1.3根与系数的关系课件2024-2025学年苏科版数学九年级上册

1.3 一元二次方程 九年级(上册) 初中数学 --- 根与系数的关系 1、公式法解一元二次方程： 2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c决定.即一元二次方程的根与系数有密切的关系. 情境导学 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 x2+px+q=0 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2-2x+1=0 x2+3x-4=0 x2+5x+6=0 -4 1 1 2 1 1 -3 -4 -2 -3 -5 6 二次项系数为1的一元二次方程根与系数关系的探索(即x1、x2与a、b、c的关系） 思考：方程的两个根之和、两根之积与方程的各项系数有何关系？ 展示预学 关于x的方程x2+px+q=0(p、q为常数,p2-4q≥0）的两根为 x1 x2 则 x1+x2＝ x1·x2＝ －p q 【总结发现】 展示预学 ax2+bx+c=0 x1 x2 x1+x2 x1·x2 2x2-5x-3=0 3x2+x-2=0 二次项系数不为1的一元二次方程根与系数关系的探索(即x1、x2与a、b、c的关系） 思考：方程的两个根之和、两根之积与方程的各项系数有何关系？ 3 -1 展示预学 若一个关于x的一元二次方程 的两个根是 ，则有： ax2+bx+c=0 (a ≠ 0,b2-4ac ≥ 0) 展示预学 若一个关于x的一元二次方程 的两个根是 ，则有： ax2+bx+c=0 (a ≠ 0,b2-4ac ≥ 0) 你能对所探究的结论进行证明吗 : 展示预学 根与系数的关系，是由法国数学家韦达首先发现的，因此一元二次方程根与系数的关系也称作“韦达定理”。韦达从事数学研究只是出于爱好，他是法国16世纪最有影响的数学家之一，在数学领域做出了许多重大贡献。 展示预学 求下列方程两根的和与两根的积： （1）x2＋2x－5＝0； （2）2x2＋x＝1. 练习：书23页练习第1、2题 合作研学 解：原方程可化为x2+3x+4=0 其中，a=1,b=3,c=4 b2-4ac=32-4×1×4=-7<0, 你能写出一元二次方程x2+3x=-4的两根x1、x2的和与积吗？ 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用x1+x2= 时， 注意“－ ”不要漏写。 (3)前提是方程有实数根,即b2-4ac ≥0 合作研学 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 探究根与系数的关系: x2+px+q=0 如果方程 的两个根是x1,x2, 那么x1+x2= ,x1·x2= . -p q 反过来,p= ,q= . -(x1+x2) x1·x2 x2-（ x1+x2）x+ x1x2=0 以x1、x2为两根(二次项系数为1)的一元二次方程是 x2-（x1+x2）x+ x1x2=0 合作研学 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 小明在一本课外读物中读到如下一段文字： 一元二次方程x2－ x ＝0的两根 是 和 ． 合作研学 (1)已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。 (2)已知方程 x2-4x+c=0的一个根是2+ 3, 求它的另一个根及c的值。 合作研学 例3、设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 两根的对称式或代数式的值 合作研学 关于两根几种常见的求值 合作研学 例4、如果－1是方程 的一个根，则另一个根是____ ｍ=____。 （还有其他解法吗？) -3 练习：已知3是方程 的一根，求m及另一根 方程中的待定系数 合作研学 1、已知方程3 x2-19x+m=0的一个根1，它的另一个根是 ，m的值是_____. 2、如果方程x2+ x+a=0的一个根是1－ 那么另一个根是 ，a的值为_________. 检测评学 【练习】 利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两个根分别为1和-4. 检测评学 【课堂小结】 2．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式； 3．应用一元二次方程的根与系数关系时,要特别注意,方程有实根的条件，即当且仅当 b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系. 1．一元二次方程根与系数的关系. $$