专练10 三角函数图象与性质-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

专题10 三角函数图象与性质 一、核心知识 （一）三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 （二） 函数y=Asin(ωx＋φ) 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3．三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 4.函数对称轴和对称中心的求法: 令，得对称轴为； 令，得，即对称中心为． （三）辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为： f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 二、热门考点 考点一：三角函数求周期 经典基础题： 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．函数的最小正周期是 ． 强化训练： 1．函数的最小正周期为 . 2． 的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．若函数的最小正周期为，则常数 ． 考点二：三角函数求单调区间 经典基础题： 1．使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 2．的单调递减区间是 . 3．写出函数在上的一个减区间 . 4．函数，的单调增区间为 ． 5．已知函数，则函数的单调递减区间为 . 强化训练： 1．函数的单调增区间为 . 2．函数的单调增区间为 . 3．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 考点三：三角函数求对称性轴及对称中心 经典基础题： 1．写出函数图象的一条对称轴方程: . 2．已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．函数的对称轴为 ． 4．函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 2．函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（     ） A． B． C． D． 考点四：三角函数基本性质的判断 经典基础题： 1．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 2．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 3．下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，则（    ） A．是上的奇函数 B．的最小正周期为 C．有最大值1 D．在上为增函数 6．已知函数，则该函数在（ ） A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增 7．（多选）已知函数则下列选项中正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上单调递减 C．满足 D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到 8．（多选）已知函数，则（ ） A．是偶函数 B．的对称轴是 C．在区间上单调递减 D．的最小值是 9．已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 10．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数周期为 B．函数在上为增函数 C．函数是偶函数 D．函数关于点对称 强化训练： 1．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，则（    ） A．， B．的图像关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 8．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的对称中心为 C．的对称轴为直线 D．的单调递增区间为 9．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间是增函数 考点五：换元法求函数值域 经典基础题： 1．函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．函数的最小值为 ． 2．已知，则的最小值为 . 3．函数，的值域是 . 4．函数，的值域为 ． 5．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的值域是 ． 7．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 考点六：转化为单一三角函数求函数值域 经典基础题： 1．若，则在上的最大值为（    ） A． B． C． D．0 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，则的最小值为 ． 4．函数在区间上的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（多选）已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．函数的值域是 ． 2．已知函数，，则的最小值为 ． 3．函数在上的最大值为 . 4．已知函数，当取得最大值时， ． 5．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 6．已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则在上的值域为 . 7．已知函数，则当时，函数的值域为 ． 8．函数的值域为 . 9．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 综合强化： 1．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 2．（多选）已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．函数是周期为的偶函数 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合 3．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 4．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期 B．的定义域为 C．的值域为 D．是奇函数 5．（多选）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 6．（多选）已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．函数是周期为的偶函数 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合 7．（多选）已知函数，则下列选项中结论正确的是（   ） A．由可得是的整数倍 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在区间上有19个零点 考点七：由图象求三角函数解析及函数图象变换 经典基础题： 1．函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 2．为了得到函数的图象，只要把图象上的所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 4．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 2．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 3．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 4．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数的一条对称轴 D．函数在上有最小值 6．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则 （       ） A． B．将的图象向右平移个单位，得到的图象 C．，都有 D．函数的减区间为 7．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上的值域为 考点八：利用三角函数周期性或奇偶性求参（求值） 经典基础题： 1．函数的最小正周期为T，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 . 3．函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 4．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．（只需写出一组） 强化训练： 1．设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 2．如果函数的一个零点是，那么可以是（    ） A． B． C． D． 3．设函数对任意的实数均满足，则 ． 4．若函数的对称轴方程为，，则（    ） A． B． C． D． 5．记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 6．若函数的一条对称轴为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在区间单调递增 D． 7．（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 8．（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的一个对称中心是 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 9．（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 10．已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的图象与轴交于点 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 考点九：利用三角函数的性质求参数取值范围 经典基础题： 1.已知函数在是增函数，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知，函数在上单调递增，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 6．已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 7．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，若存在，使得，则正实数的取值范围是 . 9．已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 强化训练： 1．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是 . 3．函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为 . 6.已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是 . 8．设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9.已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（      ） A． B． C． D． 10．已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，若集合含有4个元素，且关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 ． 12．（多选）已知函数，若在区间内恰好有198个零点，则的取值可以为（   ） A．132 B．133 C．198 D．199 考点十：解答题 经典基础题： 1．在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点. 求:(1)的值；(2)的值. 2．已知角是第二象限角，.(1)求和的值；(2)求的值. 3．（1）已知，求的值；（2）求的值. 4．已知函数．(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 5．已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式及对称中心坐标：(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 强化训练： 1．已知. (1)求的值；(2)若为钝角，且，求的值． 2．已知函数.(1)求函数的最小正周期及对称轴；(2)求在区间上的最值. 3．已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求在区间上的值域. 4．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最小值. 5．已知函数.(1)求函数的最小正周期及的单调递增区间；(2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域. 6．已知.(1)求函数的单调增区间；(2)将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式. 7．已知函数的一个对称中心为.(1)求的值；(2)讨论在区间上的单调性. 8．已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 9．已知函数，.(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的零点；(3)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角函数图象与性质 一、核心知识 （一）三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 （二） 函数y=Asin(ωx＋φ) 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3．三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 4.函数对称轴和对称中心的求法: 令，得对称轴为； 令，得，即对称中心为． （三）辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为： f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 二、热门考点 考点一：三角函数求周期 经典基础题： 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期.故选：D 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，的最小正周期.故选：D 3．函数的最小正周期是 ． 【答案】6 【详解】函数的最小正周期为，显然，即是函数的周期，在同一坐标系内作出函数的图象，如图，观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6.故答案为：6 强化训练： 1．函数的最小正周期为 . 【答案】 【详解】故答案为： 2． 的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期，故选:D. 3．若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得.故答案为：. 考点二：三角函数求单调区间 经典基础题： 1．使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数.故选：C 2．的单调递减区间是 . 【答案】 【详解】由得的定义域为，因为在上是增函数， 在单调递减，所以在单调递减. 故答案为：. 3．写出函数在上的一个减区间 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】函数的减区间为的增区间，即，据此只需写内的任何一个非空子集，例如.故答案为：（答案不唯一） 4．函数，的单调增区间为 ． 【答案】 【详解】由，可得，令，解得，所以函数，的单调增区间为.故答案为： 5．已知函数，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】由解得，因为，所以的单调递减区间为.故答案为： 强化训练： 1．函数的单调增区间为 . 【答案】 【详解】令，解得，所以函数的单调增区间为.故答案为：. 2．函数的单调增区间为 . 【答案】， 【详解】由得，， 3．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，要求函数的增区间，即，即.令，得到.则A正确，B错误；令，得到.则C，D错误．故选：A． 考点三：三角函数求对称性轴及对称中心 经典基础题： 1．写出函数图象的一条对称轴方程: . 【答案】（答案不唯一，满足均可） 【详解】函数中，由，得，因此函数图象的对称轴方程是，所以函数图象的一条对称轴方程是. 2．已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以．令，则， 当时，，所以图象的一个对称中心的坐标为．故选：D. 3．函数的对称轴为 ． 【答案】 【详解】由得，所以，函数的对称轴方程为.故答案为： 4．函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以图象的对称中心为． 故选：A. 5．函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，令，解得，令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.故选：B． 强化训练： 1．函数的一条对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，可得，令，可得.所以函数的一条对称轴是.故选:B. 2．函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得，令，分别取，0，1，对应得，，，不存在使得，故不是图象的一条对称轴.故选：B. 3．已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，解得，， 对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不正确； 对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不正确； 对于C，，即，， ，则函数的图象关于对称，C正确； 对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不正确. 故选：C 考点四：三角函数基本性质的判断 经典基础题： 1．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 2．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，则是偶函数.因为，，所以是周期为的偶函数.故选：A. 3．下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：函数的最小正周期，对称中心为，故A错误； 对于B：函数的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 所以的最小正周期，没有对称中心，故B错误； 对于C：，则最小正周期， 且当时，所以函数关于点中心对称，故C正确； 对于D：因为， 所以函数的最小正周期，故D错误. 故选：C 4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数的定义域为，因为，所以为奇函数，因为，所以是的图象的一条对称轴，故A符合题意； 对于B，函数的定义域为，因为，所以函数不是奇函数，故B不符题意； 对于C，函数的定义域为，因为， 所以函数不是奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的图象不是轴对称图形，故D不符题意. 故选：A. 5．（多选）已知函数，则（    ） A．是上的奇函数 B．的最小正周期为 C．有最大值1 D．在上为增函数 【答案】AB 【详解】函数的定义域为R，且，为奇函数，故A正确；函数的最小值正周期为，故B正确；，得的最大值为2，故C错误；函数的单调增区间为，当时，，即函数在上为增函数，故D错误.故选：AB. 6．已知函数，则该函数在（ ） A．上单调递增 B．上单调递增 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】A 【详解】对于A，若，则，所以在上单调递增，故A正确；对于B，若，则，因为在上单调递减，故B正确； 对于C，若，则，因为在上单调递增，故C错误；对于D，若，则，因为在上单调递减，故D错误.故选：A. 7．（多选）已知函数则下列选项中正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在上单调递减 C．满足 D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】AB 【详解】由周期公式得，故A对；因为在单调递减，所以令，得，取时，，而是的子集，故B对；，，故，故C错；由的图象向右平移个单位得到，故D错.故选：AB 8．（多选）已知函数，则（ ） A．是偶函数 B．的对称轴是 C．在区间上单调递减 D．的最小值是 【答案】ABC 【详解】. A：，所以为偶函数，故A正确； B：，所以为的对称轴，故B正确； C：由，得，所以在上单调递减，故C正确； D：由，得，即的最小值为，故D错误. 故选：ABC 9．已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【详解】因为，故，而，故，故选B. 10．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数周期为 B．函数在上为增函数 C．函数是偶函数 D．函数关于点对称 【答案】D 【详解】对于A，由于，，因此，A错误； 对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误； 对于C，由于，因此函数是奇函数，不是偶函数，C错误； 对于D，，因此函数的图象关于对称，D正确， 故选：D. 强化训练： 1．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正弦函数、余弦函数的周期都是，故排除AD，是奇函数，故排除C， 而函数的最小正周期为，而，且的定义域是全体实数，所以是偶函数，即满足题意.故选：B. 2．下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，，其定义域为，设， 因为，故其为偶函数，故A错误； 对B，，其定义域为，设， 则，则其为奇函数，且最小正周期为，故B正确； 对C，，其最小正周期为，故C错误； 对D，，其最小正周期为，故D错误. 故选：B. 3．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数的最小正周期为，当时，，所以在单调递增，在单调递减，故A错误；对于B，作出函数的大致图象如图所示，函数的最小正周期为，且在区间单调递增，故B正确；对于C，函数最小正周期为，由，得，当时，在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误.故选：B. 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变，其函数图象如下所示,则的最小正周期为，但是在上单调递增，故A错误； 对于B：的最小正周期为，但是在上单调递增，故B错误； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变，其函数图象如下所示,则的最小正周期为，且在上单调递减，故D正确. 故选：D 5．若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，令，，故，即是奇函数，故A错误，对于B，令，而，故是偶函数，故B正确，对于C，令，，显然当时，不是偶函数，故C错误，对于D，令，而,故，即是奇函数，故D错误.故选：B 6．（多选）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，故A正确；对于B选项，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B错误；对于C选项，定义域为，关于原点对称，，所以为非奇非偶函数，故C错误；对于D选项，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，故D正确，故选：AD. 7．（多选）已知函数，则（    ） A．， B．的图像关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【详解】对于A，函数的最小正周期，故A正确；对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，当时，，因为在上不单调，所以在上不单调，故C错误；对于D，因为，所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 8．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的对称中心为 C．的对称轴为直线 D．的单调递增区间为 【答案】ACD 【详解】，的最小正周期为，A正确；令，得，的对称中心为，B错误；，得，的对称轴方程为，C正确；令，得，的单调递增区间为，D正确．故选：ACD． 9．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间是增函数 【答案】ACD 【分析】对A：构造即可得；对B：由，，则，即可得；对C：构造即可得；对D：由复合函数单调性即可得. 【详解】，故的一个周期为，A正确；由，，则，，故，B错误； ， 故的图象关于直线对称，C正确；由时，，且随增大而增大，故随增大而增大，，且随增大而减小，故随增大而增大，故在区间是增函数，D正确.故选：ACD. 考点五：换元法求函数值域 经典基础题： 1．函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【详解】因为，所以当时，，故选：B 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由，故，即.故选：B. 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，因为， 所以当时，可得；当时，可得，所以函数的值域为. 故选：D. 4．已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，则，令，所以，则，则，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，；当时，，则.因此，当时，则函数的值域为.故选：D. 强化训练： 1．函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，，所以当时，，故函数的最小值为．故答案为： 2．已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】， 令，则，函数对称轴为 ，又， 所以当时，有最小值，所以的最小值为.故答案为 . 3．函数，的值域是 . 【答案】 【详解】，令，则函数为，故在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，所以的值域为.故答案为： 4．函数，的值域为 ． 【答案】 【详解】由，当时，，易知，故时，取得最小值，时，，时，，又，故的最大值为.故答案为： 5．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，由，故， 即，由，故的最大值为.故选：B. 6．函数在区间上的值域是 ． 【答案】 【详解】令，因为，，所以， ，设， 显然一元二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以函数的值域为.故答案为：. 7．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由原不等式得，，（1）时，，不等式成立，，（2）当时，，则原问题转化为求函数的最大值问题，令，则，其中，因为在单调递增，所以，因此，综合（1）、（2）可知，实数的取值范围是.故选：B. 8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，显然不成立.当时，，又，所以，当时，无解；当时，解得；所以.故答案为： 考点六：转化为单一三角函数求函数值域 经典基础题： 1．若，则在上的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】，因为，所以，则， 所以，所以在上的最大值为0，故选：D 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则.故选：C. 3．已知函数，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，所以的最小值为，故答案为：. 4．函数在区间上的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，又，则，所以，故，则函数的最小值为0.故选：A． 5．（多选）已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意知函数在区间上的最小值为，令，即，当时，，，当时，，故区间可以为，，，A，B，C正确；当时，，此时，的值取不到，D错误；故选：ABC 强化训练： 1．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由函数，因为，所以，所以函数的值域为． 2．已知函数，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以由余弦函数图象和性质可知， 所以的最小值为，故答案为. 3．函数在上的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，又，则， 所以当，即时取得最大值，即.故答案为： 4．已知函数，当取得最大值时， ． 【答案】 【详解】其中当取得最大值时，所以 5．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题设，则，在上，故， 所以最大值与最小值的和等于1.故选：C 6．已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则在上的值域为 . 【答案】 【详解】根据题意可得的最小正周期为，则，解得，故.由，得.当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为.故在上的值域为. 7．已知函数，则当时，函数的值域为 ． 【答案】 【详解】， ，，，，故的值域为.故答案为：. 8．函数的值域为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，，所以为偶函数，图象关于轴对称，只需研究时的值域即可.当即或时，，因为或，所以，或， 可得；当即时，，因为， 所以，可得，综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 9．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】观察在上的图象，当时，或，当时，，所以的最小值为：，的最大值为：，所以的取值范围为.故答案为： 综合强化： 1．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 【答案】B 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，所以取最大值时的取值集合为，故C错误； 对于D：令，解得，所以单调递增区间是，故D错误； 故选：B. 2．（多选）已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．函数是周期为的偶函数 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合 【答案】AC 【详解】对于A，由于，，即，则不是偶函数，A错误；对于B，当时，，而余弦函数在上单调递减，因此函数在区间上单调递减，B正确；对于C，当时，，，C错误； 对于D，将函数的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，所以所得图象与的图象重合，D正确.故选：AC 3．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】ACD 【详解】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A正确；令，解得，即函数的定义域为，所以B不正确；令，解得，当时，可得，所以函数的图象关于点对称，所以C正确；由，可得，根据正切函数的性质，可得函数在上单调递增，所以D正确.故选：ACD. 4．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期 B．的定义域为 C．的值域为 D．是奇函数 【答案】BD 【详解】对A：由，故的最小正周期，故A错误； 对B：由题意，即，故的定义域为，故B正确； 对C：由，故的值域为，故C错误； 对D：的定义域为，，故是奇函数，故D正确. 故选：BD. 5．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】ABD 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确；对于B，由，得,所以函数的定义域为，B正确；对于C，由，得,所以函数的对称中心为，C错误； 对于D，由，得，所以函数的单调递增区间为，D正确.故选：ABD 6．（多选）已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．函数是周期为的偶函数 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上的最小值为 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合 【答案】AC 【详解】对于A，由于，，即，则不是偶函数，A错误； 对于B，当时，，而余弦函数在上单调递减，因此函数在区间上单调递减，B正确；对于C，当时，，，C错误；对于D，将函数的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，所以所得图象与的图象重合，D正确.故选：AC 7．（多选）已知函数，则下列选项中结论正确的是（   ） A．由可得是的整数倍 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在区间上有19个零点 【答案】BC 【详解】由题意得函数， 对于A，当时，，但不是的整数倍，A错误；对于B，是偶函数，B正确；对于C，当时，，由正弦函数在上单调递减，知在上为减函数，C正确； 对于D，令，则，即，由，解得，因为，所以，因此在区间上有20个零点，D错误， 故选：BC 考点七：由图象求三角函数解析及函数图象变换 经典基础题： 1．函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 【答案】D 【详解】观察函数图象，，函数的最小正周期,解得，，由，得，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得， 函数的图象的对称轴为直线，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的单调递增区间为，D正确. 故选：D 2．为了得到函数的图象，只要把图象上的所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点向右平移个单位长度.故选：B 3．将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【详解】将的图象向左平移个单位得, ，所以，对于A，的最小正周期为，所以A错误，对于B，因为，所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确，对于C，因为，所以不是的零点，所以C错误，对于D，由，得，得，因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误.故选：B 4．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象对应的解析式为，由于的图象关于轴对称，即为偶函数，故，即，由于，故，故选：D 强化训练： 1．将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，，令，得,当时，.故选：A 2．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，解得，当时，，故为的一个对称中心，C正确，经检验，其他选项均不合要求.故选：C 3．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，则，由的图象关于原点对称，得，解得，所以当时，取得的最小正值为.故选：C 4．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的图像向左平移个单位长度后为，由关于轴对称，即有，解得，又，故的最小值为.故选：C. 5．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数的一条对称轴 D．函数在上有最小值 【答案】BD 【详解】由题图知：函数的最小正周期，则，，所以函数．将点代入解析式中可得，则，得，因为，所以，因此，故A错误；因为，所以函数的图象关于点对称，故B正确；因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；当时，，所以，即最小值为，故D正确．故选：BD． 6．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则 （       ） A． B．将的图象向右平移个单位，得到的图象 C．，都有 D．函数的减区间为 【答案】AC 【详解】由图知，,,即,所以.将代入中，得，解得,又因为，所以当时，所以的解析式为：.对A，，故A正确； 对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误； 对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确； 对D，由,得，所以函数的减区间为，故D错误.故选：AC. 7．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上的值域为 【答案】BCD 【详解】由图象知，所以函数的最小正周期为，故A不正确； 因为函数的最小正周期，可得，所以，则，，即，，因为，所以当时，，则，又因为，所以，则，所以，由，，可得，，所以的定义域为，所以B正确； 因为，可得点是函数图象的一个对称中心，所以C正确； 当时，，可得，所以D正确. 故选：BCD． 考点八：利用三角函数周期性或奇偶性求参（求值） 经典基础题： 1．函数的最小正周期为T，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，即，即，即，则，又，则.故选：B. 2．已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 . 【答案】4 【详解】根据题意可得的最小正周期为，则，解得.故答案为：4 3．函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数为上的奇函数，得，解得，当时，，所给其他均不存在整数使其成立.故选：C 4．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，又函数为奇函数，则，， 解得，，所以，故选：D. 5．已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， ．（只需写出一组） 【答案】 【详解】若，则，当时，，，故可取，故答案为：，答案不唯一 6． “的最小正周期为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当的最小正周期为时，有，即充分性不成立；当时，的最小正周期为，即必要性成立；所以“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件.故选：B. 强化训练： 1．设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：（），所以，则，显然当时， 是的一个最小正周期．不存在，使得，或.故选：B 2．如果函数的一个零点是，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，解得，对比选项可知只有，符合题意.故选D. 3．设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【详解】因为，又因为，所以函数为偶函数，即，，，所以，.故答案为. 4．若函数的对称轴方程为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，且，，由对称轴为，则相邻两条对称轴间距离为，即函数的最小正周期为，令，，令，，则，即，，，则，，，又，所以，为偶数， 则，则，故选：D. 5．记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为的最小正周期为满足，所以，解得，又的图象关于点中心对称，所以，所以,解得，当时，所以，则.故选：C 6．若函数的一条对称轴为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在区间单调递增 D． 【答案】A 【详解】由函数的一条对称轴为，得，解得，而，则，A正确；显然的最小正周期是，B错误；当时，，而正弦函数在上不单调，因此函数在区间上不单调，C错误；，D错误.故选：A 7．（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 【答案】ABD 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，； 因为，所以，即.，故A正确；，所以函数的图象关于点对称，故B正确；令，由可得，因为，所以函数在区间上不是单调函数，故C不正确；令，由可得，所以，所以，故D正确.故选：ABD. 8．（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的一个对称中心是 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称 【答案】BD 【详解】函数的最小正周期为，所以，所以，故，所以，故A错误；，故B正确； 令，解得，所以在区间上单调递增，所以在区间上不单调，故C错误；函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，解析式为，图象关于轴对称，故D正确.故选：BD 9．（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 【答案】AB 【详解】对于A：因为函数的最小正周期为，所以，可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误； 对于D，当时，，所以，可得，故D错误. 故选：AB. 10．已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的图象与轴交于点 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据周期求出判断A，计算可判断B，计算判断C，根据余弦函数的单调性判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A正确； 由，令，则，即函数与轴交于点为，故B错误； 因为，所以函数图象关于直线对称，故C正确； 当时，，由余弦函数单调性知在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：ACD 考点九：利用三角函数的性质求参数取值范围 经典基础题： 1.已知函数在是增函数，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，且，则，由于函数在是增函数，则，可得，解得.故选：B. 2．已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，函数的增区间为，且，解得.由题意可知：.于是，解得.又，于是.故选：A. 3.已知，函数在上单调递增，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，由，， 得，，所以的单调递增区间为，， 因为函数在上单调递增，所以，所以，又＞0，所以.故选：B. 4．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，当时，，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则，当时，；当时，；当时，．又因为，所以的取值范围是.故选：C. 5．已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【详解】由题意知，因为为奇函数，所以，，因为为偶函数，所以，相加得，又因为，所以，当代入得，即，代入得，即，即；当代入得，即，代入得，即，即；因为 在上没有最小值， 设，则，所以，的最大值是6.故选：B 6．已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 【答案】18 【详解】依题意，，解得，，而，则，，由，得，由在区间上有且仅有两个零点，得，解得，于是，或，当时，，，不符合要求，当时，，，符合题意，所以.故答案为：18 7．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，.故选：. 8．已知，若存在，使得，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以，又，，所以，即.故答案为：. 9．已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】设的最小正周期为，且，因为在上单调，则，可得，又因为，且，可知为的对称中心，不妨设，如图所示,依次讨论对应为点，A，，种情况，且，若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多，若对应为点，则为的对称轴，且，则，，满足，且此时为最小值，所以取值的最大值为．故答案为：. 强化训练： 1．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意设，由，所以，则在上单调递增，所以，解得，又，所以，即的取值范围是.故选：B. 2．已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，由且，知，因为函数在区间上单调递增,则,其中,所以其中,解得，其中,由，得，又，所以或，因为,所以当时,;当时,，所以实数ω的取值范围是. 3．函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，设，则，由图可知直线在线段之间，不含点，所以，得．故选：C. 4.函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在内恰有两个最小值点，，所以最小正周期满足所以，所以有，故选：B 5.已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为 . 【答案】 【解析】，则，函数有且仅有2个不同的零点，则，解得.故答案为： 6.已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 令，即， 所以，在上有且只有5个零点， 因为，所以， 所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点， 则，即，所以实数的范围是.   故选：C 7.已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是 . 【答案】 【解析】函数，因为该函数为奇函数，故，又，所以，即，因为在上有2个最值点和1个零点，故，即的范围是. 8．设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，在上恰有两个零点，恰有两个最高点， ，即，当时，不符合题意， 当时，不等式组为，不等式无解，当时, 不等式组为，不等式无解， 当时，，解得，当时，，不等式无解，当时，不等式无解..故选：A 9.已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数化简得，由， 可得函数的对称轴为，由题意知，且， 即，，若使该不等式组有解，则需满足，即，又， 故，即，所以，又，所以或，所以． 10．已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，又，且，解得，又因，所以，解得，当时，符合题意，当时，，符合题意，所以.故选：D. 11．已知函数，若集合含有4个元素，且关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得，因为，当时，，因为集合含有4个元素，则，解得．当时，，则．综上所述，．故答案为：． 12．（多选）已知函数，若在区间内恰好有198个零点，则的取值可以为（   ） A．132 B．133 C．198 D．199 【答案】ACD 【详解】令，则，，由，则，显然，即方程有两个不等的实数根，，当时，，，此时在上恰有3个实根，而，因此，则；令，当时，，，，当时，则，，此时在上恰有2个实根，而，于是或，因此或，所以n的取值可以为或或.故选：ACD 考点十：解答题 经典基础题： 1．在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点. 求:(1)的值；(2)的值. 【详解】(1)由三角函数定义可得:， 所以，.又. 所以，原式. (2). 由.所以原式. 2．已知角是第二象限角，.(1)求和的值；(2)求的值. 【详解】（1）因为角是第二象限角，，所以， 所以. （2）由（1）知，，所以，. 3．（1）已知，求的值；（2）求的值. 【详解】（1），则， 故. （2） . 4．已知函数．(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【详解】（1） 故；由令 则故函数的单调递增区间为； （2）当时，，则，即， 即在区间上的最小值和最大值分别为0，3， 即时，即时有最小值0， 当，即时有最大值3． 5．已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式及对称中心坐标：(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得：，可得，所以， 因为，所以，可得，所以， 由可得， 因为，所以，，所以. 令可得，所以对称中心为. （2）由题意可得：， 当时，，， 若关于的方程有实数根，则有实根，所以，解得. 所以实数的取值范围为. 强化训练： 1．已知. (1)求的值；(2)若为钝角，且，求的值． 【详解】（1）因为，所以 . （2）因为为钝角，由，得，   则，  ，   又因为,所以. 2．已知函数.(1)求函数的最小正周期及对称轴；(2)求在区间上的最值. 【详解】（1）因为，所以的最小正周期； 令，解得，所以的对称轴方程为. （2）令，由，知， 所以要求在区间上的最值，即求在上的最值， 当时，，当时，， 所以. 3．已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求在区间上的值域. 【详解】（1）由题意可得， 令，解得， 故的单调递减区间为. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在区间上的值域为. 4．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最小值. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期. （2）由，得，则当，即时，， 所以在区间上的最小值是. 5．已知函数.(1)求函数的最小正周期及的单调递增区间；(2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域. 【详解】（1）函数 ，所以函数的最小正周期为， 令，求得，可得函数的增区间为，． （2）由于，根据题意 ， 当时，，则， 所以,所以的值域为. 6．已知.(1)求函数的单调增区间；(2)将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式. 【详解】（1）， 因为，，即，时单调递增， 所以函数的单调增区间为. （2）将向左平移个单位得到， 将纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到， 又因为的图象关于直线对称，所以，， 解得，，因为，所以当时，有最小值， 所以， 故的解析式为. 7．已知函数的一个对称中心为.(1)求的值； (2)讨论在区间上的单调性. 【详解】（1）因为函数的一个对称中心为， 所以，解得； （2）由（1）可得， 因为，所以， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 8．已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【详解】（1）由图象可知，，最小正周期，， ，，，则，所以. （2）的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 时，，其中时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 在上有两个不等实根，则实数的取值范围为 9．已知函数，.(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的零点；(3)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1） 由，得 所以函数的单调递减区间为． （2）由（1）知 令，则，解得或 即或，所以的零点为或. （3）由（2）知， 原不等式可化为 令，则，， ，，所以在上恒成立 令，当时，在恒成立； 当时，，解得；当时，函数的对称轴为. （i）若，即时 ，解得，故 （ii）若，即时，，解得，故 综上所述，实数的取值范围是. 36 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$