第三章 小数乘法 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年四年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 小数乘法 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、小数乘整数的意义和计算方法 1.小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 2.小数乘整数可以将小数转化成整数进行计算。 二、小数点移动引起小数大小变化的规律 1.一个数的小数点分别向右移动一位，两位，三位……这个数就分别扩大到原来的10倍，100倍，1000倍…… 一个数的小数点分别向左移动一位，两位，三位………这个数就分别缩小到原来的，，…… 2.把一个数扩大到原来的10倍，100倍，1000倍……就是把这个数分别乘 10，100，1000……也就是把小数点分别向右移动一位，两位，三位…… 把一个数缩小到原来的，，……就是把这个数分别除以10，100，1000……也就是把小数点分别向左移动一位，两位，三位…… 三、积的小数位数与乘数的小数位数的关系 1.在乘法中，一个乘数扩大到原来的m(m≠0)倍，另一个乘数扩大到原来的n(n≠0)倍，积就扩大到原来的mxn倍。 2.在乘法中，一个乘数缩小到原来的(m≠0)，另一个乘数缩小到原来的(n≠0)，积就缩小到原来的。 3.在小数乘法中，积的小数位数是由乘数的小数位数决定的，积的小数位数等于所有乘数的小数位数的和。 四、小数乘法的竖式计算方法 1.计算小数乘小数时，先按照整数乘法的计算方法算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起向左数出几位，点上小数点。 2.积的小数位数不够时，先在乘得的整数积的左边添0补位，再点上小数点；积的小数部分末尾有0的，可以去掉小数部分末尾的0。 五、小数乘小数及小数乘整十、整百数的竖式计算方法 小数乘整十数、整百数的计算方法与整数乘整十数、整百数的计算方法相同。列竖式计算时，通常把整十数十位上的数字或整百数百位上的数字和小数末位上的数字对齐。确定积的小数点位置时，要先把整十数或整百数的0落下来，再点小数点，最后将小数末尾的“0”去掉。 六、小数乘法和小数加减混合运算的运算顺序 1. 小数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同。 2. 整数乘法的运算律在小数运算中仍然适用，根据算式中数字的特点，可以运用运算律进行简算。 03 题型归纳 题型一　小数乘法的计算方法及应用 例1．（2023秋•六合区期末）探究：0.24×0.3的积是几位小数？ （1）填一填。 24×3＝（1×24）×（1×3）＝（1×1）×（24×3）＝1×72＝72 2.4×3＝（0.1×24）×（1×3）＝（0.1×1）×（24×3）＝0.1×72＝7.2 2.4×0.3＝（0.1×24）×（0.1×3）＝（0.1×0.1）×（24×3） ＝ 　 　×72＝0.72 0.24×0.3＝（0.01×24）×（0.1×3）＝（0.01×0.1）×（24×3） ＝ 　 　×72＝0.072 （2）想一想。 因为0.24×0.3积的计数单位是 　 　，所以0.24×0.3的积是三位小数。 巩固训练 1．（2024秋•祁阳市校级期中）周丽家离学校3.6km，她每天往返一次。周丽每周（一周按5天算）从家到学校往返要走多少千米？ 2．（2024秋•灵石县期中）小维计算”0.78×6.1”，想请同学们帮他批改他算对了吗？ 0.78×6.1＝47.58 3．（2024秋•牡丹区月考）你能给下面各题的积点上小数点吗？ （1） （2） （3） 题型二　小数点位置的移动与小数大小的变化规律 例2．（2024春•会宁县期末）一个数先缩小到原来的，再把缩小后的数的小数点向右移动两位，得到的数是4.35，这个数原来是多少？ 巩固训练 1．（2024春•永定区期末）把0.23扩大到它的100倍，再把小数点向左移动一位后是 　 　；7.2缩小到它的是0.72。 2．（2024春•大余县期末）把0.09扩大到它的 　 　倍是90，把1.25缩小到它的是0.0125。 3．（2024春•大连期末）把15.3先缩小到原来的，然后再乘10，最后得数是 　 　。还有一个数的小数点先向右移动两位，再向左移动一位，得数是23.16，原来的数是 　 　。 题型三　小数乘法（推广整数乘法运算定律） 例3．（2023秋•洪山区期末）怎样简便就怎样计算。 （1）1.25×8.8 （2）6.9×3.1+69×0.69 巩固训练 1．（2024秋•金华月考）计算2.5×4.4时，判断下面方法是否有误的，请在括号上画“×”或“√”，错误的在横线上改正，正确的补完过程。 （　　）①2.5×4.4＝25×4×0.4 　 　 （　　）②2.5×4.4＝2.5×（4+0.4）　 　 （　　）③2.5×4.4＝2.5×0.4×11 　 　 （　　）④2.5×4.4＝（2.5×4）×（4.4÷4）＝　 　 2．（2023秋•市中区月考）在□里填上合适的数，在〇里填上运算符号。 9.08×1.4+9.08×8.6＝□〇（□〇□） 20.1×5.8﹣0.58＝□。（□〇□） 3．将计算结果相同的两个算式用线连起来． 101×2.1 0.25×4×8 3.4×0.8×12.5 4.35+5.65+6.7 32×0.25 3.4×（0.8×12.5） 4.35+6.7+5.65 100×2.1+2.1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 小数乘法 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、小数乘整数的意义和计算方法 1.小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 2.小数乘整数可以将小数转化成整数进行计算。 二、小数点移动引起小数大小变化的规律 1.一个数的小数点分别向右移动一位，两位，三位……这个数就分别扩大到原来的10倍，100倍，1000倍…… 一个数的小数点分别向左移动一位，两位，三位………这个数就分别缩小到原来的，，…… 2.把一个数扩大到原来的10倍，100倍，1000倍……就是把这个数分别乘 10，100，1000……也就是把小数点分别向右移动一位，两位，三位…… 把一个数缩小到原来的，，……就是把这个数分别除以10，100，1000……也就是把小数点分别向左移动一位，两位，三位…… 三、积的小数位数与乘数的小数位数的关系 1.在乘法中，一个乘数扩大到原来的m(m≠0)倍，另一个乘数扩大到原来的n(n≠0)倍，积就扩大到原来的mxn倍。 2.在乘法中，一个乘数缩小到原来的(m≠0)，另一个乘数缩小到原来的(n≠0)，积就缩小到原来的。 3.在小数乘法中，积的小数位数是由乘数的小数位数决定的，积的小数位数等于所有乘数的小数位数的和。 四、小数乘法的竖式计算方法 1.计算小数乘小数时，先按照整数乘法的计算方法算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起向左数出几位，点上小数点。 2.积的小数位数不够时，先在乘得的整数积的左边添0补位，再点上小数点；积的小数部分末尾有0的，可以去掉小数部分末尾的0。 五、小数乘小数及小数乘整十、整百数的竖式计算方法 小数乘整十数、整百数的计算方法与整数乘整十数、整百数的计算方法相同。列竖式计算时，通常把整十数十位上的数字或整百数百位上的数字和小数末位上的数字对齐。确定积的小数点位置时，要先把整十数或整百数的0落下来，再点小数点，最后将小数末尾的“0”去掉。 六、小数乘法和小数加减混合运算的运算顺序 1. 小数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同。 2. 整数乘法的运算律在小数运算中仍然适用，根据算式中数字的特点，可以运用运算律进行简算。 03 题型归纳 题型一　小数乘法的计算方法及应用 例1．（2023秋•六合区期末）探究：0.24×0.3的积是几位小数？ （1）填一填。 24×3＝（1×24）×（1×3）＝（1×1）×（24×3）＝1×72＝72 2.4×3＝（0.1×24）×（1×3）＝（0.1×1）×（24×3）＝0.1×72＝7.2 2.4×0.3＝（0.1×24）×（0.1×3）＝（0.1×0.1）×（24×3） ＝ 　 　×72＝0.72 0.24×0.3＝（0.01×24）×（0.1×3）＝（0.01×0.1）×（24×3） ＝ 　 　×72＝0.072 （2）想一想。 因为0.24×0.3积的计数单位是 　 　，所以0.24×0.3的积是三位小数。 【分析】根据小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看作整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉进行填空。 【解答】解：（1）2.4×0.3＝（0.1×24）×（0.1×3）＝（0.1×0.1）×（24×3）＝0.01×72＝0.72 0.24×0.3＝（0.01×24）×（0.1×3）＝（0.01×0.1）×（24×3）＝0.001×72＝0.072 （2）因为0.24×0.3积的计数单位是0.001，所以0.24×0.3的积是三位小数。 故答案为：（1）0.01；0.001；（2）0.001。 【点评】本题考查的主要内容是小数乘法计算问题。 巩固训练 1．（2024秋•祁阳市校级期中）周丽家离学校3.6km，她每天往返一次。周丽每周（一周按5天算）从家到学校往返要走多少千米？ 【分析】根据题意可以知道，要想求出周丽每周从家到学校往返要走多少千米，必须先求出每天往返走的千米数；已知周丽家离学校3.6千米，每天往返一次就是每天走两个3.6千米，即3.6×2，据此用每天往返走的路程乘以天数5即可求出答案。 【解答】解：3.6×2×5 ＝3.6×10 ＝36（km） 答：周丽每周（一周按5天算）从家到学校往返要走36千米。 【点评】本题是一道小数乘法应用题，关键是弄懂“往返一次”的含义。 2．（2024秋•灵石县期中）小维计算”0.78×6.1”，想请同学们帮他批改他算对了吗？ 0.78×6.1＝47.58 【分析】根据小数乘法的计算法则，先其中整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，由此可知，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和。也可以通过小数乘法的估算方法进行判断。 【解答】解： 所以小维的计算是错误的。 【点评】此题考查的目的是理解掌握小数乘法的计算法则及应用、小数乘法的估算方法及应用。 3．（2024秋•牡丹区月考）你能给下面各题的积点上小数点吗？ （1） （2） （3） 【分析】小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看作整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，然后，再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉。 【解答】解： 【点评】本题主要考查了小数乘法的竖式计算方法，注意计算的准确性。 题型二　小数点位置的移动与小数大小的变化规律 例2．（2024春•会宁县期末）一个数先缩小到原来的，再把缩小后的数的小数点向右移动两位，得到的数是4.35，这个数原来是多少？ 【分析】一个数先缩小到原来的，相当于把这个小数的小数点向左移动三位，再把缩小后的数的小数点向右移动两位，相当于把这个小数的小数点向左移动一位得到4.35，只要把4.35的小数点向右移动一位即可解答。 【解答】解：4.35的小数点向右移动一位是43.5。 所以这个数原来是43.5。 【点评】熟练掌握小数点的位置移动引起小数大小变化的规律是解决此题的关键。 巩固训练 1．（2024春•永定区期末）把0.23扩大到它的100倍，再把小数点向左移动一位后是 　 　；7.2缩小到它的是0.72。 【分析】一个数的小数点向右移动一位、两位、三位……这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍…… 一个数的小数点左移动一位、两位、三位……这个数就缩小到原来的、、…… 【解答】解：把0.23扩大到它的100倍是23，再把23的小数点向左移动一位后是2.3；7.2变成0.72，就是把7.2的小数点向左移动了一位，就缩小到原来的。 故答案为：2.3；10。 【点评】本题考查小数点位置的移动与小数大小的变化规律。 2．（2024春•大余县期末）把0.09扩大到它的 　 　倍是90，把1.25缩小到它的是0.0125。 【分析】把一个小数扩大到原来的10倍，100倍，1000倍......就是把小数的小数点向右移动一位，两位，三位......把一个小数缩小到它的十分之一，百分之一，千分之一......就是把这个数分别除以10、100、1000......也就是把小数点分别向左移动一位、两位、三位......据此解答。 【解答】解：把0.09扩大到它的1000倍是90，把1.25缩小到它的是0.0125。 故答案为：1000；。 【点评】熟练掌握小数点的位置移动引起小数大小变化的规律是解决此题的关键。 3．（2024春•大连期末）把15.3先缩小到原来的，然后再乘10，最后得数是 　 　。还有一个数的小数点先向右移动两位，再向左移动一位，得数是23.16，原来的数是 　 　。 【分析】一个数的小数点向右移动一位、两位、三位……这个数就乘10、100、1000…… 一个数的小数点向左移动一位、两位、三位……这个数就除以10、100、1000……。 【解答】解：把15.3先缩小到原来的，然后再乘10，最后得数是1.53。还有一个数的小数点先向右移动两位，再向左移动一位，得数是23.16，原来的数是2.316。 故答案为：1.53，2.316。 【点评】此题主要考查小数点位置移动引起数的大小变化规律。 题型三　小数乘法（推广整数乘法运算定律） 例3．（2023秋•洪山区期末）怎样简便就怎样计算。 （1）1.25×8.8 （2）6.9×3.1+69×0.69 【分析】（1）把8.8分成8+0.8进行计算； （2）把69×0.69写成6.9×6.9，6.9×（3.1+6.9）进行计算。 【解答】解：（1）1.25×8.8 ＝1.25×8+1.25×0.8 ＝10+1 ＝11 （2）6.9×3.1+69×0.69 ＝6.9×（3.1+6.9） ＝6.9×10 ＝69 【点评】本题考查的主要内容是小数四则混合运算和简便计算的应用问题。 巩固训练 1．（2024秋•金华月考）计算2.5×4.4时，判断下面方法是否有误的，请在括号上画“×”或“√”，错误的在横线上改正，正确的补完过程。 （　　）①2.5×4.4＝25×4×0.4 　 　 （　　）②2.5×4.4＝2.5×（4+0.4）　 　 （　　）③2.5×4.4＝2.5×0.4×11 　 　 （　　）④2.5×4.4＝（2.5×4）×（4.4÷4）＝　 　 【分析】①把4.4写成（4×1.1）的形式，再按乘法结合律计算比较简便； ②把4.4写成（4+0.4）的形式，再按乘法分配律计算比较简便； ③把4.4写成（0.4×11）的形式，再按乘法结合律计算比较简便； ④应用积不变的规律解答即可。 【解答】解：①2.5×4.4 ＝2.5×4×1.1 ＝（2.5×4）×1.1 ＝10×1.1 ＝11 ②2.5×4.4 ＝2.5×（4+0.4） ＝2.5×4+2.5×0.4 ＝10+1 ＝11 ③2.5×4.4 ＝2.5×0.4×11 ＝1×11 ＝11 ④2.5×4.4 ＝（2.5×4）×（4.4÷4） ＝10×1.1 ＝11 故答案为：①×；2.5×4.4＝2.5×4×1.1＝（2.5×4）×1.1＝10×1.1＝11；②√；＝2.5×4+2.5×0.4＝10+1＝11；③√；＝1×11＝11；④√；10×1.1＝11。 【点评】熟练掌握乘法结合律、分配律、积不变的规律是解答本题的关键。 2．（2023秋•市中区月考）在□里填上合适的数，在〇里填上运算符号。 9.08×1.4+9.08×8.6＝□〇（□〇□） 20.1×5.8﹣0.58＝□。（□〇□） 【分析】按照乘法分配律，把9.08×1.4+9.08×8.6变式为9.08×（1.4+8.6）即可。 把20.1×5.8﹣0.58变式为201×0.58﹣0.58，然后按照乘法分配律解答即可。 【解答】解：9.08×1.4+9.08×8.6＝9.08×（1.4+8.6） 20.1×5.8﹣0.58 ＝201×0.58﹣0.58 ＝0.58×（201﹣1） 【点评】此题考查了乘法分配律的灵活运用，结合题意分析解答即可。 3．将计算结果相同的两个算式用线连起来． 101×2.1 0.25×4×8 3.4×0.8×12.5 4.35+5.65+6.7 32×0.25 3.4×（0.8×12.5） 4.35+6.7+5.65 100×2.1+2.1 【分析】（1）101×2.1，根据乘法分配律进行简算； （2）0.25×4×8，按照从左向右的顺序进行计算； （3）3.4×0.8×12.5，根据乘法结合律进行简算； （4）4.35+5.65+6.7，按照从左向右的顺序进行计算； （5）32×0.25，根据乘法结合律进行简算； （6）3.4×（0.8×12.5），先算小括号里面的乘法，再算括号外面的乘法； （7）4.35+6.7+5.65，根据加法交换律进行简算； （8）100×2.1+2.1先算乘法，再算加法； 分别求出各个算式的结果，再连线． 【解答】解：（1）101×2.1 ＝（100+1）×2.1 ＝100×2.1+1×2.1 ＝210+2.1 ＝212.1 （2）0.25×4×8 ＝1×8 ＝8 （3）3.4×0.8×12.5 ＝3.4×（0.8×12.5） ＝3.4×10 ＝34 （4）4.35+5.65+6.7 ＝10+6.7 ＝16.7 （5）32×0.25 ＝（8×4）×0.25 ＝8×（4×0.25） ＝8×1 ＝8 （6）3.4×（0.8×12.5） ＝3.4×10 ＝34 （7）4.35+6.7+5.65 ＝4.35+5.65+6.7 ＝10+6.7 ＝16.7 （8）100×2.1+2.1 ＝210+2.1 ＝212.1 故答案为： 【点评】考查了运算定律与简便运算，注意灵活运用所学的运算定律进行简便计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$