专练03 二次函数与解不等式-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019）

专题03 二次函数与解不等式 黄慧群高中数学辅导资料 专题03 二次函数与解不等式 一、核心知识： （一）分解因式 1. 常用公式： （1）完全平方公式： （2）平方差公式： （3）立方差公式： （4）立方和公式： 2.十字相乘法： （1）由知，若 则 （2）由知，若，则 3.配方法：若则. （二）二次函数与一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ （三）简单不等式的解法： 1.； 2.；； 3.；； 4.；； 二、热门考点： 考点一： 一元二次不等式的解法 经典例题： 1．不等式的解集是 ． 【答案】 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即，解得，即该不等式的解集为，故选：C. 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得即，解得或， 故不等式的解集为. 4．若不等式的解集为，求不等式的解集. 【详解】由题意得：，3是方程的两根，∴，则， ∴，即，即，即 所以不等式的解集为. 强化训练： 1.不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】解方程得或，因为函数开口向上，所以不等式的解集为.故选：A 2.不等式的解集为 . 【答案】 【详解】方程的两根为和3，不等式的解集为：，故答案为： 3．不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】不等式，解得：或，所以不等式的解集为或.故选：B 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由，可得，所以或， 所以不等式的解集为或.故选：C. 5.不等式的解集为 . 【答案】 【详解】原不等式化为，则不等式的解集为.故答案为：. 6.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，解得，故原不等式的解集为.故选：D. 7．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原不等式可化为，解集为.故选：C. 8．关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】∵ax2＋bx＋2>0的解集为－1<x<2，∴解得∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.所求不等式的解集为 9．若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以0和2为方程的根，且， 即，，因此，即，所以，解得：， 故选：. 10．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意可得：，是方程的两根，且，则由韦达定理得：，解得，所以不等式化为：，解得，故所求不等式的解集为. 11. (多选)已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】根据题意可知，，且方程的两个根为，由韦达定理知，所以，由，得，即，故A错误，B正确；因为，故C正确；不等式可化为，即，且，所以不等式的解集为，故D正确，故选：BCD. 12. (多选)已知关于x的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 【答案】ABC 【详解】因为解集是或，所以，因此选项A正确；，因此选项B正确；，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：ABC 考点二： 简单的分式不等式的解法 经典例题： 1.不等式的解集是 . 【答案】 【详解】，即不等式的解集是,故答案为. 2.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，利用数轴标根法可得或，所以不等式解集为.故选：C 3.不等式的解集为_______ 【答案】 4．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为，即，解得，所以不等式的解集为. 5.不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】，即，即，则，根据穿根法解得，故答案为：. 强化训练： 1.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.不等式的解集是 . 【答案】 【详解】或，得.故答案为：. 3.不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由原式得且，解得，即不等式的解集为.故选B. 4.不等式的解集是 . 【答案】或 【详解】因为，所以当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以，当时，， 解得，满足条件的不存在，所以不等式的解集是或. 考点三： 简单含绝对值不等式的解法 经典例题： 1．不等式的解集为（    ） A．R B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，解得：，所以不等式的解集为：. 2.不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为或或 或或.所以不等式的解集为. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，且，且，解得：，故不等式的解集是，故选：D． 强化训练： 1．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由可得，解得，故原不等式的解集为.故选：A. 2．不等式>3的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】或,即或.故选：A. 3．不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】因为，所以或，解得或，所以不等式的解集是或，故选：C． 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以，即，所以不等式的解集为. 故选：A. 5．不等式的解集是（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【详解】∵不等式，∴，即，解得，∴不等式的解集为，故选C. 6．不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由题得，所以，所以或且. 故答案为：. 考点四：二次函数的值域问题 经典例题： 1．函数y=的值域为__________________． 【答案】 【详解】因为，函数的对称轴为，函数图象开口向上，所以时有最小值，函数的值域为． 2．函数的值域为（ ） A．（－1,3） B．[-1,3] C．[-1,3） D．[0,2] 【答案】C 3．函数，的值域为__________. 【答案】 【详解】由题意得在上单调递增，在上单调递减，则，，故值域为.故答案为：. 4．函数的值域为 ． 【答案】[0，2] 【详解】设则原函数可化为 ，，从而，的值域为[0，2]． 5．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得函数的定义域为，先求的值域为，再求得函数的值域为，则可以求出原函数的值域为. 6．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】设，所以原函数转化为函数的最小值为，函数值域为 7．函数的值域为. 【答案】 【详解】由题设可得所以，不难求得函数值域. 由题设所以则，根据一元二次函数性质不难得到 时，函数最大值为2，没有最小值，所以函数值域为. 强化训练： 1．函数的值域为__________________． 【答案】 【详解】因为，函数的对称轴为，函数图象开口向下，所以时有最大值，函数的值域为． 2．函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】函数的对称轴为x＝1，在[0，1]上单调递减，值域为[－2，－1]；在[1，3]上单调递增，值域为[－2，2]，∴函数在x∈[0，3]的值域为[－2，2]，故答案为B. 3．已知函数f (x)，，则函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,对称轴,当,又因为,所以函数的值域为.故选:D 4．函数的值域是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】的对称轴为当时，函数有最小值当时，函数有最大值故函数的值域为. 5．函数y= 当时，函数的值域为__________． 【答案】 【详解】因为，所以函数的对称轴为：，所以函数在上是减函数，在上是增函数，所以时有最小值，当时有最大值，所以函数值域为． 6．函数，的值域为________． 【答案】 【详解】，故在上为增函数，在上为减函数， 所以，而，故，故函数的值域为. 7．函数的值域为 【答案】 【详解】令，则在为增函数，则，即函数的值域为． 8．函数的值域是 。 【答案】． 【详解】因为，令，，，所以,所以． 9．函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】，，则，即函数的值域为. 10．函数的值域是________________ 【答案】 【详解】 ,所以函数在定义域上是增函数，所以值域是. 考点五：二次函数的实际应用 经典例题： 1.某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中x为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为 万元. 【答案】34 【详解】设公司在甲地销售农产品（）吨，则在乙地销售农产品吨，利润为，又 且，故当时，能获得的最大利润为34万元．故答案为：34. 2．疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表： （天） 2 14 18 22 26 30 44 128 140 144 140 128 (1)给出以下三个函数模型：①；②；③.请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出的解析式；(2)已知第2天该工艺品的日销售收入为220元.求在过去的30天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于588元. 【详解】（1）由题中表格知，随着的增加，先增后减，而模型①与③都是单调函数不符题意， 模型②为二次函数模型，符合题意，故选模型②， 由函数图象对称性可知，由表格数据可得，解得， 所以. （2）已知第2天该工艺品的日销售收入为220元，即售价为， 所以，解得，所以， 所以销售收入， 日销售收入不低于588元，所以只需，解得. 所以在过去的30天中，第18天至第25天该工艺品的日销售收入不低于588元. 3．如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元,每生产千件需另投入资金万元,其中与之间的关系为:,且函数的图象过,,三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内生产的此吉祥物能全部销售完.(1)求a,b,c的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润. 【详解】（1）将,,三点代入中有 ,解得,故, 由题知; （2）由(1)知, 当时,,所以当（千件）时,（万元）, 当时,, 当且仅当,即（千件）时取等,所以（万元）, 综上: 当（千件）时,（万元）, 所以当年产量为24千件时,该厂的年利润最大,最大年利润76万元. 强化训练： 1．2014年，几个生产袋装螺蛳粉的小作坊在柳州悄然出现，打破了长期以来螺蛳粉只能“现煮堂食”的局面，政府通过引导，让相关产业逐步走向标准化，2018年8月20日，“柳州螺蛳粉”获得国家地理标志商标，2020年新冠肺炎疫情期间，柳州螺蛳粉逆势而上，成为全国热销产品，迅速走红.2022年，柳州螺蛳粉全产业链销售收入600.7亿元、增长19.8%，其中预包装柳州螺蛳粉销售收入182亿元、增长19.6%，年寄递量达到1.1亿件，今年某平台网红委托某工厂代加工袋装螺蛳粉，生产该款产品每月固定成本为4万元，每生产万袋，需另投入成本万元.当产量不足6万袋时，；当产量不小于6万袋时，.若该产品工厂的供货价为6元/袋，根据平台网流量，该款产品可以全部销售完.(1)求工厂生产该款产品每月所获利润（万元）关于产量（万袋）的函数关系式；(2)当月产量为多少万袋时，工厂生产该款产品每月所获利润最大，为多少万元？ 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以 （2）当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为8.5万元． 当时， 当且仅当，即时，取得最大值，最大值为9.5万元． 综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元. 2．受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．(1)写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小． 【详解】（1）由题意得：． 由，得，即，解得． 由于，故设备企业从第3年开始盈利； （2）方案一：总盈利额，当时． 故方案一总利润，此时； 方案二：每年平均利润，当且仅当时等号成立． 故方案二总利润，此时． 比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适． 3．某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系如下表所示. x 0 4 9 16 36 y 3 7 9 11 15 为了描述种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式. (2)已知该果园的年利润z（单位：万元）与x，y的关系式为，则果树数量x（单位：百棵）为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值. 【详解】（1）因为模型③在处无意义，所以不符合题意. 若选择①作为y与x的函数模型，将，代入，得，解得，则， 则当时，，当时，，当时，， 与表格中的实际值相差较大，所以①不适合作为y与x的函数模型. 若选择②作为y与x的函数模型，将，代入，得， 解得，则， 当时，，当时，，当时，，与表格中的实际值相同， 所以②更适合作为y与x的函数模型，且相应的函数解析式为； （2）由题可知，该果园最多可种120000棵该种果树，所以且. ， 令，则， 当，即时，z取得最大值， 最大值为79万元. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 二次函数与解不等式 黄慧群高中数学辅导资料 专题03 二次函数与解不等式 一、核心知识： （一）分解因式 1. 常用公式： （1）完全平方公式： （2）平方差公式： （3）立方差公式： （4）立方和公式： 2.十字相乘法： （1）由知，若 则 （2）由知，若，则 3.配方法：若则. （二）二次函数与一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ （三）简单不等式的解法： 1.； 2.；； 3.；； 4.；； 二、热门考点： 考点一： 一元二次不等式的解法 经典例题： 1．不等式的解集是 ． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．若不等式的解集为，求不等式的解集. 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 强化训练： 1.不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 2.不等式的解集为 . 3．不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5.不等式的解集为 . 6.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 9．若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 11. (多选)已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 12. (多选)已知关于x的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 考点二： 简单的分式不等式的解法 经典例题： 1.不等式的解集是 . 2.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.不等式的解集为_______ 4．不等式的解集为 . 5.不等式的解集是 ． 强化训练： 1.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.不等式的解集是 . 3.不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4.不等式的解集是 . 考点三： 简单含绝对值不等式的解法 经典例题： 1．不等式的解集为（    ） A．R B． C． D． 2.不等式的解集为 ． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 2．不等式>3的解集是（　　） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 5．不等式的解集是（    ） A．R B． C． D． 6．不等式的解集是 ． 考点四：二次函数的值域问题 经典例题： 1．函数y=的值域为__________________． 2．函数的值域为（ ） A．（－1,3） B．[-1,3] C．[-1,3） D．[0,2] 3．函数，的值域为__________. 4．函数的值域为 ． 5．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 6．函数的值域为 ． 7．函数的值域为. 强化训练： 1．函数的值域为__________________． 2．函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3．已知函数f (x)，，则函数的值域是（       ） A． B． C． D． 4．函数的值域是( ) A. B. C. D. 5．函数y= 当时，函数的值域为__________． 6．函数，的值域为________． 7．函数的值域为 8．函数的值域是 。 9．函数的值域是（ ） A. B. C. D. 10．函数的值域是________________. 考点五：二次函数的实际应用 经典例题： 1.某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中x为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为 万元. 2．疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表： （天） 2 14 18 22 26 30 44 128 140 144 140 128 (1)给出以下三个函数模型：①；②；③.请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出的解析式；(2)已知第2天该工艺品的日销售收入为220元.求在过去的30天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于588元. 3．如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元,每生产千件需另投入资金万元,其中与之间的关系为:,且函数的图象过,,三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内生产的此吉祥物能全部销售完.(1)求a,b,c的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润. 强化训练： 1．2014年，几个生产袋装螺蛳粉的小作坊在柳州悄然出现，打破了长期以来螺蛳粉只能“现煮堂食”的局面，政府通过引导，让相关产业逐步走向标准化，2018年8月20日，“柳州螺蛳粉”获得国家地理标志商标，2020年新冠肺炎疫情期间，柳州螺蛳粉逆势而上，成为全国热销产品，迅速走红.2022年，柳州螺蛳粉全产业链销售收入600.7亿元、增长19.8%，其中预包装柳州螺蛳粉销售收入182亿元、增长19.6%，年寄递量达到1.1亿件，今年某平台网红委托某工厂代加工袋装螺蛳粉，生产该款产品每月固定成本为4万元，每生产万袋，需另投入成本万元.当产量不足6万袋时，；当产量不小于6万袋时，.若该产品工厂的供货价为6元/袋，根据平台网流量，该款产品可以全部销售完.(1)求工厂生产该款产品每月所获利润（万元）关于产量（万袋）的函数关系式；(2)当月产量为多少万袋时，工厂生产该款产品每月所获利润最大，为多少万元？ 2．受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．(1)写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小． 3．某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系如下表所示. x 0 4 9 16 36 y 3 7 9 11 15 为了描述种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式. (2)已知该果园的年利润z（单位：万元）与x，y的关系式为，则果树数量x（单位：百棵）为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值. 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$