检测12《函数的基本性质》单元检测B卷-【单元检测】2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

《函数的基本性质》单元检测B卷 （限时120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象关于（    ）． A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．直线对称 3．下列命题中错误的个数为（） ①的图象关于对称；②的图象关于对称；③的图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．0 4．已知函数是上的偶函数，若对于都有，且当时，，则（    ） A． B． C．3 D．-3 5．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 7．若定义在上的函数满足：对，都有成立，则下列描述一定成立的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 8．已知函数的定义域是，对任意的，，都有，若函数的图象关于点对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 10．下列关于函数，的说法正确的是（    ） A．当时，此函数的最大值为1，最小值为 B．当时，此函数的最大值为，最小值为1． C．当时，此函数的最大值为1，最小值为 D．当时，此函数的最大值为最小值为1 11．函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．为偶函数 C．，恒成立 D．的解集为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知与均为奇函数，（a､b为非零常数），若，则 . 13．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 . 14．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为 ．  四、解答题（5小题共77分） 15．（本题满分13分）已知奇函数，且（1）求的解析式；（2）用单调性的定义证明：在上单调递减. 16．（本题满分15分）已知函数是定义在上的奇函数．(1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；(2)若，求的取值范围． 17．（本题满分15分）已知函数，且．(1)求；(2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数的取值范围． 18．（本题满分17分）已知函数.(1)若，当时，求函数的值域；(2)若存在，对任意都有成立，求实数的取值范围. 19．（本题满分17分）设是定义在上恒不为零的函数，对任意恒有，且当时，.（1）证明：时，恒有；（2）证明：在上是减函数；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《函数的基本性质》单元检测B卷 （限时120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故.故选：B 2．函数的图象关于（    ）． A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．直线对称 【答案】C 【详解】，，∴是偶函数，关于轴对称，故选． 3．下列命题中错误的个数为（） ①的图象关于对称；②的图象关于对称；③的图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【详解】①因为，由得，定义域为，所以，因此，所以；即函数是奇函数，关于对称；①正确；②令，定义域为，又，所以函数是奇函数，关于对称，又，所以其图像关于点对称；②正确；③因为，由得定义域为，所以，因此函数为偶函数，其图像关于直线对称；③正确.故选D 4．已知函数是上的偶函数，若对于都有，且当时，，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】A 【详解】当时，，，∴， 又是偶函数，∴．∴．故选：A. 5．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】奇函数在上为增函数，且，则，在上为增函数，又，则有或，又草图如下，则有或.则原不等式解集为.故选：D 6．已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 【答案】C 【详解】因为为奇函数，故，，，，故.故选：C. 7．若定义在上的函数满足：对，都有成立，则下列描述一定成立的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于轴对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】C 【详解】∵，令，则，可得，∴的图象不可能关于原点对称，A错误；令，则，可得，∴的图象关于点对称，C正确；令，则，即满足题意，但的图象不关于轴对称，且不关于直线对称，B、D错误；故选：C. 8．已知函数的定义域是，对任意的，，都有，若函数的图象关于点对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为任意的，，都有.所以令，则，令，则在单调递减，又函数的图象关于点对称，则关于对称，即为奇函数，所以为偶函数，则在上单调递增，由，可得当时，又，则所以当时，当时，，且，所以，则解集为或.故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A. 因为，所以函数是奇函数，又 ，所以函数是增函数，故正确；B. 由幂函数的性质得是减函数，故错误；C. 因为，所以函数是奇函数，又 都是增函数，所以函数是增函数，故正确；D. 由反比例函数的性质得在是减函数，故错误； 故选：AC 10．下列关于函数，的说法正确的是（    ） A．当时，此函数的最大值为1，最小值为 B．当时，此函数的最大值为，最小值为1． C．当时，此函数的最大值为1，最小值为 D．当时，此函数的最大值为最小值为1 【答案】AD 【详解】解：当时，函数为减函数，所以当时，，当时，，故A正确，B错误；当时，函数为增函数，所以当时，，当时，，故C错误，D正确.故选：AD. 11．函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．为偶函数 C．，恒成立 D．的解集为 【答案】BCD 【详解】若函数的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，即为偶函数，故B正确；又在单调递减，所以在单调递增，故A错误；所以，恒成立，故C正确；因为，所以，所以的解集为，故D正确.故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知与均为奇函数，（a､b为非零常数），若，则 . 【答案】10 【详解】由题设，且，，∴也为奇函数，即，∴，而，∴10.故答案为：10 13．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，，是R上的单调递增函数，在单调递增，在单调递增，且，，解得，故实数a的取值范围为.故答案为：. 14．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为 ．   【答案】 【详解】因为函数为偶函数，根据偶函数的性质，时，，时，； 又为奇函数，根据奇函数的性质，，时，，，则与同号， 则使关于的不等式成立的的取值范围为.故答案为： 四、解答题（5小题共77分） 15．（本题满分13分）已知奇函数，且（1）求的解析式；（2）用单调性的定义证明：在上单调递减. 【详解】（1）函数的定义域是，. ∵为奇函数，∴，即，即. 上式对成立,故. ∴，又∵，即，解得， ∴. （2）取任意的，且，则 . ∵，∴，，∴， ∴，即. ∴在上单调递减. 16．（本题满分15分）已知函数是定义在上的奇函数．(1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；(2)若，求的取值范围． 【详解】（1）函数在上单调递增． 证明：任取且， 所以 ， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递增． （2）由函数是定义在上的奇函数且， 则， 又函数在上单调递增． 所以，解得， 所以的取值范围是. 17．（本题满分15分）已知函数，且．(1)求；(2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数的取值范围． 【详解】（1）∵，  ∴，  ∴. （2）由于，证明：，且，则 ， ∵，   ∴， ∴，即， 故在上单调递增. （3）∵在上单调递增，所以， ∴， ，∴. 18．（本题满分17分）已知函数.(1)若，当时，求函数的值域；(2)若存在，对任意都有成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）若，，， 又在区间上单调递增，的值域是； （2）(ⅰ），当时，， ，，， 只需，， ，或,因此或； (ⅱ）当时，，， 必须有，这与矛盾； 综上或. 19．（本题满分17分）设是定义在上恒不为零的函数，对任意恒有，且当时，.（1）证明：时，恒有；（2）证明：在上是减函数；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）证明：因为，令，有， 又，所以，当时，， 又当时，， 所以， ，所以时，， （2）设，且，所以，， 又，所以在上是减函数； （3）因为， 不等式等价于， 又由（1）得时，恒有，所以， 又由（2）得在上是减函数，所以不等式 等价于，即在上恒成立， 令，则， 令，则 ，令， 设，则， 因为，所以， 所以，所以在是单调递增，所以， 所以.故实数的取值范围是. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$