精品解析：山东省临沂市兰陵县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度上学期阶段质量调研九年级数学 一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分．在所给的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. B. C. 4，21 D. 3. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 直线和抛物线都经过点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 或 7. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 8. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_________. 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 13. 将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 __________ 14. 某汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是，则从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是 _______． 15. 如图，在正方形网格中，格点绕某点逆时针旋转得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，请写出旋转中心的坐标__________． 16. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为________ 三、解答题 17. 请你用指定的方法解下列方程 （1）配方法： （2）公式法： 18. 在如图所示的正方形网格中有，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，点A的坐标为，是关于A点中心对称的图形，写出，两点的坐标． 19. 如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． （1）当时， 米， 平方米； （2）若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 20. 已知抛物线． （1）图象的开口方向为_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． （2）分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标． （3）在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线 （4）观察图象：当时，x的取值范围为_______；当时，y的最小值为_______，最大值为_______． 21. 课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 22. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型问题，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． （1）原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 思路梳理： ∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，三点、、共线． 根据，易证__________，得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当与满足等量关系时，第（1）问中的结论是否仍成立？请说明理由． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并直接写出_______________（不需写证明过程）． 23. 已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值； （3）已知点，，若该二次函数的图象与线段只有一个公共点，请求出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期阶段质量调研九年级数学 一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分．在所给的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； C、是分式方程，故不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故符合题意． 故选：D． 2. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. B. C. 4，21 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 即， ，， 故选：A． 3. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 5. 一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】A．由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 故选： B． 6. 直线和抛物线都经过点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数交点解不等式，掌握一次函数、二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意作图，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图， ∵直线和抛物线都经过点， ∴根据图象可知，不等式的解集为或； 故选：D． 7. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：A 8. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 9. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_________. 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，根据一元二次方程的根与的关系列出不等式即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移及关于点对称．根据点的平移规则：左减右加，上加下减确定，然后进行求解即可． 【详解】解：点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q， ∴，即：； ∵Q与B关于原点对称， ∴点B的坐标是 故答案为：． 14. 某汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是，则从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是 _______． 【答案】3秒## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式． 将解析式化为顶点式，得出当时，S有最大值27，即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴当时，S有最大值27， ∴从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是3秒． 故答案为：3秒． 15. 如图，在正方形网格中，格点绕某点逆时针旋转得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，请写出旋转中心的坐标__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，灵活利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质确定旋转中心是解题的关键． 利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质可作线段与的线段垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心E． 【详解】解：如图，连接、，作线段与的线段垂直平分线交于一点E， ∴点E为旋转中心 ∴旋转中心E的坐标为． 故答案为：． 16. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 此时有， 解得：， 紫砂壶的壶口半径r的长为， 故答案为：． 三、解答题 17. 请你用指定的方法解下列方程 （1）配方法： （2）公式法： 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）先将常数项移到等号的右边，再配方，最后两边开平方即可得到答案； （2）先定系数a，b，c，再判判别式，最后代入求根公式即可得到答案； 【小问1详解】 解：移项得， ， 配方得， ，即， 两边开平方得， ， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意可得， ，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 在如图所示的正方形网格中有，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，点A的坐标为，是关于A点中心对称的图形，写出，两点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查复杂作图----旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质． （1）分别作出点B和点C以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后所得对应点，再顺次连接即可得； （2）由点B和点A的坐标作出坐标系，分别作出点B，C关于点A的对称点，再顺次连接即可得，再确定点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，，两点的坐标分别为 19. 如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． （1）当时， 米， 平方米； （2）若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 【答案】（1）10；200 （2）的长为15米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得，即可求出，根据长方形面积公式，即可求出y； （2）根据题意可得，则，根据长方形面积公式，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 故答案为：10，200； 【小问2详解】 解：由题意知：，则， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，应舍去， ∴的长为15米． 20. 已知抛物线． （1）图象的开口方向为_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． （2）分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标． （3）在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线 （4）观察图象：当时，x的取值范围为_______；当时，y的最小值为_______，最大值为_______． 【答案】（1）向下，直线，， （2）抛物线与轴交点坐标为或，与轴交点坐标为 （3） 描点，连线，函数图象如图所示， （4），， 【解析】 【分析】（1）根据的正负，判断开口方向，把解析式利用配方法得到顶点式，可得出顶点坐标； （2）令，解一元二次方程，求出的值，即可得出抛物线与轴的交点坐标，令，得出的值，即可得出抛物线与轴坐标； （3）根据给出的点的坐标及对称轴可画出大致图象； （4）根据函数图象求得即可． 【小问1详解】 ， ， 图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为，． 故答案为：向下，直线，，． 【小问2详解】 令，即，解得，或， 令，则， 抛物线与轴交点坐标为或，与轴交点坐标为． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 由图象可知，当时，的取值范围为；当时，的最小值为，最大值为． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二次函数函数的图象及其性质，数形结合思想等，会由抛物线的对称性及给出的点画出图象是解题关键． 21. 课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 【答案】（1）；； （2）① 连接，延长交与点，如图： 为的直径， ， 是的角平分线，且， ， ， ，（公共边）， ， ， ，， 直线垂直平分； ② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理： （1）根据圆周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，延长交与点，根据等角对等边可证得，再根据可证得，进而可证得，根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； ②由（1）得：，由①得：，点是的中点，进而可得，根据即可求解； 添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）为的直径， ， 在中，，， ， 是的角平分线， ， ， 在中，， ； （2）①略 ②由（1）得：， 由①得：，点是的中点， 是的中位线， ， ． 22. 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型问题，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． （1）原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 思路梳理： ∵， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，三点、、共线． 根据，易证__________，得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当与满足等量关系时，第（1）问中的结论是否仍成立？请说明理由． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并直接写出_______________（不需写证明过程）． 【答案】（1） （2） 时，，仍然成立，理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线． 在和中，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键： （1）利用旋转的性质，证明，即可； （2）同法（1）进行证明即可； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∴， ∴，点F、D、G共线． ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值； （3）已知点，，若该二次函数的图象与线段只有一个公共点，请求出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法求即可； （2）根据二次函数的图象的顶点坐标为，分两种情况求解①当时和②当时，分别求出其最大值和最小值，再根据其差值为8即可求出t的值； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定m的范围即可． 【小问1详解】 解：由题意知二次函数的图象的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴该二次函数的解析式为 【小问2详解】 由题意知二次函数的图象的顶点坐标为． ①当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴，此时方程无实数解； ②当时，二次函数的最小值为． ∴当时，该二次函数最大值与最小值的差是8， ∴该二次函数最大值为． ∵时， ∴时，， 即，解得（舍去）或， ∴当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，t的值为 【小问3详解】 由题意知，该二次函数的大致图象如图所示． 当时，，此时点M的坐标为． 由图知当时，交点只有一个． ∵， ∴当时，图中也符合只有一个交点， ∴该二次函数的图象与线段只有一个公共点时，m的取值范围为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $