精品解析：山东省邹城市第二中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二上学期12月质量检测数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得， 所以准线方程为， 故选：C 2. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 3. 设、，向量，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线、垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算求出模. 【详解】由，得，解得，即， 由，得，解得，即，因此， 所以. 故选：D 4. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】，， ， 即. 故选：D. 5. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，根据互斥事件和独立事件概率求法运算求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率 . 故选：B. 6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 7. 已知直线和直线，则是两直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线和直线平行， 则，解得或， 因此，是两直线平行的充分不必要条件. 故选：A. 8. 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 二、多选题（每小题满分6分） 9. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解. 【详解】对于A，因为事件两两互斥， 所以，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于D，由，得，故D正确； 对于C，因为，故C正确. 故选：BCD. 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 13. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 14. 如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，,则，，根据直线斜率的坐标公式，可分别求得直线的斜率，又，所以，从而，再根据点在椭圆上化简即可. 【详解】设，,则，， 所以，， 因为，所以，所以，即. 又， 所以，即，解得，即椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）在等差数列中，，求的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式表示出不同的项，然后代入求解即可； （2）利用数列通项与前n项和的关系求解即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题可知，， 因为，得，解得， 所以等差数列的通项公式为； （2）当时，； 当时， 检验，所以． 16. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可得； （2）利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可得. 【小问1详解】 记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B， “丙家庭回答正确这道题”为事件C， 则，，， 即，， 所以，， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，； 【小问2详解】 有3个家庭回答正确的概率为， 有2个家庭回答正确的概率为： ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 17. 已知、、、四点. （1）求经过、、三点的圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，将点、、的坐标代入圆的方程，求出、、的值，即可得出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为、、三点都在圆上， 则，解得， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，圆的圆心为，半径为, ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，，解得 此时，直线的方程为，即. 综上，直线的方程为 或. 18. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 19. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）① 证明：由消去y，化简得：， 设，，则， ，， 故， 因为，所以， 所以， 坐标原点到直线l的距离为， 所以的面积为， 故的面积为定值． ②不存在，理由如下： 假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则， 设，则， 又因为，即，得， 与矛盾， 故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可； （2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出，与矛盾，从而得出结论． 【小问1详解】 由题意知，焦距，故，又，故， 所以，故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期12月质量检测数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 3. 设、，向量，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 4. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 已知直线和直线，则是两直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题满分6分） 9. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 12. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 13. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 14. 如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为______. 四、解答题 15. （1）在等差数列中，，求的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式． 16. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 17. 已知、、、四点. （1）求经过、、三点的圆的方程； （2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程. 18. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 19. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $