精品解析：黑龙江省哈尔滨市呼兰区2024-2025学年上学期九年级期末数学试题　

2024-2025学年度上学期九年级期末考试题 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 一元二次方程的根为（ ） A B. C. D. 2. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D、E分别为边上的点，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____________． 12. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 13. 已知点与关于原点对称，则___________． 14. 二次函数与轴的交点坐标是_____________． 15. 如图，切于过圆心O点，是弦，，则_____________°． 16. 如图，在中，点D在边上，若，则的长为_____________． 17. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是_____________． 18. 在半径为7的中，弦的长为7，则弦所对的圆周角为_____________度． 19. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______． 20. 如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解答下列问题： （1）在方格纸中画出以线段为斜边的等腰直角，且点E在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以线段为斜边的直角，使得，连接，并直接写出线段的长． 23. 为迎接即将举行的哈尔滨亚冬会，某学校对一部分学生进行了“你最喜欢的冰雪运动”问卷调查（每人必选且只能选一项），根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若全校共2000名学生，请估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有多少名． 24. 如图1，在四边形中，对角线交于点O，点O是的中点，． （1）求证：四边形平行四边形； （2）如图2，若平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形． 25. 2025年元旦来临之际，明德中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结、若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）明德中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？ 26. 已知，内接于，点是中点，连接、． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若平分的邻补角，求证：； （3）在的条件下，若，求的值． 27. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值； （3）在（2）条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期九年级期末考试题 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：C． 2. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此作答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：从正面看的图形为：， 故选：A． 4. 如图所示，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了二次函数的性质，由于二次函数的顶点坐标为，由此即可求出抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数， ∴其图象的顶点坐标为． 故选D． 8. 小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图以及列表法求概率，正确画出树状图是解题关键．先画出树状图，从而可得她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果，再找出恰好是白色上衣和白色裤子的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果共有4种，其中，恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种， 则恰好是白色上衣和白色裤子的概率为， 故选：B． 9. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数值的利用，解答本题的关键是掌握锐角三角函数的知识； 本题已知了直角三角形的锐角的度数、斜边的长，求的邻边的长，利用的余弦即可得到答案； 【详解】解：在中，，即，所以， 故选：． 10. 如图，在中，D、E分别为边上的点，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据，得到，即可判断各个选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D错误，不符合题意， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴． 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出k的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：6． 13. 已知点与关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键． 14. 二次函数与轴的交点坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键．轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0． 本题根据，求出的值，得到轴交点坐标． 【详解】当时，， ∴与轴交点坐标为， 故答案为：． 15. 如图，切于过圆心O点，是弦，，则_____________°． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用． 根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【详解】解：切于C，过圆心O点，是弦，， ， ，， ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，点D在边上，若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式∶．根据弧长公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为∶． 18. 在半径为7的中，弦的长为7，则弦所对的圆周角为_____________度． 【答案】30或150 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，学会分两类情况讨论弦所对的圆周角是解题的关键．首先根据题意画出图形，通过证明是等边三角形，得到，再利用圆周角定理和圆内接四边形的性质分别求出、的度数，即可得出结论． 【详解】解：如图为的示意图，取优弧上任意一点，劣弧上任意一点，连接、、、、、， ， 是等边三角形， ， ， ， 、都是弦所对的圆周角， 弦所对的圆周角为30或150度． 故答案为：30或150． 19. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______． 【答案】3＋ 【解析】 【详解】过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°． ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD． ∵∠A＝30°，， ∴， ∴． 由勾股定理得：， ∴． 故答案是：3＋ 20. 如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过E点作交N点，根据三角函数求出，，，，在中利用勾股定理求出，根据菱形的性质即可得出答案． 【详解】延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 【详解】解： ， ， ∴原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解答下列问题： （1）在方格纸中画出以线段为斜边的等腰直角，且点E在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以线段为斜边直角，使得，连接，并直接写出线段的长． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了作图-网格作图，勾股定理及其逆定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）取格点，连接，，由网格及勾股定理求出、、的长，再根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，则即为所求； （2）取格点，连接，，，由网格及勾股定理求出、、的长，再根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，则即为所求，并求出的长． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接，，则即为所求， 由网格可知，， ， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：取格点，连接，，，则即为所求， 由网格可知，， ， ， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由图及网格可得：． 23. 为迎接即将举行的哈尔滨亚冬会，某学校对一部分学生进行了“你最喜欢的冰雪运动”问卷调查（每人必选且只能选一项），根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若全校共2000名学生，请估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生有多少名． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）从扇形统计图中可以看出滑雪人数占，从条形统计图中可以看出滑雪人数为50，据此即可求出总人数； （2）求出冰壶人数后即可补全条形统计图； （3）用2000乘以滑冰人数所占的百分比，即可估计出全校学生中最喜欢“滑冰”运动的学生的人数． 【小问1详解】 解：（名）， 答：在这次问卷调查中，一共抽查了200名学生； 【小问2详解】 解：冰壶的人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（名）， 估计该校最喜欢“滑冰”运动的学生约有800名． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联以及用样本估计总体是解题的关键． 24. 如图1，在四边形中，对角线交于点O，点O是的中点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明得，进而可证四边形是平行四边形； （2）证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形； 【小问1详解】 证明： ∵点O是的中点 ∴四边形是平行四边形 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形； ∵， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 综上可知，等腰三角形有． 25. 2025年元旦来临之际，明德中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结、若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）明德中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？ 【答案】（1）编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米 （2）该中学最多编织15个大号中国结 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设编织1个大号中国结需要用绳x米，编织1个小号中国结需要用绳y米，若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米，再建立方程组解题即可； （2）设该中学编织m个大号中国结，则编织个小号中国结，根据编织这两种中国结的用绳长不超过165米，再建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米， 由题意得：， 解得：， 答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米； 【小问2详解】 解：该中学编织m个大号中国结，则编织个小号中国结， 由题意得：， 解得：， 答：该中学最多编织15个大号中国结． 26. 已知，内接于，点是的中点，连接、． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若平分的邻补角，求证：； （3）在的条件下，若，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据点是的中点，可知，又因为，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知； （2）根据邻补角定义可知，根据圆内接四边形对角互补可知，根据同角的补角相等可知，根据角平分线定义可知，所以可得，根据在同圆中同弧所对的弦相等可证结论成立； （3）连接交于，交于，过点作于，连接，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，根据在同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，设，则，根据正弦的定义可知，所以可得，从而可以求出，根据可以求出，从而可以求出，利用勾股定理可以求出的长． 【小问1详解】 证明：点是的中点， ， ， ， 是的垂直平分线， ； 【小问2详解】 证明：平分， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接交于，交于，过点作于，连接， ， ，， 点是弧中点， ， ， ， ． 设，则， ，， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 作于， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一、锐角三角函数，解决本题的关键是根据圆的基本性质找到角和边之间的相等关系． 27. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值； （3）在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得到方程组，求出解即可； （2）先求出点B，C，D坐标，进而得出线段长，再说明是直角三角形，根据正切的定义得出答案； （3）先确定点B，E的坐标，进而求出直线的解析式，可分两种情况进行解析， ①时，点P在x轴上，根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，求出点P的坐标；②时，求出，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【小问1详解】 解：将点B、C的坐标代入抛物线表达式． 可得， 解得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， . ， ． ， ， ， 是直角三角形，， ； 【小问3详解】 解：∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，的对称轴为直线， . 又， 可设直线的解析式为，将点B、E的坐标代入， 得， 解得， ∴直线为， 当时，， ； 由（2）知是直角三角形，， 若和相似，可分两种情况进行解析： ①时，点P在x轴上， ， ， ， ， 和相似， ； ②时， ， . 和相似， ， ， 解得， ∴点纵坐标为， ． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定，求一次函数的关系式，注意分情况讨论，不能丢解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$