精品解析：黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

2024-2025学年度上学期期末试题 九年级数学 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ）． A. 2024 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 以下是有关环保四个标志，从图形的整体看，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 4. 央金用6个相同的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形（如图），图形中的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数，那么从前面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 分式方程解是（ ） A. B. C. D. 7. 有两把不同锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）． A. B. C. D. 8. 有一个容积为24的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x，由题意列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D、E、F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（ ）． A. B. C. D. 10. 某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）． A. 在一定范围内，越大，越小 B. 当时，的阻值为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称最大质量是 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 将用科学记数法表示为______． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 13. 已知点和均在双曲线（k为常数，且）上，则________． 14. 已知，则________． 15. 分解因式：________． 16. 抛物线与y轴交点是________． 17. 不等式组的解集是________． 18. 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为________． 19. 在中，，点D在线段上，过点D作的垂线交直线于F，交直线于E，则为______度． 20. 如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________． 三、解答题（本大题60分，21-22题7分，23-24题8分，25-27题10分） 21. 先化简再求值：，其中． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都是1，和 关于直线对称． （1）请在图中把和补充完整； （2）求线段的长． 23. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为________，扇形统计图中的________； （2）求所调查学生本学期参加志愿服务次数的平均数； （3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数． 24. 如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：） 25. 为绿化校园，某学校计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元， （1）求A、B两种树苗单价各是多少？ （2）学校计划购买A、B两种树苗共21棵，且购买B种树苗的数量不超过A种树苗的一半，设购买B种树苗棵，购买两种树苗所需费用为元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 26. 已知：为圆O的直径，点C、D在圆上，连接、，且； （1）如图①，求证：； （2）如图②，连接交于点M，点E、G在上，点F在上，连接、交于点H，若H为的中点，且，求的值； （3）如图③，在（2）的条件下，连接，且，连接并延长交于点P，若，，求线段的长． 27. 如图 1，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线经过点，点和点，并与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点为轴上一动点，连接，当时，求点 的坐标； （3）如图 3，将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线；将直线向下平移经过坐标原点，交抛物线于另一点．点，点是上且位于 第一象限内一动点，交于点，轴分别交于，试说明：与存在一个确定的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期期末试题 九年级数学 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ）． A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数与绝对值，掌握相关定义是解题关键．先根据绝对性的性质化简，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：，且的相反数是， 的相反数是， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，去括号等知识点，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、去括号法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故选项不符合题意； B．，原计算错误，故选项不符合题意； C．，计算正确，故选项符合题意； D．，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 以下是有关环保的四个标志，从图形的整体看，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义求解即可得答案． 【详解】A，此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意； C、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 4. 央金用6个相同的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形（如图），图形中的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数，那么从前面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从上面看到的形状可知，该几何体从前面看到两行小正方形，下面3个，上面1个，右齐．据此解答．本题主要考查从不同方向观察物体和几何体，关键是培养学生的观察能力． 【详解】解：根据题意，从前面看到的图形是． 故选：A． 5. 如图是一个不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（ ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质及切线长定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．由切线的性质了的，由此得出，再由切线长定理可得，再由三角形内角和即可求出的度数． 【详解】∵切于点，是半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，找出原分式方程的最简公分母，进行去分母，化为整式方程是解题的关键，注意：要检验所求的解是否为增根．先去分母，把原分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得答案． 【详解】解：， ∴， 去分母得： 去括号、合并同类项得：， 解得：， 检验：时，， ∴是原分式方程的解． 故选：D． 7. 有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率公式是解题关键．根据随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数，即可求解． 【详解】解：由题意可知，共有种情况，其中一次打开锁的情况有种， 即一次打开锁的概率是， 故选：A． 8. 有一个容积为24的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x，由题意列方程，正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为每分钟，粗油管的注油速度为每分钟，继而可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟，粗油管口径为细油管口径2倍， ∴粗油管的注油速度为每分钟， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键． 9. 如图，点D、E、F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，令与交点为， ，， ， ， ， ， ， ， 点M是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：D． 10. 某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）． A. 在一定范围内，越大，越小 B. 当时，的阻值为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为， 由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值， ，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ． ． 故答案为：． 13. 已知点和均在双曲线（k为常数，且）上，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据点的坐标，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：点在双曲线上， ， 点在双曲线上， ， 故答案为：． 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵, ∴, 故答案为：． 15. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 抛物线与y轴交点是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．求二次函数与y轴的交点， 令，求出y的值．再根据在y轴上的点的坐标特征写出交点坐标即可． 【详解】解：令，得． 抛物线与y轴交点是． 故答案：． 17. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是关键． 先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 18. 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算．根据展开后的半圆弧长等于圆锥形烟囱帽的底面周长列方程求解即可．解题的关键是掌握：圆锥侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径是圆锥的母线长． 【详解】解：设母线的长为， 由题意得：， 解得：， ∴母线的长为， 故答案为：． 19. 在中，，点D在线段上，过点D作的垂线交直线于F，交直线于E，则为______度． 【答案】30或150 【解析】 【分析】分两种情况：①点E在线段的延长线上；②点E在线段上；根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解． 【详解】①点E在线段的延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角，且， ∴； ②点E在线段上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：30或150． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是分析清楚点E的位置． 20. 如图，正方形中，点E，F分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M，N．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________． 【答案】② 【解析】 【分析】根据已知条件可得，即可判断①，进而推出，导角可得②正确，作于点，连接，证明是直角三角形，勾股定理验证③，证明，即可判断④求解． 【详解】解：∵正方形的周长是周长的2倍， ∴， ， ①若，则，故①不正确； 如图，在的延长线上取点，使得， 四边形是正方形， ，， ， ，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即，故②正确； 如图，作于点，连接， 则， ，， ， 同理可得， ， 关于对称轴，关于对称， ， ， ， 是直角三角形， ③若， ， ，故③不正确， ， 若， 即， ， ，， 又， ， ， 即， ， ， ， ， ， 故④不正确． 故答案为：②． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题60分，21-22题7分，23-24题8分，25-27题10分） 21. 先化简再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分，再将除法变为乘法约分化简，结合特殊角的三角函数值求出的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都是1，和 关于直线对称． （1）请在图中把和补充完整； （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了补画轴对称图形，勾股定理： （1）根据轴对称图形的特点进行作图即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，和即为所求； 【小问2详解】 解：由网格的特点和勾股定理可得． 23. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为________，扇形统计图中的________； （2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数； （3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数． 【答案】（1）40，25 （2）7 （3）我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人 【解析】 【分析】（1）直接根据条形统计图和扇形统计图中的数据进行计算即可； （2）根据平均数的定义进行计算即可得到答案； （3）先求出本学期参加志愿服务不少于7次的学生人数所占的百分比，再乘以1000，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 本次接受调查的学生人数为：（人）， 扇形统计图中的的值为：， 故答案为：40，25； 【小问2详解】 解：根据题意可得： 所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为：（次）； 【小问3详解】 解：根据题意得： （人）， 答：我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、由样本估计总体，熟练掌握平均数的求法是解题的关． 24. 如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：） 【答案】这条江的宽度AB约为732米 【解析】 【分析】在和中，利用锐角三角函数，用表示出的长，然后计算出AB的长； 【详解】解：如图，∵， ∴， 在中，∵， ∴米， 在中，∵， ∴（米）， ∴（米） ， 答：这条江的宽度AB约为732米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含表示出的长． 25. 为绿化校园，某学校计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元， （1）求A、B两种树苗单价各是多少？ （2）学校计划购买A、B两种树苗共21棵，且购买B种树苗的数量不超过A种树苗的一半，设购买B种树苗棵，购买两种树苗所需费用为元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）A种树苗单价为90元，B种树苗单价为70元；（2）当A种14棵，B种7棵时所需的费用最省，最小费用为1750元． 【解析】 【分析】（1）设A种树苗单价为a元，B种树苗单价为b元，列出方程组解答即可； （2）根据所需费用=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答． 【详解】（1）设A种树苗单价为a元，B种树苗单价为b元，可得： ， 解得：； 所以A种树苗单价为90元，B种树苗单价为70元． 答：A种树苗单价为90元，B种树苗单价为70元． （2）根据题意可得： y =90 (21 -x)+70x = -20x+1890 因为x≤ ，所以x≤7， 因为-20<0，y随x的增大而减小，所以x=7时，y最小、最小值=1750元， 所以当A种14棵，B种7棵时费用最小，为1750元． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键． 26. 已知：为圆O的直径，点C、D在圆上，连接、，且； （1）如图①，求证：； （2）如图②，连接交于点M，点E、G在上，点F在上，连接、交于点H，若H为的中点，且，求的值； （3）如图③，在（2）的条件下，连接，且，连接并延长交于点P，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，由圆周角定理推出，进而得到，从而证明，即可证明结论； （2）过点G作，交于点K，证明，得出，证明，推出，从而得到，再结合平行线的性质，得到，即可求解； （3）证明，进而证明为等腰三角形，设，，则，，，设，根据三角形内角和定理和外角性质，得到，延长交于点T，连接、、、，，根据全等三角形的判定性质，以及等腰三角形的判定和性质，证明四边形为正方形，从而推出，得到， ，证明，得到，再结合勾股定理，求出，过点P作于K点，设，利用正切值，求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点G作，交于点K， ， ，， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：由（2）知，为等腰三角形，，，， ， ，， ， ，， ， ， 为等腰三角形， 设，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， 延长交于点T，连接、、、，， 直径， ， ， ， 为等腰直角三角形， 为的中线， ， ，为等腰直角三角形， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在等腰中，， ， ， 四边形为正方形， ， 在和中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，勾股得， ， 或（舍去）， ，， 如抽图，过点P作于K点， ， 设，则， ， ． 在中，勾股得． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线，掌握圆的相关性质以及三角形的相关性是解题关键． 27. 如图 1，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线经过点，点和点，并与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点为轴上一动点，连接，当时，求点 的坐标； （3）如图 3，将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线；将直线向下平移经过坐标原点，交抛物线于另一点．点，点是上且位于 第一象限内一动点，交于点，轴分别交于，试说明：与存在一个确定的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3），理由详见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入即可求解； （2）P点分在A点的左边和右边的两种情况（图见详解），当P点在A点右边时，证出，即可通过相似比求出AP1的长度从而求出P1点坐标；当P点在A点左边时，通过证出，得到AK的长度，从而求出K点坐标，再利用待定系数法求出直线CK的解析式，P2就是直线CK与x轴的交点； （3）根据题意求出移动后的抛物线及直线OF的解析式，设出动点N的坐标，通过联立方程用N点的坐标表示出Q、R、S的横坐标，通过观察这三个横坐标的值即可得出数量关系． 【详解】解：（1）直线经过B点，且B点在x轴上， ． 将代入，得： 抛物线的解析式． （2）如下图所示，设 由 得， ． I.当点在点的右边，记此时的点为， 时，． II.当点在点的左边，时， 记此时的点为，则有 过点作轴的垂线,交于点， 则，又公共边, ， 设直线，， 直线， 的坐标：． （3），理由如下： 依题意，抛物线的解析式： 的解析式： 设 直线的解析式： 直线的解析式： 联立与 解得 解得 即点S是点Q、点R的中点， 即． 【点睛】本题考查了二次函数解析式、动点问题与相似三角形、全等三角形等综合知识，本题难度较大，利用数形结合、分类讨论思想、联立方程等思想解题． 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