；根据题意，总结归纳出进行次操作后所得多项式规律，即可判定④． 【详解】解：第1次操作后，得， 第2次操作后，得， ∴第2次操作后所得多项式项数是4， 故①错误； 第1次操作后，得， 第2次操作后，得， 第3次操作后，得， ∴将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为 故②正确； 第1次操作后，得， 第2次操作后，得， 第3次操作后，得， 第4次操作后，得， 当a=2时，， 故③正确； 第1次操作后，得， 第2次操作后，得， 第3次操作后，得 第4次操作后，得 … 第n次操作后，得， 故④错误； 综上，错误的有①④共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，数式规律探究，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．） 11. 64的立方根为___，6的平方根是_____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根、平方根的定义等知识点，根据立方根、平方根的定义计算即可熟练掌握立方根、平方根的定义是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴64的立方根为4， ∵， ∴6的平方根是， 故答案为：4，． 12. 若点的坐标为，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，不等式的性质等知识点，熟练掌握不同象限的点的坐标特征是解题的关键． 利用完全平方数的非负性及不等式的性质可得，，再根据不同象限的点的坐标特征即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 13. 在平面直角坐标系中，若点，点，且直线轴，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，掌握平行于y轴的直线上点的横坐标相等是解答此题的关键．根据轴，即可得出，求解，再舍去不合题意的解即可． 【详解】解：∵点，点，且直线轴， ∴， 解得：． ∵当时，，， ∴此时点A与点B重合，故舍去， 所以m的值为． 故答案为：． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点带入可求得，进而可求解． 【详解】解：由题意得： 当时，得：， 解得：， 点P的坐标为：， 二元一次方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用一次函数与一次函数的交点解二元一次方程组，理解一次函数与一次函数的交点就是二元一次方程组的解是解题的关键． 15. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴的性质可得a<b<0<c、，从而可得a+b<0，b+c>0，c−a>0，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，a<b<0<c、， ∴a+b<0，b+c>0，c−a>0， ∴ ． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 16. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走________的路程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 17. 如图，已知四边形是正方形，顶点、在坐标轴上，，，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥OA，然后证明△AED≌△BOA，得到AE=OB=3，ED=OA=6，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥OA， ∴∠DEA=∠BOA=90°， ∴∠EDA+∠EAD=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∴∠EAD+∠BAO=90°， ∴∠EDA=∠OAB， ∴△AED≌△BOA（AAS）， ∴AE=OB=3，ED=OA=6， ∴OE=AO+OE=9， ∴D（6，9）， 故答案为：（6，9）． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 18. 若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算：______，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为______． 【答案】 ①. 484 ②. 4648 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用、二元一次方程、不等式、整除问题，考查方式比较新颖，理解“不同数”的具体特征是解决问题的关键．根据“不同数”的定义直接求出的值；设“不同数”，且，，计算得到a、c的范围，再得到，结合能被13整除，整理得能被13整除，再结合a、c的范围分类讨论即可得出答案． 【详解】解：1933去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193、193， 这四个三位数之和为，， 所以； 设“不同数”，且，， 由题意得，， 解得：， 去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：、、、， 则， ， ， ， ， 所以， ，且能被13整除， 能被13整除， 又，， ， 或， 或， 当时，（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）； 当时，或（舍去）， 此时，不满足，不符合题意，舍去； 当时，（舍去）或， 此时，，则，符合题意． 综上所述，，． 故答案为：484；4648． 三、解答题（本大题共8个小题，其中19、20题每题8分，21—25题每题10分，26题12分，共78分．） 19. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及解二元一次方程组，熟练掌握相关解法是解题的关键． （1）先化简括号里的二次根式并合并同类二次根式，再根据二次根式的乘法法则计算乘法，再合并同类二次根式即可； （2）用代入消元法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得③， 将③代入②得， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解是． 20. 已知 （1）求 的值； （2）若 试判断以a，b，c为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算法则和勾股定理逆定理，本题属于基础题型． （1）直接代入根据二次根式运算法则计算即可求出答案； （2）根据勾股定理逆定理即可判断三角形的形状． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 21. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】（1） （2）有危险，见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【小问1详解】 根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． 【小问2详解】 根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 22. 为进一步加强学生对“垃圾分类”的重视程度，某中学初一、初二年级组织了“垃圾分类知识”比赛，现从初一、初二年级各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题． 初一年级10名学生的成绩是：69，78，96，77，68，95，86，100，85.86； 初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87； 初一、初二年级抽取学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 初一年级 84 85.5 c 初二年级 84 b 92 （1）的值为 　　； （2）根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若两个年级共有2500人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1）173 （2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解析； （3）875人 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据可以计算出b、c的值，本题得以解决； （2）根据统计图中的数据可以解答本题； （3）根据统计图中的数据可知七年级的优秀率是，八年级是，两个年级一起，乘以总人数，从而可以解答本题． 【小问1详解】 由七年级的成绩可知，， 由统计图中的数据可知，， 故答案为：173 ； 【小问2详解】 根据以上数据，该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：两个年级的平均数一样，但是八年级学生的中位数高于七年级，说明八年级成绩好于七年级，故该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好， 答：八年级学生掌握垃圾分类知识较好，两个年级的平均数一样，但是八年级学生的中位数高于七年级； 【小问3详解】 数据可知，七年级比赛成绩优秀的有3人，则七年级的优秀率是， 八年级的C组3个，占比为30%，根据扇形统计图可知八年级的优秀率是， 则参加此次比赛成绩优秀（）的学生人数是人， 答：参加此次比赛成绩优秀（）的学生有875人． 【点睛】此题考查数据的计算，能正确计算部分的百分比，中位数，众数，优秀率，能依据数据的计算结果做出决策. 23. 某商店销售3台型和5台型电脑的利润为元，销售5台型和3台型电脑的利润为元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为w元．请写出w关于n的函数关系式，并判断总利润能否达到元，请说明理由． 【答案】（1）每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元 （2） 解：由题意得，，， ∵， ∴随着的增大而增大，的最大值为， ∴总利润不能达到元， ∴w关于n的函数关系式为，总利润不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质．根据题意正确的列等式是解题的关键． （1）设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元，依题意得，，计算求解即可； （2）由题意得，，，根据一次函数的性质求最值，和比大小，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元， 依题意得，， 解得，， ∴每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元； 【小问2详解】 略 24. 如图，直线l1，l2交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）、D（0，4），直线l1所对应的函数关系式为y=﹣2x﹣2． （1）求点C的坐标及直线l2所对应的函数关系式； （2）求△ABC的面积； （3）P是线段BD上的一个动点（点P与B、D不重合）．设点P的坐标为（m，n），△PBC的面积为S，写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围． 【答案】（1）C（1，0），直线l2所对应的函数关系式为y=x+4；（2）S△ABC=3；（3）S=m+6，自变量的取值范围为：﹣4＜m＜0． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设出直线l2的函数关系式，因为直线过B（﹣4，0），D（0，4）两点利用代入法求出k，b，从而得到关系式． （2）A点坐标是l1与x轴的交点坐标，A点坐标是把l1，l2联立，求其方程组的解再求三角形的面积． （3）设点P的坐标为（m，n），△PBC的面积为S得出解析式解答即可． 试题解析：（1）由y=﹣2x+2，令y=0，得﹣2x+2=0， ∴x=1， ∴C（1，0）， 设直线l2所对应的函数关系式为y=kx+b， 由图象知：直线l2经过点B（﹣4，0），D（0，4） ∴ ，解得 ， ∴直线l2所对应的函数关系式为y=x+4； （2）由 ，解得 ， ∴A（﹣2，2）， ∵BC=3， ∴S△ABC=×3×2=3； （3）设点P的坐标为（m，n），△PBC的面积为S，可得：S=m+6， 自变量的取值范围为：﹣4＜m＜0． 【点睛】本题主要考查了两条直线相交或平行问题，求函数与坐标轴的交点，两个函数的交点问题，解题的关键是要结合图形解决问题. 25. 如图1所示，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴负半轴上，． （1）求直线的解析式： （2）点是第三象限内一点，的面积为，若点P是x轴上一动点，求的最大值； （3）如图2，在第（2）问的条件下，过点C作直线轴，点Q为直线上一动点，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）存在；，，， 【解析】 【分析】（1）先根据，，求出点B的坐标，然后再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先根据，求出，再根据点在第三象限，求出，得出，作点C关于x轴的对称点，当P、、A在同一直线上时，最大，求出其最大值即可得出答案； （3）根据点C的坐标，即可得出直线的解析式，设出点Q的坐标，根据是以为腰的等腰三角形，即可建立方程，解方程，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵B在x轴负半轴上， ∴， 设直线解析式为，把，代入得： ∴ ∴， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵ ， 又∵， ∴， ∵点在第三象限， ∴， ∴， 作点C关于x轴的对称点， ∴， ∴， ∴当P、、A在同一直线上时，最大， ∴连接交x轴于点P，此时最大， ∵此时， ∴的最大值为2． 【小问3详解】 解：∵，轴， ∴直线的解析式为， 设点Q的坐标为， ∵，， ∴， 若，则是以为腰的等腰三角形， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为，； 若，则是以为腰的等腰三角形， ∴， 解得：或， ∴点Q的坐标为，； 综上分析可知，点Q的坐标为：，，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 26. 在中，，以为边作，，，与交于点．        （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，若，延长至点，连接交于点，若点为的中点，证明：； （3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当最大时，直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）过点作垂足为，根据含角的直角三角形性质求出的长，进一步求出，再证明是等边三角形，即可求解； （2）过点作，交于点，根据证明利用等式的性质证明即可； （3）如图3，取中点，连接，，，，由可证可得，由三角形的三边关系可得则当点在线段上时，有最大值，由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作，垂足为，     ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 即 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，过点作，交于点，        ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，则， ∵， ∴点在线段上， ∵，， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ，，， 如图3，取中点，连接，，，，     ∵，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，        ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴当点在线段上时，有最大值， 此时，如图4，     ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $